EXTENSIONS DE CORPS ET THÉORIE DE GALOIS Contents

EXTENSIONS DE CORPS ET TH ´ EORIE DE GALOIS
Contents
Notations 1
1. Extensions alg´ebriques 2
2. Extensions transcendantes 3
3. Disjonction lin´eaire 4
4. Norme et Trace (cas s´eparable) 5
5. Caract´eristique p7
6. Corps finis 7
7. Racines de l’unit´e 10
8. Normalit´e 12
9. Th´eorie de Galois 13
10. Extensions cycliques 18
11. Groupes de Galois de polynˆomes 20
12. Stabilit´e 24
Notations
Clˆoture alg´ebrique des corps premiers. La clˆoture alg´ebrique de Qcontenue dans Cest
not´ee Q. La lettre pd´esigne toujours un nombre premier. Pour tout pon fixe une clˆoture
alg´ebrique Fpde F
p=Z/pZ.
Morphismes. Soient Kun corps, Kune clˆoture alg´ebrique de Ket Lun corps tel que
K⊆L⊆K. L’ensemble des K-plongements de Ldans K, i.e. des morphismes de corps
de Ldans Kfixant K, est not´e HomK(L, K). Le groupe des automorphismes de corps de
Lfixant Kest not´e AutK(L). Si Gest un sous-groupe de AutK(L) le sous-corps de Lfixe
par Gest not´e LG={x∈L| ∀σ∈G, σ(x) = x}. Si l’extension L/K est galoisienne son
groupe de Galois est not´e Gal(L/K) = AutK(L).
Groupes. Si Aest un groupe ab´elien Ators est le sous-groupe de Aform´e des ´el´ements de
torsion. Si Gest un groupe agissant sur un ensemble Eet x∈E, l’orbite de xsous Gest
OrbG(x) = {gx, g ∈G} ⊆ Eet StabG(x) = {g∈G|gx =x} ⊆ Gest le stabilisateur de x
sous G. Le groupe des permutations d’un ensemble `a n´el´ements est not´e Sn.
1

2 EXTENSIONS DE CORPS ET TH´ EORIE DE GALOIS
1. Extensions alg´ ebriques
Exercice 1.1. Calculer le degr´e sur Qdes corps suivants.
1. Q(√2,√3), Q(√2,√3 +√2), Q(√2,√6), Q(√3,√6 +√2).
2. Q(√2,√3,√5), Q(√2 +√3,√2 +√5,√3 +√5), Q(√6,√15,√10).
3. Q(ei2π/3, i), Q(i√3, i), Q(√3, i).
4. Q(√2,3
√2), Q(3 √2,4 √2), Q(√2,4 √2).
Exercice 1.2. Pour α=1+√5
2, i +√3, ei2π/5et K=Q,Q(i),
1. Calculer [K(α) : K] et donner une base de K(α) sur K.
2. D´eterminer les coordonn´ees de α−1et de α+1
α−1dans cette base.
Exercice 1.3. Soit L/K une extension finie de corps telle que [L:K] est premier.
1. D´eterminer toutes les extensions interm´ediaires entre Ket L.
2. Montrer qu’il existe α∈Ltel que L=K(α).
Exercice 1.4. Soient Kun corps et Kune clˆoture alg´ebrique de K. Soient P(X)∈K[X]
irr´eductible de degr´e net L/K une extension de degr´e mdans Ktels que net msont
premiers entre eux. Soit α∈Ktel que P(α) = 0.
1. Montrer que [L(α) : L]≤n.
2. Montrer que nm divise [L(α) : K].
3. Montrer que ndivise [L(α) : L].
4. Montrer que P(X) est irr´eductible dans L[X].
Exercice 1.5. Soit K=Q(√2,√3) ⊂Q.
