Le but de cet exercice est de montrer que les points A, E et F sont

Correction du devoir en temps libre n° 3
On considère la figure suivante :
ABCD est un carré. Les triangles DEC et BCF sont
équilatéraux.
Le but de cet exercice est de montrer que
les points A, E et F sont alignés.
a) Mesures des angles
CDE
et
DEC
:
DEC étant un triangle équilatéral, tous ses angles mesurent 60°. Donc
CDE
=
DEC
=60°.
b) Mesure de l'angle
EDA
:
ABCD étant un carré,
ADC
= 90° donc
EDA
=90°-60° = 30°
c) Nature du triangle ADE :
Comme ABCD est un carré, on a DC = AD.
Comme DEC est un triangle équilatéral, on a DC = DE
d) Mesure de l'angle
AED
:
D'après la question précédente, AED est un triangle isocèle en D donc
EAD
=
AED
.
D'après la question b)
EDA
= 30°.
La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à 180°, on peut donc écrire :
AED
+
EAD
+ 30° = 180°. Soit
AED
=
EAD
=
180 –30
2
=
150
2
= 75°.
e) Mesure de l'angle
BCF
:
BCF est un triangle équilatéral donc
BCF
= 60°
f) Nature du triangle CEF :
CEF est un triangle isocèle en C car CE = CF (égalités des côtés des triangles équilatéraux et
du carré).
De plus
ECB
= 90° - 60° = 30° et BCF = 60° ( question précédente).
Donc ECF = 60 + 30 = 90° et CEF est un triangle isocèle et rectangle en C.
g) Mesure de l'angle
CEF
:
Comme CEF est un triangle isocèle et rectangle en C et que la somme des angles d'un
triangle est égale à 180°, on a
CEF
=
180 –90
2=90 2=45°
.
h) Calcul de la somme
AED
+
DEC
+
CEF
On a trouvé
AED
= 75° ( question d)),
DEC
= 60° ( question a) ) et
CEF
= 45°
( question g)), donc
AED
+
DEC
+
CEF
= 75 + 60 + 45 = 180°
i) Conclusion :
AED
+
DEC
+
CEF
=
AEF
=180°. L'angle
AEF
est donc un angle
plat, cela signifie que les points A, E et F sont alignés.
Donc AD = DE et ADE est un
triangle isocèle en D.