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R
RÉS
SU
UM
MÉ n
n°
°1
14
4:
:ARITHMÉTIQUE - DÉNOMBREMENT
MULTIPLES ET DIVISEURS
P1 a)Toute partie non vide
H
de admet un plus petit élément.
Cela signifie qu’il existe un entier naturel
h
tel que :
h H
h n
n H
.
b)Toute partie non vide
'
H
et majorée de admet un plus grand élément.
Cela signifie qu’il existe un entier naturel
'
h
tel que ' :
' '
'
h H
nH
h
n
.
D1 Soient
a
et
b
deux entiers naturels.
On dit que
b
divise
a
, ou que
b
est un diviseur de
a
, ou que
a
est un multiple de
b
, s’il existe k tel que
.
a k b
.
On note alors
|
b a
.
Cela revient à écrire, lorsque
0
b
, que
a
b
est un entier naturel.
P2 a)L’ensemble des diviseurs de 0 est .
b)L’ensemble des multiples de 0 est
{0}
.
DIVISION EUCLIDIENNE
P3 Soit
( , ) *
a b
. Il existe un unique couple
2
( , )q r 
tel que .
0
a b q r
r b
.
D2
s'appelle le
s'appelle le
s'appelle le
s'appelle le
a
b
q
r
dividende
diviseur
quotient
reste
de la division euclidienne de
a
par
b
.
P4 Le reste de la division euclidienne de
a
par
b
est nul si et seulement si
a
est un multiple de
b
.
PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS
D3 Soit
( , ) * *
a b
.
a)L’ensemble des diviseurs communs (dans
*
) à
a
et
b
admet un plus grand élément, noté
PGCD( , )
a b
ou
a b
.
C’est le plus grand commun diviseur à
a
et
b
. On pose par convention * : PGCD( ,0) PGCD(0, )
a a a a
b)L’ensemble des multiples communs (dans
*
) à
a
et
b
admet un plus petit élément, noté
PPCM( , )
a b
ou
a b
.
C’est le plus petit commun multiple à
a
et
b
.
c)Deux entiers naturels non nuls
a
et
b
sont dits premiers entre eux si l’on a
PGCD( , ) 1
a b
.
P5 On a PGCD( , ) PGCD( , ) PPCM( , ) PP( , ) * * : et
M( )
C ,
a b ba
a a b b a
b      .

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ALGORITHME D’EUCLIDE
P6 Soient et deux
et deux tels qu .e
a b
q r
a b q r
entiers naturels non nuls
entiers naturels . On a alors
PGCD( , ) PGCD( , )
a b b r
.
D4 C’est le théorème d’Euclide.
Algorithme d’Euclide : méthode pratique
On considère
( , ) * *
a b
. On pose 0
r a
et 1
r b
.
Si
*
0
k
k
r
, on construit
1
k
r
comme le reste de la division euclidienne de
1
k
r
par
k
r
. On a donc
1 1
1
.
0
k k k k
k k
r r q r
r r
.
Cela permet d’écrire
1 1
PGCD( , ) PGCD( , )
k k k k
r r r r
.
La suite
( )
k
r
est une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Il existe donc un rang
*
n
tel que
0
n
r
.
On a alors
1 1 1
PGCD( , ) PGCD( ,0)
n n n n
r r r r
.
La suite
1
PGCD( , )
k k
r r étant constante, on a
1 0 1
PGCD( , ) PGCD( , )
n n
r r r r
, c'est-à-dire
1
PGCD( , )
n
a b r
.
Le PGCD de
a
et
b
est donc le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme d’Euclide.
P7 Soient
a
et
b
deux éléments de
*
. Il existe un couple
2
( , )u v 
tel que
. . PGCD( , )
u a v b a b
.
D5 C’est le théorème de Bézout.
P8 Soient
a
et
b
deux éléments de
*
.
Un entier naturel non nul
n
divise à la fois
a
et
b
si et seulement si
n
divise
PGCD( , )
a b
.
P9 Soient
a
et
b
deux éléments de
*
.
a
et
b
sont premiers entre eux si et seulement s’il existe un couple
2
( , )u v 
tel que
. . 1
u a v b
.
P10 Soient
a
,
b
et
c
trois éléments de
*
. Si
PGCD( , ) 1
| .
a b
a b c
, alors
|
a c
.
D6 C’est le théorème de Gauss.
NOMBRES PREMIERS
D7 Soit
n
un élément de
\{0,1}
. On dit que
n
est un nombre premier si les seuls diviseurs dans
*
de
n
sont
1
et
n
.
P11 Tout entier
2
n
s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers.
P12 Il existe une infinité de nombres premiers.
P13 Soient
a
et
b
deux entiers naturels non nuls.
On note 1 2
1 2
. ...
n
n
a p p p
et 1 2
1 2
. ...
n
n
b p p p
les décompositions respectives de
a
et
b
en produit de nombres
premiers, avec k
et k pour tout
k
, les
k
p
étant des nombres premiers distincts deux à deux.
a)
b
divise
a
si et seulement si
k k
pour tout
{1,2,.., }
k n
.
b)On a
1 1 2 2
min , min , min ,
1 2
PGCD( , ) . ...
n n
n
a b p p p et
1 1 2 2
max , max , max ,
1 2
PPCM( , ) . ...
n n
n
a b p p p .
c)On a
PGCD( , ) PPCM( , ) .
a b a b a b
.