1. Montrer que [K:Q] = 4 et donner une base de Ksur Q.
2. Montrer que Q(√2 + √3) = K.
3. D´eterminer le polynˆome minimal de √2 + √3 sur Q.
Exercice 1.6. Soit ζ∈Qune racine de X6+X3+ 1. D´eterminer HomQQ(ζ),Q.
Exercice 1.7. Soient Kun corps, Kune clˆoture alg´ebrique de K, et α∈K. Soient
Pα(X) et Pα2(X) les polynˆomes minimaux sur Kde αet α2respectivement. Montrer que
[K(α) : K(α2)] = 2 si et seulement si Pα(X) = Pα2(X2).
Exercice 1.8. Soient Kun corps, Kune clˆoture alg´ebrique de K, et α∈Kde polynˆome
minimal Pα(X) sur K. Soit Q(X)∈K[X] non nul. On d´efinit l’application
φQ:K[X]−→ K[X]
P(X)7−→ (P◦Q)(X) = PQ(X).
1. Montrer que φQest un morphisme d’anneaux K-lin´eaire et d´eterminer Ker φQ.
2. Soit ψQ:K[X]→K[X]/(Pα(X)) le morphisme obtenu en composant φQavec le
morphisme de r´eduction modulo (Pα(X)). Montrer que Ker ψQ= (PQ(α)(X)) o`u
PQ(α)(X) est le polynˆome minimal de Q(α) sur K.
Exercice 1.9. Soient Kun corps et Kune clˆoture alg´ebrique de K. Soient α, β ∈Kde
polynˆomes minimaux respectifs Pα(X), Pβ(X) sur K. Montrer que les assertions suivantes
sont ´equivalentes.
(i) K(β) contient un sous-corps K-isomorphe `a K(α).

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(ii) Il existe σ∈HomKK(α), Ktel que K(σ(α)) ⊆K(β).
(iii) Il existe Q(X)∈K[X] tel que Pβ(X) divise (Pα◦Q)(X) dans K[X].
Exercice 1.10. D´eterminer toutes les extensions de Qcontenues dans Q(4
√2).
Exercice 1.11. Soit Kl’ensemble des x∈Rtels qu’il existe une suite de corps Q=K0⊆
K1⊆. . . ⊆Kn⊆Rtels que x∈Knet [Ki:Ki−1]≤3 pour tout 1 ≤i≤n.
1. Montrer que Kest un sous-corps de R∩Q.
2. Soit α∈K. Montrer que [Q(α) : Q] = 2n3mavec n, m ∈N.
3. Soit α∈Ktel que α≥0. Montrer que X2−αest r´eductible dans K[X].
4. Soit P(X)∈K[X] tel que deg P= 3. Montrer que P(X) a une racine dans K.
5. Soit α∈Ktel que [Q(α) : Q] divise 35. Montrer que α∈Q.
2. Extensions transcendantes
Exercice 2.1. Soient K/K une extension de corps, x∈Ktranscendant sur K, et f(X)∈
K(X) tel que f(X)6∈ K. Soit y∈K.
1. On suppose que y=f(x). Montrer que yest transcendant sur K.
2. On suppose que x=f(y). Montrer que yest transcendant sur K.
Exercice 2.2. Soient K/K une extension de corps, x∈Ktranscendant sur K, et α∈K
alg´ebrique sur Ktel que α6∈ K. Montrer que le corps K(α, x) n’est contenu dans aucune
extension simple de Kdans K.
Exercice 2.3. Soient K/K une extension de corps et x∈Ktranscendant sur K. Soit L
une extension de Ktelle que L⊆K(x) et L6=K. Montrer que xest alg´ebrique sur L.
Exercice 2.4. Soient K/K une extension de corps et x∈Ktranscendant sur K. Montrer
que AutKK(x)6= HomKK(x), K(x).
Exercice 2.5. Soient L/K une extension de corps et Run anneau tel que K⊆R⊆L.
1. On suppose que L/K est alg´ebrique. Montrer que Rest un corps.
2. On suppose que L/K n’est pas alg´ebrique. Donner des exemples d’anneaux Rqui
ne sont pas des corps.
