Théorie de Galois Effective : détermination explicite des sous

Théorie de Galois Effective :
détermination explicite des sous-corps
d’un corps de nombres
Table des matières
1 Position du problème 2
2 Notion de bloc 2
2.1 Définition ............................. 2
2.2 Une méthode de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Lien avec les sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Factorisations de polynômes et applications 4
3.1 Factorisation modulo p...................... 4
3.1.1 Elimination des facteurs carrés . . . . . . . . . . . . . 4
3.1.2 Séparation des degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.3 Factorisaiton finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Le théorème de densité de Chebotarëv . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Simplification du calcul du critère du théorème 2.2.1 . 8
3.2.2 Réduction des tailles possibles pour les blocs . . . . . 8
3.3 Factorisation sur le corps de nombres K............ 9
3.3.1 Factorisation sur Q.................... 9
3.3.2 L’algorithme de factorisation sur K........... 10
4 Calcul de la décomposition idéale 11
4.1 Détails de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 Tailles possibles des blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.2 Factorisation algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.3 Détermination des systèmes de blocs . . . . . . . . . . 12
4.1.4 Décomposition idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Exempledecalcul ........................ 13
1

1 Position du problème
Soit K:= Q(α)un corps de nombres algébrique de degré d≥2donné
par le polynôme minimal fde αsur Q. On peut, sans perdre en généralité,
supposer fà coefficients dans Z, ce qui fait de αun entier algébrique. On
note Fle corps de décomposition de f,Ω := {α=: α1, ..., αd}l’ensemble des
racines, deux à deux distinctes, de fdans F, et G:= Gal(f) = Gal(F/Q)
le groupe de Galois de f. Il s’agit de déterminer tous les sous-corps Lde K
contenant Q.
Par la correspondance de Galois, on est ramené à trouver tous les sous-
groupes de Gcontenant le stabilisateur StabGαde α. On construit alors une
paire (g, h)de polynômes de Z[X]tels que L=Q(h(α)) et gest le polynôme
minimal de h(α). Cette décomposition, que l’on note f|(g◦h), est parfois
appelée décomposition idéale de f.
On commence par introduire la notion de bloc avec un théorème permet-
tant de déterminer si une partition de Ωest, ou non, un système de blocs. On
donne ensuite différentes méthodes de factorisation d’un polynôme, ainsi que
des applications de la factorisation modulo un entier premier pour préciser
la structure du groupe de Galois et les tailles possibles des blocs. Enfin, on
explicite l’algorithme de calcul des sous-corps et on donne un exemple.
2 Notion de bloc
2.1 Définition
On se place, dans cette section, d’un point de vue général. Soit Gun
groupe fini opérant transitivement sur un ensemble non vide Ω. On note |G|
le cardinal de G, et (ϕ, ω)∈G×Ω7→ ωϕ∈Ωl’action de Gsur Ω.
Définition 2.1.1. Une partition B:= {B1, ..., Bm}de Ωavec 1≤m≤|G|
est un système de blocs pour Gsi elle est G-invariante, ie que pour tous
ϕ∈Get i∈ {1, ..., m}, il existe j∈ {1, ..., m}tel que Biϕ=Bj. Un bloc
est un élément d’un système de blocs.
Remarques 2.1.2.
1. Un système de blocs est trivial lorsque m∈ {1,|G|}. Les seuls systèmes
de blocs triviaux sont B={G}, pour m= 1, et B=G, pour m=|G|.
Dans la suite, les systèmes de blocs seront supposés non triviaux ce qui
correspond à 1< m <|G|.
2. Comme Gopère transitivement, un système de blocs Bpeut être défini
par un seul de ses blocs B∈ B, ie B={Bg|g∈G}. On confond donc
par la suite un bloc et le système de blocs qu’il engendre.
3. Soient Bun système de blocs, B∈ B et β∈B. On déduit directement
de la définition que le stabilisateur StabGβde βfixe B, ce qui montre
que Best une réunion d’orbites de StabGβ.
2

