Correction du devoir en temps libre n° 3 On considère la figure suivante : ABCD est un carré. Les triangles DEC et BCF sont équilatéraux. Le but de cet exercice est de montrer que les points A, E et F sont alignés. a) Mesures des angles CDE et DEC : DEC étant un triangle équilatéral, tous ses angles mesurent 60°. Donc CDE = DEC =60°. b) Mesure de l'angle EDA : ABCD étant un carré, ADC = 90° donc EDA =90°-60° = 30° c) Nature du triangle ADE : Comme ABCD est un carré, on a DC = AD. Comme DEC est un triangle équilatéral, on a DC = DE Donc AD = DE et ADE est un triangle isocèle en D. d) Mesure de l'angle AED : D'après la question précédente, AED est un triangle isocèle en D donc EAD = AED . D'après la question b) = 30°. EDA La somme des angles d'un triangle étant toujours égale à 180°, on peut donc écrire : 180 – 30 150 = = 75°. AED + EAD + 30° = 180°. Soit AED = EAD = 2 2 e) Mesure de l'angle BCF : BCF est un triangle équilatéral donc BCF = 60° f) Nature du triangle CEF : CEF est un triangle isocèle en C car CE = CF (égalités des côtés des triangles équilatéraux et du carré). De plus ECB = 90° - 60° = 30° et BCF = 60° ( question précédente). Donc ECF = 60 + 30 = 90° et CEF est un triangle isocèle et rectangle en C. g) Mesure de l'angle CEF : Comme CEF est un triangle isocèle et rectangle en C et que la somme des angles d'un 180 – 90 90 = =45° . triangle est égale à 180°, on a CEF = 2 2 AED + h) Calcul de la somme DEC + CEF On a trouvé AED = 75° ( question d)), DEC = 60° ( question a) ) et CEF = 45° ( question g)), donc AED + DEC + CEF = 75 + 60 + 45 = 180° AED + i) Conclusion : DEC + CEF = AEF =180°. L'angle AEF est donc un angle plat, cela signifie que les points A, E et F sont alignés.