Exercice 2.6. Soient K/K une extension de corps et x∈Ktranscendant sur K.
1. Soit P(X)∈K[X] non constant. Montrer que [K(x) : K(P(x))] = deg P.
2. Soit f(x) = (x2−x+1)3
x2(x−1)2∈K(x). Montrer que [K(x) : K(f(x))] = 6.
Exercice 2.7. Soient K/K une extension de corps et x∈Ktranscendant sur K.
1. Soit f(X)∈K(X) avec f(X)6∈ K. Soient P(X), Q(X)∈K[X] premiers entre eux
tels que f(X) = P(X)/Q(X). Montrer que [K(x) : K(f(x))] = Max(deg P, deg Q).
2. Montrer que
AutKK(x)=nf(x)7→ fax +b
cx +d, a, b, c, d ∈Ktels que ad −bc 6= 0o.
3. Soient σ, ρa, τb∈AutK(K(x)) donn´es par σ(x) = x−1,ρa(x) = ax,τb(x) = x+b
pour tous a, b ∈Kavec a6= 0. Montrer que ces ´el´ements engendrent AutK(K(x)).

4 EXTENSIONS DE CORPS ET TH´ EORIE DE GALOIS
3. Disjonction lin´ eaire
D´efinition 1. Soient Eun corps et L, M ⊆Edeux sous-corps. On note LM le plus petit
sous-corps de Econtenant Let M.
Noter que LM est l’intersection de tous les sous-corps de Econtenant Let M, ou bien
encore le sous-corps de Eengendr´e par L∪M. Dualement L∩Mest le plus grand sous-corps
de Econtenu dans Let dans M. On a donc le diagramme d’extensions suivant
E
LM
?
?
?
M
L
?
?
?
L∩M.
Exercice 3.1. Soient Eun corps et L, M ⊆Edeux sous-corps.
1. Montrer que LM ={Pfinie αkβm, αk∈L, βm∈M}= le plus petit sous-anneau de
Econtenant L∪M. (Comparer avec l’exercice 2.5.)
2. Montrer que [LM :L∩M]≤[L:L∩M] [M:L∩M].
3. On suppose que [L:L∩M] et [M:L∩M] sont finis et premiers entre eux. Montrer
que [LM :L∩M] = [L:L∩M] [M:L∩M].
4. Soit El’ensemble des entiers a∈Zpour lesquels il existe un ppremier tel que p
divise aet p2ne divise pas a. Soient a, b ∈ E et n, m > 1 deux entiers premiers
entre eux. Calculer [Q(n
√a, m
√b) : Q].
Exercice 3.2. Soient L/K et M/K des extensions de corps. Montrer que les assertions
suivantes sont equivalentes.
(i) Tout ensemble fini d’´el´ements de Llin´eairement ind´ependant sur Kl’est sur M.
(ii) Tout ensemble fini d’´el´ements de Mlin´eairement ind´ependant sur Kl’est sur L.
D´efinition 2. Soient L/K et M/K des extensions de corps. Les extensions Let Msont
lin´eairement disjointes sur Ksi l’une des conditions ´equivalentes de l’exercice 3.2 est v´erifi´ee.
Exercice 3.3. Soient Let Mdeux extensions lin´eairement disjointes sur K.
1. Montrer que L∩M=K.
2. Montrer que [LM :M]=[L:K] et [LM :L] = [M:K].
Exercice 3.4. Soient ζ3=e2iπ/3et ζ4=idans Q×
tors.
1. Montrer que Q(4
√2) et Q(ζ44 √2) ne sont pas lin´eairement disjoints sur Q.
2. (a) Montrer que Q(3
√2) ∩Q(ζ33 √2) = Q.
(b) Montrer que Q(3
√2) et Q(ζ33 √2) ne sont pas lin´eairement disjoints sur Q(con-
sid´erer par exemple le produit scalaire de (1,3
√2,3 √4) par (ζ2
3
3
√4, ζ33 √2,1)).