On conserve les notations de la remarque 3. On construit en fait tous
les blocs Bcontenant βen examinant les orbites de StabGβ. Si Γest une
telle réunion d’orbites, on donne une condition suffisante pour que l’orbite
ΓG:= {Γϕ|ϕ∈G}de Γsoit un système de blocs.
Lemme 2.1.3. Soient Γune partie non vide de Ωet βun élément de Γ
tel que StabGβ⊂StabGΓ, où StabGΓdésigne le stabilisateur global de Γ.
Alors l’orbite ΓGde Γconstitue un système de blocs pour G.
D’après la remarque 3, cette condition est également nécessaire. On ap-
plique maintenant ce lemme au cas qui nous occupe.
2.2 Une méthode de test
On reprend les notations de la section 1. On écrit fcomme un produit
de facteurs irréductibles sur K, et deux à deux premiers entre eux puisque
les racines de fsont simples, f=f1...fravec r≥2et f1:= X−α.
Par la correspondance de Galois, le corps Kcorrespond au stabilisateur
StabGα, et chaque facteur fiest un polynôme de K[X]dont les racines (dans
F) constituent une orbite de StabGα.
On considère l’ensemble E:= {fi1, ..., fin}avec 1 =: i1< ... < in≤r.
On note BEl’ensemble des racines sur Fdes éléments de Eet GEcelui des
automorphismes ϕ∈Gpour lesquels αϕ∈BE. Plutôt que d’appliquer les
automorphismes ϕ∈Gaux racines de chaque facteur K-irréductible fi, on
les applique aux polynômes fidirectement −précisément on applique leur
extension à l’anneau F[X]par action sur les coefficients. La situation du
lemme 2.1.3 devient la suivante :
Théorème 2.2.1. Soit El’ensemble défini précédemment. Alors, l’ensemble
BEdes racines correspondantes est un bloc pour Gsi et seulement si pour
tous ϕ∈GEet k∈ {1, ..., n}, les racines de fϕ
ikrestent dans BE.
Pour une démonstration de ce théorème −ainsi que du lemme 2.1.3 −,
on peut se reporter à [Hul, lemme 2.1 et théorème 2.2].
On a donc un critère vérifiable pratiquement pour déterminer si un en-
semble de parties de Ωest un système de blocs. On verra, dans la section
3.2.1, une simplification des calculs de ce test en transportant les calculs dans
un corps F
ppour un certain nombre premier p.
2.3 Lien avec les sous-corps
On reprend les définitions de E,BEet GEde la section 2.2.
On remarque que si Eest un bloc, GEest un sous-groupe de Gcontenant
StabGα. Il lui correspond alors, par la correspondance de Galois, le sous-
corps L:= KGEde Kcontenant Q.
3

Réciproquement, si on se donne un sous-corps Lde Kcontenant Q, on
peut écrire L=KHoù Hest un sous-groupe de Gcontenant StabGα.
Soient B:= {αϕ|ϕ∈H}et El’ensemble des facteurs irréductibles de fsur
Kdont une racine est dans B. D’après le lemme 2.1.3, Bun bloc contenant
α. On déduit alors du théorème 2.2.1, on a B=BEet H=GE.
On a donc montré que connaître la totalité des blocs revient à connaître
toutes les extensions de Qcontenues dans K.
3 Factorisations de polynômes et applications
L’algorithme principal que l’on veut décrire nécessite de pouvoir factori-
ser le polynôme fdans deux cas :
–modulo un nombre premier,
–sur le corps de nombres K, ce qui nécessite de factoriser sur Q.
On donne également des applications de la factorisation modulo un nombre
premier qui seront utiles par la suite.
3.1 Factorisation modulo p
Dans la suite, pdésignera toujours un entier premier.
La factorisation d’un polynôme modulo pnous intéresse essentiellement
pour deux raisons. C’est tout d’abord une étape dans la factorisation du
polynôme fdans le corps de nombres K. Ensuite, elle donne des rensei-
gnements sur la structure du groupe de Galois de fainsi que sur les tailles
possibles des systèmes de blocs.
Algorithme 1 (Factorisation modulo p). Soit A∈F
p[X]un polynôme
unitaire. Cet algorithme factorise Aen produit de puissances de polynômes irré-
ductibles sur F
p[X].
1. Elimination des facteurs carrés : trouver des polynômes Aide F
p[X]sans
facteur carré, deux à deux premiers entre eux et tels que A=QiAi
i.
2. Séparation des degrés : pour tout i, trouver des polynômes Ai,n de F
p[X]
tels que Ai,n est le produit des facteurs irréductibles de Aide degré exac-
tement n.
3. Factorisation finale : pour tous iet n, factoriser Ai,n en polynômes irré-
ductibles de degré n.
4. Compilation : regrouper les facteurs irréductibles identiques, les ordonner,
renvoyer la factorisation et terminer l’algorithme.
3.1.1 Elimination des facteurs carrés
Soient F
pune clôture algébrique de F pet (αj)jles racines de Asur F p. On
pose Ai:= Qj(X−αi,j)où les (αi,j )jsont les racines de Ade multiplicité
4

