notes de cours

Master Physique & Physique Numérique
Mécanique Quantique
David Viennot

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Table des matières
Sur les origines de la mécanique quantique 5
1 Fondements de la mécanique quantique 7
1.1 Postulats, états et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Notions d’états et d’observables en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 L’expérience des trous d’Young et l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Complétude topologique de l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Complétude algébrique dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 L’expérience des trous d’Young et les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Sur les probabilités quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7 Sur la non-commutativité des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.8 Règles de quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Interprétations de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 La parabole du chat de Schrödinger et l’interprétation de l’École de Copenhague . . . 16
1.2.2 Les autres interprétations de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Observables et transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Domaine d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Opérateur hermitien vs autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Position, impulsion, moment cinétique et énergie en mécanique quantique 23
2.1 États préparables, accessibles et non-normalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Les représentations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 La représentation |xi..................................... 24
2.2.2 La représentation |pi..................................... 25
2.3 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Spectre d’une observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Calcul fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 La résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Théorie du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Le spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Moments cinétiques atomiques et moléculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Composition de moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Dynamique quantique 37
3.1 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 De l’équation stationnaire à l’équation dépendante du temps . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Le paradoxe de Zénon quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Courants et flux de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 L’opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Représentation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Intégrales de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Régimes soudain et adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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4TABLE DES MATIÈRES
4 Théorie des perturbations 47
4.1 Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Méthode de Rayleigh-Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 Méthode de Wigner-Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.3 Cas dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Perturbations dépendantes de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Couplage interne au spectre pur point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Couplage entre le spectre pur point et le continuum : la règle d’or de Fermi . . . . . . 52
5 Théorie de la seconde quantification 55
5.1 Systèmes de particules discernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Systèmes de particules indiscernables : cas des bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Systèmes de particules indiscernables : cas des fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Discussion sur le rôle de la seconde quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Sur les origines de la mécanique
quantique
À la fin du XIXème siècle, la physique repose sur deux piliers, la mécanique Newtonienne et la théorie
électromagnétique de Maxwell. Quatre phénomènes posaient alors problème dans ce cadre théorique :
– les expériences de Michelson-Morley n’ont pu mettre en évidence la vitesse de la Terre dans la référentiel
de l’éther (support physique hypothétique des ondes électromagnétiques) ce problème sera résolu par
Einstein en 1905 par l’introduction de la théorie de la relativité restreinte ;
– le spectre expérimental du rayonnement d’un corps noir ne coïncidait pas avec la théorie qui prévoyait
une divergence dans l’ultraviolet (divergence conduisant à une quantité infinie d’énergie émise par le
corps ⇐⇒ la catastrophe ultraviolette) ;
– les atomes ne devraient pas être stables, l’électron en orbite autour du noyau devant perdre continuel-
lement de l’énergie par radiation électromagnétique, il devrait s’effondrer en spirale sur le noyau au
cours du temps ;
– l’observation de spectres d’émission et d’absorption de la lumière par la matière sous forme de suites
de raies fines était en contradiction avec la théorie qui prévoyait des bandes continues d’émission ou
d’absorption.
Pour expliquer les trois derniers problèmes, trois théories concurrentes furent proposées :
–La théorie des quanta : En 1900, pour expliquer le rayonnement du corps noir, Max Planck pro-
pose que l’énergie électromagnétique n’est pas émise de façon continue mais par paquet d’énergie n~ω
(n∈N∗). ~ωétant le quantum d’énergie insécable pouvant être émis. En 1905, pour expliquer l’ef-
fet photoélectrique, Albert Einstein propose que la lumière est constituée de particules individuelles
(photons) transportant un quantum d’énergie ~ω. En 1913, pour expliquer le spectre et la stabilité
de l’atome d’hydrogène, Niels Bohr propose que les orbites circulaires de l’électron ne peuvent pas
avoir un rayon quelconque, mais que seules une quantité dénombrable d’orbites sont autorisées. Cette
hypothèse revient à quantifier suivant une suite {E0
n2}n∈N∗les énergies accessibles à l’atome. En 1916,
Arnold Sommerfeld généralise le modèle de Bohr aux orbites elliptiques. En 1917, Albert Einstein gé-
néralise l’approche de Borh-Sommerfeld à tout système intégrable. En 1925, Wolfgang Pauli propose
que deux fermions identiques ne peuvent occuper un même état d’énergie quantifiée afin d’expliquer
par une structure en couches électroniques les propriétés chimiques des atomes polyélectroniques.
–La mécanique ondulatoire : En 1923, Louis de Broglie postule que les particules matérielles sont
associées à une onde (comme l’onde électromagnétique est associée aux photons). En 1926, Erwin
Schrödinger postule l’équation fixant l’onde de de Broglie d’une particule matérielle. En 1927, Walter
Heitler utilise l’équation de Schrödinger pour expliquer la formation des liaisons covalentes. En 1928,
Linus Pauling généralise les travaux de Heitler à tout type de liaison chimique.
–La mécanique des matrices : En 1925, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan formulèrent
une description de la mécanique à l’échelle microscopique fondée sur le remplacement des observables
classiques par des matrices. La quantification de l’énergie étant associée au spectre de la matrice
remplaçant l’observable énergie. La notion de trajectoire de phase y ait totalement absente.
Suite à des découvertes dans le domaine des mathématiques (analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs) ;
en 1930, Paul Adrien Maurice Dirac prouve que les trois théories sont en fait trois aspects d’une unique
théorie cohérente, la mécanique quantique ; dans laquelle les matrices de Heisenberg sont généralisées en
opérateurs qui ont pour vecteurs propres les fonctions d’onde de Schrödinger et pour spectre les suites de la
théorie des quanta de Borh-Sommerfeld.
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