Exercice 3.5. Soient L/K et M/K des extensions finies de corps.
1. On suppose que [LM :K]=[L:K] [M:K].
(a) Soient (xi)1≤i≤nune base de Lsur Ket (yj)1≤j≤mune base de Msur K.
Montrer que (xiyj)1≤i≤n,1≤j≤mest une base de LM sur K.

EXTENSIONS DE CORPS ET TH´ EORIE DE GALOIS 5
(b) Montrer que Let Msont lin´eairement disjoints sur K.
2. On suppose que [L:K] et [M:K] sont premiers entre eux. Montrer que Let M
sont lin´eairement disjoints sur K.
D´efinition 3. Soient K/K une extension de corps, n≥1 un entier, et x1, . . . , xn∈K. Les
´el´ements x1, . . . , xnsont alg´ebriquement ind´ependants sur Ksi
KerK[X1, . . . , Xn]−→ K
P(X1, . . . , Xn)7−→ P(x1, . . . , xn)= 0.
Si x1, . . . , xnsont alg´ebriquement ind´ependants sur Kalors ils sont transcendants sur K.
Exercice 3.6. Soient K/K une extension de corps et x, y ∈K.
1. Montrer que si xest transcendant sur Ket Lest une extension alg´ebrique de K
alors K(x) et Lsont lin´eairement disjoints sur K.
2. Montrer que si xet ysont alg´ebriquement ind´ependants sur Kalors K(x) et K(y)
sont lin´eairement disjoints sur K.
4. Norme et Trace (cas s´ eparable)
Exercice 4.1. Soient Kun corps, Kune clˆoture alg´ebrique de K, et Lune extension de
Kcontenue dans K. On pose
LK=
def {x∈L| ∀ σ∈HomK(L, K), σx =x}.
1. Montrer que LKest un sous-corps de Lcontenant K.
2. On suppose que L/K est s´eparable. Montrer que LK=K.
3. Soient Kun corps de caract´eristique pet x∈Ktranscendant sur F
p. Soient K=
F
p(xp) et L=F p(x). Montrer que LK=L(cf. exercice 5.3).
Exercice 4.2 (Ind´ependance lin´eaire des caract`eres).Soient Γ un groupe, Kun corps,
n≥1 un entier, et χ1, . . . , χndes morphismes distincts de Γ dans K×.
1. Montrer que l’ensemble des applications de Γ dans Kest un K-espace vectoriel.
2. On suppose qu’il existe a1, . . . , an∈Knon tous nuls tels que a1χ1+. . . +anχn= 0
et que nest le plus petit entier pour lequel il existe une telle relation de d´ependance.
(a) Montrer que n≥2 et que ai6= 0 pour tout 1 ≤i≤n.
(b) Montrer qu’il existe h∈Γ tel que χ1(h)6=χ2(h).
(c) Montrer que a1χ1(h)χ1+. . . +anχn(h)χn= 0.
(d) Montrer que a2(χ2(h)χ1(h)−1−1)χ2+. . . +an(χn(h)χ1(h)−1−1)χn= 0.
3. Montrer que χ1, . . . , χnsont lin´eairement ind´ependants sur K.
Exercice 4.3. Soient Kun corps et x1, . . . , xn∈K×distincts. Soient a1, . . . , an∈K
tels que a1xm
1+. . . +anxm
n= 0 pour tout m∈Z. Montrer que a1=. . . =an= 0. (cf.
exercice 4.2).
D´efinition 4. Soient Kun corps, Kune clˆoture alg´ebrique de K, et Lune extension finie
de Kcontenue dans K. Pour tout x∈Lon d´efinit les ´el´ements de K
TrL/K (x) =
def X
σ∈HomK(L,K)
σ(x) et NL/K (x) =
def Y
σ∈HomK(L,K)
σ(x).