Groupes opérant sur un ensemble, exemples et

Groupes opérant sur un ensemble, exemples et
applications, cours de premier cycle
universitaire
F.Gaudon
12 août 2005
Table des matières
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Définitions
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Exemples et applications
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Définitions
Définition :
Soient G un groupe et X un ensemble. On dit que G opère sur X s’il existe
une application f de G × X dans X qui à (g; x) associe g.x tel que :
– ∀(g; g 0 ) ∈ G × G, ∀x ∈ X, g.(g 0 .x) = (gg 0 ).x
– ∀x ∈ X, e.x = x où e désigne l’élément neutre du groupe G
f est appelée opération de G sur X.
Remarque :
La donnée d’une opération de G sur X revient à définir un homomorphisme de
groupes φ : G 7→ S(X), où S(X) désigne le groupe des permutations de
l’ensemble X sur lui-même, par : ∀g ∈ G, ∀x ∈ X, φ(g)(x) = g.x
Définition et proposition :
On définit sur X la relation R pour tout x et y de X par :
xRy ⇔ ∃g ∈ G/y = g.x
R est une relation d’équivalence sur X.
Preuve :
∀x ∈ X e.x = x donc xRx.
∀x, y ∈ X xRy ⇔ ∃g ∈ G y = g.x ⇔ ∃g ∈ G g −1 .y = x ⇔ yRx
∀x, y, z ∈ X xRy et yRz ⇒ ∃g ∈ G y = g.x et ∃g 0 ∈ G z = g 0 .y. Donc
z = g 0 .y = g 0 .(g.x) = (g 0 g).x et zRx.
Définition :
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– Les classes d’équivalence sont appelées orbites. L’orbite de x ∈ X est
donc : {g.x/g ∈ G} et se note Gx .
– Une opération sur X est dite transitive ssi il n’y a qu’une seule orbite c’est
à dire ssi
∀(x; y) ∈ X × X, ∃g ∈ G, g.x = y
– Une opération sur X est dite simplement transitive ssi
∀(x; y) ∈ X × X, ∃!g ∈ G/y = g.x
– L’ensemble Gx = {g ∈ G/g.x = x} est un sous groupe de G appelé
stabilisateur (ou groupe d’isotropie) de x.
– Une opération est dite fidèle ssi le morphisme φ de G dans S(X) est
injectif
ssi
(∀x ∈ X g.x = x) ⇒ g = e
ssi
∀x ∈ X, Gx = {e}
Proposition :
Si x et y, éléments de X, appartiennent à la même orbite, il existe en général
plusieurs g ∈ G tels que y = g.x. Plus précisément, on a :
∀x ∈ X, Gx est en bijection avec l’orbite de x sous l’action de G.
Preuve :
Soit ϕ : G → G.x (où G.x désigne l’orbite de x sous G), l’application définie
par ϕ(g) = g.x, surjective par construction.
Soient g, g 0 ∈ G. ϕ(g) = ϕ(g 0 ) ⇔ g.x = g 0 .x ⇔ g 0−1 g ∈ Gx
Donc, par passage au quotient dans GGx , ∃!ϕ̄ : GGx → G.x définie par
∀x̄ ∈ GGx , ϕ̄(x̄) = ϕ(x).ϕ̄ est injective car ϕ(g) = ϕ(g 0 ) ⇔ g 0−1 g ∈ Gx
En outre ϕ̄ est surjective car ϕ l’est donc ϕ̄ est une bijection de GGx dans G.x.
Remarque :
Si G est fini, |Gx | et |G.x| sont des diviseurs de |G|.
Théorème, "équation aux classes" :
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Si G et X sont finis alors on a :
|X| = |G|
X 1
|Gx |
x∈I
où I désigne est l’ensemble obtenu en prenant un représentant dans chaque .
Preuve :
P
Les orbites forment une partition de X donc |X| = x ∈ I|G.x|. On conclut
grâce à la bijection de (G/Gx ) dans G.x et au fait que |(G/Gx )| = |G|/|Gx |.
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Exemples et applications
Définition :
L’opération canonique de S(X) sur X est l’opération :
S(X) × X → X, (σ, x) 7→ σ(x)
Proposition :
Cette opération est transitive, fidèle mais non simplement transitive ; l’homorphisme φ correspondant est φ = IdS(X) .
Preuve :
Pour montrer la transitivité, prenons x et y dans X, et soit la transposition τ qui
échange x et y. On a τ (x) = y. Il n’y a en général pas unicité ce qui explique que
l’action n’est pas simplement transitive.