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CRIBLE D’ERATOSTHÈNE
Dans le tableau ci-dessous, on a barré les multiples de 2 (hormis 2), les multiples de 3 (hormis 3), les multiples de 5 (hormis
5), etc …
Les nombres non barrés (cerclés dans le tableau ci-dessous), sont les nombres premiers.
ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
D8 a)On dit qu’un ensemble
A
est fini s’il possède un nombre fini d’éléments.
b)On appelle alors cardinal de
A
le nombre d’éléments de cet ensemble, ce que l’on note
card( )
A
.
P14 Si
A
est une partie d’un ensemble fini
E
, (c’est-à dire si
A E
) alors on a l’équivalence card( ) card( )
A E A E
.
P15 Si est un
est un
ensemble fini
ensemble fini
A
B
alors
A B
est un ensemble fini et on a :
card( ) card( ) card( ) card( )
A B A B A B
.
P16 Si est un
est un
ensemble fini
ensemble fini
A
B
alors
A B
est un ensemble fini et on a :
card( ) card( ).card( )
A B A B
.
P17 Si
A
est une partie d’un ensemble fini
E
, alors on a
card \ card( ) card( )
E A E A
  .
P18 Si même cardi et
nal fini
sont deux ensembles finis de
: est une application
A B
f A B
, alors on a les équivalences suivantes :
:
f A B
est bijective :
f A B
est injective :
f A B
est surjective.
Les nombres premiers

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P19 Soient et deux entiers naturels non nuls
et deux censembles finis tels ard( ) card( que et )
p n
A B
A p B n
.
a)Il existe exactement
p
n
applications :
f A B
.
b)Il existe exactement
p
n
uplets
p d’éléments de
B
.
D9 Ces
uplets
p sont appelés
listes
p
de
B
.
P20 Soient et deux entiers tels que
et deux ensembles finis tels que e
1
card( ) card( )t
p n p
A p BA B
n
n
.
a)Il existe
!
( )!
n
n p
applications injectives :
f A B
.
b)Il existe
!
( )!
n
n p
uplets
p
d’éléments distincts deux à deux de
B
.
c)Il existe exactement
!
n
bijections de
B
sur
B
.
D10 Ces bijections sont appelées permutations de
B
.
P21 Si
p
et
n
sont des entiers naturels tels que 0
p n
, alors un ensemble
B
de cardinal
n
admet exactement
n
p
parties possédant
p
éléments.
D11 Ces parties sont appelées
combinaisons
p
de
B
.
P22 Un ensemble
B
de cardinal
n
possède exactement
2
n
parties (y compris l’ensemble vide et
B
lui-même).