Les triangles

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Cours de Mathématiques
2009
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Les
triangles
Existence d'un triangle
Pour construire un triangle, il nous faut 3 segments. Cependant, il existe une condition sur ces trois
segments, comme l'illustrent les deux exemples:
Exemples: Construisez, si possible, un triangle avec les trois segments donnés:
• AB = 4 cm
AC = 3 cm
BC = 6 cm
AC = 3 cm
BC = 9 cm
• AB = 4 cm
Résolution
•
On construit un segment [AB] avec AB = 4 cm , et on
construit le cercle de centre A et de rayon 3 ainsi que
le cercle de centre B et de rayon 6. Ces deux cercles
ont deux points d'intersection C et D. On choisit
plutôt le point C en haut pour respecter le sens
mathématique positif, qui est celui du "Contre la
montre" (non digitale). Ce point C existe, donc le
triangle est constructible.
•
Dans le deuxième cas, la somme des
longueurs des deux plus petits côtés du
triangle est inférieure à la longueur du
troisième côté. On voit alors que les deux
cercles ne se coupent plus. Par conséquent, le
point C, intersection des deux cercles n'existe
pas et le triangle donné n'est donc pas
constructible.
Condition d'existence d'un triangle
Pour qu'un triangle soit constructible, il faut que la somme de deux côtés du triangle soit
supérieure au troisième côté.
Théorème
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Beran AB - Triangles
Géométrie élémentaire
-1-
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La somme (des mesures) des angles intérieurs d'un triangle vaut 180°
Illustration du théorème
Définitions
•
Les trois points A, B et C du triangle sont appelés les sommets du triangle ABC.
•
Une droite qui coupe une autre droite (ou un segment) à angle droit est appelé une droite
perpendiculaire ou simplement une perpendiculaire à cette droite (à ce segment).
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•
On appelle médiatrice d'un segment, la perpendiculaire élevée au milieu du segment.
Un angle α est appelé angle aïgu ou angle saillant ssi 0° < α < 90° .
(spitzer Winkel)
Un angle α est appelé angle droit ssi α = 90° .
(rechter Winkel)
Un angle α est appelé angle obtus ssi 90° < α < 180° .
(stumpfer Winkel)
Un angle α est appelé angle plat ssi α = 180° .
(platter Winkel)
Un angle α est appelé angle rentrant ssi α > 180° .
Un triangle est acutangle ssi chaque angle intérieur est un angle saillant.
Un triangle est rectangle en A ssi l'angle en A est un angle droit.
Un triangle est obtusangle ssi un angle intérieur est un angle obtus.
Un triangle est isocèle ssi deux côtés ont même longueur.
(gleichschenklig)
Un triangle ABC est isocèle de sommet principal A ssi AB = AC .
Un triangle est équilatéral ssi les trois côtés ont même longueur.
(gleichseitig)
On appelle hauteur d'un triangle, la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire
au côté opposé (à ce sommet).
On appelle médiane d'un triangle, la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté
opposé.
Le point de concours des trois hauteurs d'un triangle est appelé orthocentre.
Le point de concours des trois médiatrices d'un triangle est appelé centre du cercle circonscrit.
Le point de consours des trois médianes d'un triangle est appelé centre de gravité.
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Beran AB - Triangles
Géométrie élémentaire
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Droites remarquables dans un triangle
1) Le cas général d'un triangle acutangle
Les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un point O
appelé orthocentre du triangle
Les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un point Ω
(oméga) appelé centre du cercle circonscrit au triangle.
Les 3 médianes d'un triangle se coupent en un point
appelé centre de gravité du triangle.
En réunissant les trois sortes de droites remarquables
d'un triangle dans une même figure, on constate que les
trois points O, Ω et G sont alignés sur une droite
appelée " droite d'Euler ".
Remarque:
Pour ne pas trop surcharger la figure complète,
on ne trace que 2 droites de chaque sorte.