exactement i. Comme l’action du groupe de Galois de F
p/F pconserve la
multiplicité des racines, les polynômes Aisont à coefficients dans F
p. De
plus, il est clair que ces polynômes satisfont aux conditions du point 1. Reste
à les déterminer.
On construit par récurrence deux suites de polynômes (Tk)ket (Vk)k:
T1:= (A, A0)et Tk+1 := Tk/Vk+1
V1:= A/T1et Vk+1 := (Tk, Vk)si p-ket Vk+1 := Vksi p|k.
On en déduit facilement que pour tout k≥1, on a :
Vk=Y
i≥k,p-i
Aiet Tk=Y
i>k,p-i
Aj−k
iY
p|i
Ai
i.
Il en découle directement que pour tout ktel que p-k, on a Ak=Vk/Vk+1.
Ensuite, si kest tel que Vk= 1, alors Tk−1=Qp|iAi
i. Si Tk−1= 1, on a fini.
Sinon, on écrit donc Tk−1(X) := Up(X) = U(Xp)et on recommence tout
l’algorithme d’élimination des facteurs carrés. On en déduit la formulation
suivante de l’algorithme :
Algorithme 2 (Elimination des facteurs carrés). Soit A∈F
p[X]un
polynôme unitaire. Cet algorithme calcule les polynômes Ai, produits des facteurs
irréductibles de Ade multiplicité exactement i, et renvoie les couples (i, Ai)pour
lesquels Ain’est pas constant.
1. Initialisation : faire T0←A,m←1et L← ∅. Si T0est constant, renvoyer
T0et terminer l’algorithme.
2. Initialisation de la boucle : faire T←(T0, T 0
0),V←T0/T et k←0.
3. Critère de boucle : Si V= 1,Test de la forme T(X) = Pp|jtjXj, faire
T0←Pp|jtjXj/p,m←pm et retourner au point 2. Faire k←k+ 1.
4. Cas particulier : Si p|k, faire T←T /V et k←k+ 1.
5. Calcul de Amk : faire W←(T, V ), poser Amk := V/W , faire V←Wet
T←T/V . Si Amk 6= 1, faire L←L∪Amk. Retourner au point 3.
3.1.2 Séparation des degrés
Cette factorisation se base sur la remarque suivante. Un polynôme irré-
ductible de F
p[X]de degré exactement ndivise Xpn−X, et tout diviseur de
Xpn−Xqui ne divise pas Xpm−Xpour m < n est de degré exactement
n. On en déduit l’algorithme.
Algorithme 3 (Séparation des degrés). Soit A∈F
p[X]un polynôme
unitaire sans facteur carré. Cet algorithme donne le produit Andes facteurs
irréductibles de Ade degré exactement n, pour tout ntel que et renvoie ceux
qui ne sont pas constants.
5