Il est clair que φ : S(X) → S(X), σ 7→ φ(σ) = σ tel que
∀x ∈ X, φ(σ)(x) = σ(x) est φ = IdS(X) et est injectif c’est à dire que
l’opération est fidèle.
Définition :
Un groupe peut agir sur lui-même par translation à gauche : (g; x) 7→ gx
(action simplement transitive et fidèle). L’homomorphisme φ correspondant
est ici : φ : G → S(G), g 7→ (x 7→ gx).
Proposition :
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Cette action est simplement transitive, fidèle et l’homorphisme de groupes φ
est injectif.
Preuve :
∀x, y ∈ G, ∃!g ∈ G y = g.x (g = yx−1 ) donc l’opération est simplement
transitive.
∀x ∈ G g ∈ Gx ⇒ gx = x ⇒ g = e donc l’opération est fidèle.
φ(g) = φ(g 0 ) ⇒ ∀x ∈ Ggx = g 0 x ⇒ g = g 0 donc φ est injectif.
Conséquence, Théorème de Cayley :
Tout groupe fini de cardinal n se plonge dans Sn .
Preuve :
Si G est un groupe fini de cardinal n, l’homorphisme φ injectif défini ci-dessus
induit un isomorphisme de G sur son image φ(G) qui est un sous groupe de
S(G) lui-même en bijection avec Sn .
Proposition :
Si H est un sous groupe de G, G agit sur l’ensemble (G/H)g des classes à
gauche suivant H par : (g; aH) 7→ gaH (idem pour les classes à droite).
Preuve :
∀g, g 0 ∈ G, ∀aH ∈ (G/H)g , (gg 0 )aH = g(g 0 aH) et eaH = aH où e désigne
l’élément neutre de G
Définition :
Un groupe peut également agir sur lui-même par automorphismes intérieurs :
G × G → G, (g; a) 7→ gag −1
L’orbite de a ∈ G s’appelle classe de conjugaison : G.a = {gag −1 /g ∈ G} ;
deux éléments appartenant à une même orbite sont dits conjugués.
Le stabilisateur de a s’appelle centralisateur de a.
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Exemple :
G agit sur l’ensemble des sous groupes de G par automorphismes intérieurs :
g.H = gHg −1 .
Le stabilisateur de H est {g ∈ G/gHg −1 = H} et est appelé normalisateur de
H : c’est le plus grand sous groupe de G dans lequel H soit distingué.
Le groupe GL(n; K) des matrices carrées inversibles d’ordre n à coefficients
dans le corps K agit sur M (n; K), ensemble des matrices carrées d’ordre n par
conjugaison : deux matrices A et B sont conjuguées ssi
∃P ∈ GL(n; K)/B = P AP −1 i.e. A et B sont semblables.
Preuve :
∀g, g 0 ∈ G g 0 .(g.H) = g 0 .(gHg −1 ) = g 0 (gHg −1 )g 0−1 = g 0 gHg −1 g 0−1 =
g 0 gH(g 0 g)−1 et e.H = H donc l’opération est bien définie.
GH est un sous groupe de G : clair.
H distingué dans GH : ∀h ∈ H∀g ∈ GH ghg −1 ∈ H par définition de GH .
Soit G0 un sous groupe de G dans lequel H soit distingué.
∀g ∈ G0 ∀h ∈ Hghg −1 ∈ H donc gHg −1 ⊂ H et ∀h ∈ Hg −1 hg ∈ H et
h = g(g −1 hg)g −1 ∈ gHg −1 donc H = gHg −1 et g ∈ GH d’où G0 ⊂ GH .
Même type de vérification pour GLn (K).
Proposition :
Soient p un nombre premier etG un p-groupe (i.e. un groupe d’ordre pα avec
α ∈ N. Alors le centre de G (i.e. l’ensemble des éléments de G qui commutent
avec tous les éléments de G) n’est pas réduit à l’élément neutre.
Preuve :
Soit Z le centre de G. G opère sur lui-même par automorphismes intérieurs.
On a :
x ∈ Z ⇔ G.x = {x} ⇔ Gx = G
Soient x1 , . . . , xr ∈ G tels que G.x1 , G.x2 , . . . , G.xr soient les orbites deux à
deux distinctes non réduites à un point.
On a d’après l’équation aux classes :
|G| = |Z| + [G : Gx1 ] + . . . + [G : Gxr ]
Tout [G : Gxr ] est de la forme psi avec si ≥ 1 car Gxr 6= G donc p divise |Z| et
|Z| =
6 1.
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