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Géométrie élémentaire
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2) Le cas général d'un triangle obtusangle
hauteurs
médiatrices
médianes
On constate que, dans le cas d'un triangle obtusangle, les
points de concours des hauteurs (O) et des médiatrices ( Ω )
tombent en-dehors du triangle, alors que le centre de gravité
(G) reste toujours à l'intérieur.
3) Le cas spécial d'un triangle rectangle
Définitions
•
•
•
Un triangle est appelé triangle rectangle ssi un des angles intérieurs est un angle droit.
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.
Les deux autres côtés sont appelés côtés de l'angle droit ou cathèdes.
hauteurs
médiatrices
médianes
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Géométrie élémentaire
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On constate que, dans le cas d'un triangle rectangle, le point
de concours des hauteurs (O) tombe sur le sommet de l'angle
droit du triangle rectangle et le centre de gravité (G) reste
toujours à l'intérieur.
Dans le cas d'un triangle rectangle, la droite d'Euler est
confondue à la médiane qui passe par le sommet de l'angle
droit du triangle.
Le point de concours des médiatrices ( Ω ) d'un triangle
rectangle se retrouve au milieu de l'hypoténuse du
triangle.
Ce phénomène nous permet de construire un triangle
rectangle à l'aide des seuls règle et compas, comme
l'indique le graphique ci-joint.
Descriptif de la construction
Ayant construit le segment [BC] et son milieu, on trace
le cercle de Thalès sur ce segment. En reliant n'importe
quel point du cercle de Thalès aux deux extrémités du
segment [BC], on obtient toujours un triangle
rectangle.
4) Le cas spécial d'un triangle isocèle
Définition
•
•
Un triangle est isocèle si et seulement si deux côtés ont même longueur.
Dans un triangle isocèle tel que AB = AC , le sommet A est appelé le sommet principal.
Construction d'un triangle isocèle à l'aide de la règle et du compas
•
•
•
•
Construisons un segment [BC]
Traçons deux arcs de cercle de même rayon
r, de centres respectifs B et C, avec
1
r > ⋅ BC .
2
Désignons par A l'un des points
d'intersection de ces deux arcs de cercle.
A est alors le sommet principal du triangle
isocèle recherché.
Les droites remarquables d'un triangle isocèle
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Beran AB - Triangles
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hauteurs
médiatrices
médianes
On constate que, dans le cas d'un triangle isocèle de sommet
principal A, la médiatrice du segment opposé au sommet principal,
ainsi que les hauteur et médiane issues du sommet principal sont
confondues avec la droite d'Euler.
Nous constatons aussi que si le triangle est isocèle de sommet
l et C
l ont même mesure.
principal A, les deux angles à la base B
On dit qu'un triangle isocèle est isogone.
5) Le cas spécial d'un triangle équilatéral
Définition
•
Un triangle est équilatéral si et seulement si les trois côtés ont même longueur.
Construction d'un triangle équilatéral
•
•
•
•
Construisons un segment [BC]
Traçons deux arcs de cercle de même rayon r, de
centres respectifs B et C avec r = BC .
Désignons par A l'un des points d'intersection de
ces deux arcs de cercle.
A est alors le troisième sommet du triangle
équilatéral recherché.
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Géométrie élémentaire
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Les droites remarquables d'un triangle équilatéral
hauteurs
médiatrices
médianes
On constate que, dans le cas d'un triangle, les hauteurs,
médiatrices et médianes sont confondues. Il s'ensuit que
O=Ω=G.
Nous constatons aussi que si le triangle est équilatéral, les trois
angles intérieurs ont tous la même mesure 60°.
l = mes C
l = 60°
mes l
A = mes B
( )
( )
( )
On dit qu'un triangle équilatéral est équiangle.
Exercices de construction
Pour chacun des cas ci-dessous, construisez - si possible - un triangle ayant les propriétés suivantes:
•
AB = 5 cm
AC = 8 cm
•
AB = 6 cm
•
BC = 6 cm
BC = 8 cm
l = 52°
B
•
BC = 6 cm
l
A = 52°
AC = 4 cm
l = 45°
B
•
BC = 7,5 cm
l = 50°
B
l = 48°
C
l = 150°
B
l = 70°
C
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