proposition de corrige

PROPOSITION DE CORRIGE
Exercice 1 : 3 points
1. Affirmation 1 : pour tout nombre entier naturel n>0, le nombre 3n + 3n+1 est multiple de 12
Vraie: le nombre 3n + 3n+1 = 3n(1+ 3)= 3n-1×3 ×4 = 12 × 3n+1.C’est donc un multiple de 12 (0,75 pt)
2. Affirmation 2 : Dans une classe de 25 élèves la moyenne au dernier contrôle est de 10,4 sur 20. La moyenne
des filles est de 11/20 et celle des garçons de 9.5/20. Il y a donc 14 filles dans la classe.
Fausse : Si Il y avait 14 filles et 11 garçons la moyenne serait de
= 10,34 (0,5 pt)
3. On augmente de 50% la longueur d’un rectangle et on diminue sa largeur de 50%.
Affirmation 3 : Son périmètre reste inchangé.
Fausse : Le périmètre d’un rectangle de 6 cm sur 4 cm de 20cm . Si on augmente sa longueur de 50% elle devient
égale à 9 cm et si on diminue sa largeur de 50%, elle devient égale à 2 cm et son nouveau périmètre est alors de
22cm. Il n’est pas resté inchangé. (0,5 pt)
Affirmation 4 : Son aire diminue d’un quart
Vraie: L’aire d’un rectangle de L sur l est égale à L× l. Si on augmente L de 50% , elle devient L×1,5 et si on diminue l
de 50%, elle devient l ×0,5 . L’aire devient L×1,5 × l ×0.5 = 0,75 L× l = ( 1- ) L× l . L’aire a diminué d’un quart (0,5 pt)
4. [AB] est un diamètre du cercle.
B est un point de ce cercle. AB = 9 cm ; AD = 7 cm = BE ; DE = 4 cm
Affirmation 5 : A, D et E sont alignés.
Fausse : ABD est un triangle dont deux des sommets sont à l’extrémité d’un
diamètre d’un cercle passant son troisième sommet, il est donc rectangle. En appliquant
Pythagore dans ce triangle on trouve que AD2 = 81 -49 = 32 .
Dans BDE , on a alors : AD² +DE² = 32 + 16 = 48 ≠ 49= BE² , on en déduit que BDE n’est pas rectangle en E et que par
conséquent ̂ + ̂ ≠ 180°. L’angle ̂ n’est pas plat et les points A, D, E ne sont pas alignés (0,75 pt)
Exercice 2 : 2,5 points
Soit le nombre µ défini de la façon suivante : µ = 0,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
Sa partie entière est 0 et sa partie décimale est construite en mettant bout à bout tous les entiers.
Ce nombre est appelé « nombre de Champernowne ».
On note µn la valeur approchée de µ dont les dernières décimales sont composées des chiffres de n.
Par exemple :
µ1 = 0,1 ;
µ2 = 0,12 ;
µ3 = 0,123 ;
µ10 = 0,12345678910 ;
µ21 = 0,123456789101112131415161718192021 et µ121 = 0,12345678910 … 121
1. Le nombre µ est-il décimal, rationnel ?
L’écriture décimale de µ n’est ni finie, ni illimitée périodique, µ est donc un irrationnel : il n’est ni
rationnel(0,25), ni par conséquent décimal (0,25)
2. Citer un nombre décimal compris entre µ2 et µ3.
Il existe une infinité de décimaux compris entre µ2 et µ3. 0,121 est l’un d’entre eux(0,25)
3. Déterminer un nombre rationnel non décimal compris entre µ2 et µ3. On l’écrira sous forme de
fraction irréductible.
Il existe une infinité de rationnels non décimaux compris entre µ2 et µ3. Ainsi le nombre X dont
l’écriture décimale est 0, 1 ̅ est un rationnel compris entre ces deux nombres. On peut trouver son
écriture fractionnaire en résolvant l’équation 10X – X =1, ̅ - 0,1 ̅ soit 9X = 1,1 .
On en déduit que X =
(0,75)
4. Combien y a-t-il de décimales dans l’écriture de µ100 ?
Pour écrire les décimales de µ100, il faut écrire tous les nombres de 1 à 100 : 9 nombres à 1 chiffre,
90 nombres à 2 chiffres et un nombre à 3 chiffres soit en tout 192 chiffres (1)
Exercice 3 : 2,5 points
On considère les nombres N, de 4 chiffres, strictement inférieurs à 2000 et dont le chiffre des dizaines est égal à celui
des centaines.
a) Combien existe-t-il de nombres N ?
Les nombres N s’écrivent sous la forme ̅̅̅̅̅̅ , avec 0<c<9 et 0<u<9. Il y a donc 10 possibilités pour c et 10 pour u, ce
qui permet d’écrire 1 0× 10= 100 nombres. (0,75 pt)
b) Quel sont les trois plus grands nombre N, multiples de 4 ?
2000 = 4 x 500 est un multiple de 4 , le multiple de 4 qui le précède est 2000-4 = 1996. C’ est le plus grand multiple
de 4 inférieur à 2000 dont le chiffre des dizaines est égal à celui des centaines, le précédent est 1996-4 = 1992(0,5
pt), le troisième ne peut pas être 1988 car le chiffre des dizaines et des centaines sont différents, c’est donc le plus
grand multiple de 4 dont le chiffre des dizaines et des centaines est 8 : 1988 = 4 × 497 (0,25 pt)
c) Trouver tous les nombres N multiples à la fois de 3 et de 5.
