Proba 2

Chapitre 13 : probabilités partie 2 : les combinaisons Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 19 – Probabilités
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l’urne.
On note A
0
l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire"
A
1
l’événement : "on a obtenu exactement 1 boule noire"
A
2
l’événement : "on a obtenu 2 boules noires"
Calculons les probabilités de A
0
, A
1
et A
2
Choisir 2 boules parmi 6 revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 6. Il y a donc
6
2
=15 tirages
possibles. Les tirages s’effectuant au hasard, on peut supposer l’équiprobabilité des tirages.
o A
0
est l’événement "on n’a obtenu aucune boule noire" càd l’événement "Les deux boules tirées sont
rouges". Or, tirer 2 boules rouges revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 4. Il y a donc
4
2
=6 possibilités de tirer 2 boules rouges donc p
( )
A
0
=
4
2
×
2
0
6
2
=
6
15
=
2
5
.
La probabilité de n’obtenir aucune boule noire est p
( )
A
0
=
2
5
o A
1
est l’événement "on a obtenu une seule boule noire" càd l’évenement "on a obtenu une boule noire et
une boule rouge". Or, il y a 2 boules noires et 4 boules rouges donc il y a
2
1
4
1
=8 possibilités de tirer
exactement une boule noire donc p
( )
A
1
=
8
15
La probabilité d’obtenir exactement 1 boule noire est p
( )
A
1
=
8
15
.
o Il y 2 boules noires donc une seule possibilité de tirer 2 boules noires donc p
( )
A
2
=
1
15
La probabilité de tirer 2 boules noires est
1
15
o Remarque : Lorsqu’on tire 2 boules, soit on ne tire pas de boule noire, soit on tire une seule noire soit on
tire deux boule noire donc A
0
, A
1
et A
2
forment une partition de l’univers d’où p
( )
A
0
+p
( )
A
1
=p
( )
A
2
=1
2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.
On note B
0
l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire au tirage 2"
B
1
l’événement : "on a obtenu exactement une boule noire au tirage 2"
B
2
l’événement : "on a obtenu 2 boules noires au tirage 2"
a. Calculons p
A
0
( )
B
0
, p
A
1
( )
B
0
et p
A
2
( )
B
0
o Il reste 4 boules dans l’urne donc tirer 2 boules revient à constituer une combinaison de 2 éléments parmi
4. Il y a
4
2
=6 tirages n°2 possibles.
o p
A
0
( )
B
0
: on cherche donc à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant
qu’on n’a obtenu aucune boule noire au tirage 1.
On n’a obtenu aucune boule noire au tirage 1 càd on a obtenu 2 boules rouges au tirage 1, il ne reste donc que 2
boules rouges dans l’urne et donc 1 seule possibilité de tirer 2 boules rouges d’où p
A
0
( )
B
0
=
1
6
o p
A
1
( )
B
0
: on cherche à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant qu’on en a
obtenu une seule au tirage 1.

Chapitre 13 : probabilités partie 2 : les combinaisons Page 2 sur 2
Au premier tirage, on a donc obtenu 1 noire et 1 rouge. Après le premier tirage, il reste donc dans l’urne 1 noire et 3
rouges et tirer 2 boules rouges revient donc à constituer une combinaison de 2 éléments parmi 3, il y a donc
3
2
=3
possibilités de n’obtenir aucune noire au tirage 2 d’où p
A
1
( )
B
0
=
3
6
=
1
2
o p
A
2
( )
B
0
: on cherche donc à calculer la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 sachant qu’on a
obtenu 2 noires au tirage 1.
Après le tirage 1, il reste les 4 boules rouges dans l’urne et donc tirer 2 boules consiste à constituer une
combinaison de 2 éléments parmi 4 donc il y a
4
2
=6 possibilités d’où p
A
2
( )
B
0
=
6
6
=1
b. En déduire p
( )
B
0
A
0
, A
1
et A
2
forment une partition de l’univers dc B
0
est la réunion des événements incompatibles A
0
∩B
0
, A
1
∩B
0
et A
2
∩B
0
donc p
( )
B
0
=p
( )
A0∩B0+p
( )
A1∩B0+p
( )
A2∩B0=p
A
0
( )
B
0
×p
( )
A
0
+p
A
1
( )
B
0
×p
( )
A
1
+p
A
2
( )
B
0
×p
( )
A
2
=
1
6
×
2
5
+
1
2
×
8
15
+1×
1
15
=
2
5
D’où la probabilité de n’obtenir aucune boule noire au tirage 2 est p
( )
B
0
=
2
5
c. Calculer p
( )
B
1
et p
( )
B
2
Par un raisonnement analogue, on trouve p
A
0
( )
B
1
=
2
3
, p
A
1
( )
B
1
=
1
2
et p
A
2
( )
B
1
=0 d’où p
( )
B
1
=
2
3
×
2
5
+
1
2
×
8
15
+0=
8
15
B
0
, B
1
et B
2
formant une partition de l’univers p
( )
B
2
=1−
( )
p
( )
B
0
+p
( )
B
1
=1−
2
5
−
8
15
=
1
15
d. On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule
boule noire lors du premier ?
On cherche donc la probabilité de l’événement A
1
sachant B
1
p
B
1
( )
A
1
=
p
( )
A
1
∩B
1
p
( )
B
1
=
p
A
1
( )
B
1
×p
( )
A
1
p
( )
B
1
=
1
2
×
8
15
8
15
=
1
2
La probabilité d’avoir obtenu une seule noire au tirage 1 sachant qu’on a obtenu une seule noire au tirage 2 est
1
2
.
3. On considère l’événement R : "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient
extraites de l’urne". Montrons que p(R)=
1
3
Il faut exactement les deux tirages pour extraire les 2 boules noires donc
- soit aucune noire n’est obtenue au tirage 1 et les 2 noires sont obtenues au tirage 2
- soit 1 noire est obtenue au tirage 1 et 1 noire est obtenue au tirage 2
L’événement R est donc la réunion des événements incompatibles A
1
∩B
1
et A
0
∩B
2
Donc p(R)=p
( )
A
1
∩B
1
+p
( )
A
0
∩B
2
=p
A
1
( )
B
1
×p
( )
A
1
+p
A
0
( )
B
2
×p
( )
A
0
=
1
2
×
8
15
+
1
6
×
2
5
=
1
3
D’où la probabilité de R est p(R)=
1
3