Groupes opérant sur un ensemble, exemples et

Groupes opérant sur un ensemble, exemples et
applications, cours de premier cycle
universitaire
F.Gaudon
12 août 2005
Table des matières
1 Définitions 2
2 Exemples et applications 4
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1 Définitions
Définition :
Soient Gun groupe et Xun ensemble. On dit que Gopère sur Xs’il existe
une application fde G×Xdans X qui à (g;x)associe g.x tel que :
–∀(g;g0)∈G×G, ∀x∈X, g.(g0.x) = (gg0).x
–∀x∈X, e.x =xoù edésigne l’élément neutre du groupe G
fest appelée opération de Gsur X.
Remarque :
La donnée d’une opération de Gsur Xrevient à définir un homomorphisme de
groupes φ:G7→ S(X), où S(X)désigne le groupe des permutations de
l’ensemble Xsur lui-même, par : ∀g∈G, ∀x∈X, φ(g)(x) = g.x
Définition et proposition :
On définit sur Xla relation Rpour tout xet yde Xpar :
xRy⇔ ∃g∈G/y =g.x
Rest une relation d’équivalence sur X.
Preuve :
∀x∈X e.x =xdonc xRx.
∀x, y ∈X xRy⇔ ∃g∈G y =g.x ⇔ ∃g∈G g−1.y =x⇔yRx
∀x, y, z ∈X xRyet yRz⇒ ∃g∈G y =g.x et ∃g0∈G z =g0.y. Donc
z=g0.y =g0.(g.x) = (g0g).x et zRx.
Définition :
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– Les classes d’équivalence sont appelées orbites. L’orbite de x∈Xest
donc : {g.x/g ∈G}et se note Gx.
– Une opération sur Xest dite transitive ssi il n’y a qu’une seule orbite c’est
à dire ssi
∀(x;y)∈X×X, ∃g∈G, g.x =y
– Une opération sur Xest dite simplement transitive ssi
∀(x;y)∈X×X, ∃!g∈G/y =g.x
– L’ensemble Gx={g∈G/g.x =x}est un sous groupe de Gappelé
stabilisateur (ou groupe d’isotropie) de x.
– Une opération est dite fidèle ssi le morphisme φde Gdans S(X)est
injectif
ssi
(∀x∈X g.x =x)⇒g=e
ssi
∀x∈X, Gx={e}
Proposition :
Si xet y, éléments de X, appartiennent à la même orbite, il existe en général
plusieurs g∈Gtels que y=g.x. Plus précisément, on a :
∀x∈X, Gxest en bijection avec l’orbite de xsous l’action de G.
Preuve :
Soit ϕ:G→G.x (où G.x désigne l’orbite de xsous G), l’application définie
par ϕ(g) = g.x, surjective par construction.
Soient g, g0∈G.ϕ(g) = ϕ(g0)⇔g.x =g0.x ⇔g0−1g∈Gx
Donc, par passage au quotient dans G
Gx,∃! ¯ϕ:G Gx→G.x définie par
∀¯x∈G
Gx,¯ϕ(¯x) = ϕ(x).¯ϕest injective car ϕ(g) = ϕ(g0)⇔g0−1g∈Gx
En outre ¯ϕest surjective car ϕl’est donc ¯ϕest une bijection de G
Gxdans G.x.
Remarque :
Si Gest fini, |Gx|et |G.x|sont des diviseurs de |G|.
Théorème, "équation aux classes" :
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Si Get Xsont finis alors on a :
|X|=|G|X
x∈I
1
|Gx|
où Idésigne est l’ensemble obtenu en prenant un représentant dans chaque .
Preuve :
Les orbites forment une partition de Xdonc |X|=Px∈ I|G.x|. On conclut
grâce à la bijection de (G/Gx)dans G.x et au fait que |(G/Gx)|=|G|/|Gx|.
2 Exemples et applications
Définition :
L’opération canonique de S(X)sur Xest l’opération :
S(X)×X→X, (σ, x)7→ σ(x)
Proposition :
Cette opération est transitive,fidèle mais non simplement transitive; l’homor-
phisme φcorrespondant est φ=IdS(X).
Preuve :
Pour montrer la transitivité, prenons xet ydans X, et soit la transposition τqui
échange xet y. On a τ(x) = y. Il n’y a en général pas unicité ce qui explique que
l’action n’est pas simplement transitive.
Il est clair que φ:S(X)→ S(X), σ 7→ φ(σ) = σtel que
∀x∈X, φ(σ)(x) = σ(x)est φ=IdS(X)et est injectif c’est à dire que
l’opération est fidèle.
Définition :
Un groupe peut agir sur lui-même par translation à gauche :(g;x)7→ gx
(action simplement transitive et fidèle). L’homomorphisme φcorrespondant
est ici : φ:G→ S(G), g 7→ (x7→ gx).
Proposition :
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Cette action est simplement transitive,fidèle et l’homorphisme de groupes φ
est injectif.
Preuve :
∀x, y ∈G, ∃!g∈G y =g.x (g=yx−1)donc l’opération est simplement
transitive.
∀x∈G g ∈Gx⇒gx =x⇒g=edonc l’opération est fidèle.
φ(g) = φ(g0)⇒ ∀x∈Ggx =g0x⇒g=g0donc φest injectif.
Conséquence, Théorème de Cayley :
Tout groupe fini de cardinal nse plonge dans Sn.
Preuve :
Si Gest un groupe fini de cardinal n, l’homorphisme φinjectif défini ci-dessus
induit un isomorphisme de Gsur son image φ(G)qui est un sous groupe de
S(G)lui-même en bijection avec Sn.
Proposition :
Si Hest un sous groupe de G,Gagit sur l’ensemble (G/H)gdes classes à
gauche suivant Hpar : (g;aH)7→ gaH (idem pour les classes à droite).
Preuve :
∀g, g0∈G, ∀aH ∈(G/H)g,(gg0)aH =g(g0aH)et eaH =aH où edésigne
l’élément neutre de G
Définition :
Un groupe peut également agir sur lui-même par automorphismes intérieurs :
G×G→G, (g;a)7→ gag−1
L’orbite de a∈Gs’appelle classe de conjugaison :G.a ={gag−1/g ∈G};
deux éléments appartenant à une même orbite sont dits conjugués.
Le stabilisateur de as’appelle centralisateur de a.
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