Les nombres N multiples de 5 se terminent par 0 ou par 5 , ils sont donc de la forme ̅̅̅̅̅̅̅ou ̅̅̅̅̅̅ avec c ≤9.
Ils sont multiples de 3 si la somme de leurs s chiffres est multiple de 3 ; donc, dans le premier cas, si 2c + 1 = 3k
(c’est -à-dire si c = 1 ou c = 4 ou c = 7) et, dans le second cas, si 2c+ 6 = 3k’ ou 2c = 3k’ (c’est -à-dire si c = 3 ou c = 6 ou
c = 9). Les nombres N multiples à la fois de 3 et 5 sont donc 1110 ; 1440 ; 1770 ; 1335 ; 1665 ; 1995. (1 pt)
EXERCICE 4 : (4 points)
On considère un carré ABCD de 4 cm de côté.
Les points E, I et H sont placés respectivement sur [AB], [BC] et [BD] et
tels que : AE = CI = CH = x
On étudie à l'aide d'un tableur les variations de l'aire des triangles grisés
relativement à la partie non grisée du carré lorsque x varie de 0 à 4 cm.
1. Calculer l’aire des triangles grisés pour x = 2.
Pour x = 2 , EB=DH=BI = 2 et on a :
AEBI = ½ × EB × BI = ½ × 2 × 2 = 2 cm² (0,25)
AEDH = ½ × DH × AD= ½ × 2 × 4 = 4cm² (0,25)
2. a) Exprimer en fonction de x l’aire des triangles EDH et EBI.
AEBI = ½ × EB × BI = ½ × (4 – x) × (4 – x) = ½ (4 – x)² (0,25)
AEDH = ½ × DH × AD= ½ × (4 – x) × 4 = 2 (4 – x) (0,25)
b) En déduire les formules qui ont été saisies dans les cellules B2 et C2 du tableur puis recopiées vers le bas.
Dans la case C2, on calcule l’aire de EBI, on peut donc entrer la formule AEBI = (4-A2)^2/2
Dans la case B2,on peut donc entrer la formule AEDH = 2* (4– A2). (0,25)
c) En utilisant les valeurs de la feuille de
calcul, Déterminer pour quelle valeur
de x l'aire de HEIC est égale à 6,875
cm².
On cherche quand Anon-grisée - 2x = 6,875 cm² ou
encore Anon-grisée = 2x + 6,875 cm².
On constate en lisant les données affichées par le
tableur que cette équation est vérifiée pour x = 2, 5
(0,25)
2. On cherche à savoir pour quelle valeur a de x l'aire grisée et l'aire non grisée sont égales. Dans ce but il explore
différentes valeurs de x entre 1,5 et 2.
a) Expliquer pourquoi on choisit d’explorer les valeurs de x entre 1,5 et 2. Puis en déduire la valeur arrondie de a au
centième près en s’appuyant sur le nouveau tableau ci-dessous..
L’utilisateur cherche à s’approcher de plus en plus en près de la valeur a pour laquelle le nombre affiché dans la
colonne D serait égal à celui affiché sur la même ligne dans la colonne E. il procède par approximations successives : il
constate que l’aire grisée est supérieure à l’aire non grisée pour x = 1,5 puis inférieure pour x = 2, il en déduit que 1,5
< a <2 et étudie les valeurs de x une à une comprises dans cet intervalle, en reprenant le même raisonnement
(colonnes L & M) il en déduit que 1,5 < a < 1,6 puis étudie celles à deux décimales comprises dans ce nouvel intervalle
pour en tirer que 1,52 < a < 1,53 ; avant d’étudier celles à trois décimales comprises dans cet intervalle. (0,5)
On peut en conclure que 1,527 < a < 1,528 et que a est plus proche de 1,53 que de 1,52 .
1,53 est donc un arrondi de a au centième près (0,25).
b) En utilisant les expressions des aires trouvées à la question 2-a), montrer que la valeur exacte de a est une
solution de l'équation x² – 12x + 16 = 0.
a est la valeur prise par x quand que AGrisée = ANon Grisée , c'est-à-dire quand l’aire grisée occupe la moitié du carré, soit
quand
or AGrisée = AEDH +AEBI = 2(4 – x) + ½ × (4 – x)² = 8 – 2 x + ½ ( 16 + x ² - 8 x) = 16- 6 x + ½ x ²
L’équation AGrisée = 8 devient : 16- 6 x + ½ x ² = 8
soit en multipliant les 2 membres de l’équation par 2 : 32 – 12 x + x ² = 16
Et en ajoutant -16 aux deux membres de cette nouvelle équation : x² – 12 x + 16 = 0 (0,75)
c) vérifier que x² – 12 x + 16 = (x -6)2 – 20 en déduire la valeur exacte de a
x ² – 12 x + 16 = x ² – 12 x + 36 -20 = (x ² – 2×6 x + 36) – 20 = (x 6)2 – 20 (0,5)
L’équation x ² – 12 x + 16 = 0 devient (x -6)2 – 20 = 0 soit (x -6 +√ ) ((x -6 -√ ) = 0 .
Elle admet deux solutions 6 -√ et 6 + √ .
Seule la première est comprise entre 0 et 4 donc la valeur exacte de a est 6 -√ (0,5)