I. Force centrale

Mouvement dans un champ de force centrale conservative
Cas particulier du champ newtonien
I. Force centrale
1. Définition
Une force est centrale si son support passe par un point Ofixe dans le référentiel d’étude
Rgaliléen. Oest appelé centre de force.
−−→
OM ∧ F= 0
La force  Fpeut être attractive ou répulsive.
La force  Fest donc colinéaire au vecteur urdes coordonnées sphériques centrées en O.
La force  Fest conservative si son travail élémentaire peut s’écrire sous la forme
δW = F .d−−→ OM =−dEp
2. Exemples de forces centrales conservatives
a) Interaction gravitationnelle
On pose  F= FO→M=− FM→O
F=−Gm0m
r2ur
Gconstante de gravitation : G= 6,67.10−11 m3.kg−1.s−2
Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques vaut d−−→ OM = dr−→ ur+rdθ−→ uθ+rsin θdϕ−→ uϕ
F .d−−→ OM =−Gm0m
r2ur.(dr−→
ur+rdθ−→ uθ+rsin θdϕ−→ uϕ) = −Gm0m
r2dr=−dEp
dEp
dr=Gm0m r2
Ep=−Gm0m
r+ Cte
1

L’énergie potentielle ne dépend que de r:Ep=Ep(r). Si choisit Ep= 0 à l’infini alors Cte = 0
Ep(r) = −Gm0m
ravec Ep(∞)=0
b) Interaction électrostatique
On pose  F= FO→M=− FM→O
F=1
4πε0
q0q
r2ur
ε0permittivité du vide : ε0= 8,85.10−12 F.m−1
En procédant par analogie avec les calculs précédents
−G↔1
4πε0
m0m↔q0q
Ep(r) = 1
4πε0
q0q
ravec Ep(∞) = 0
c) Force élastique
On pose  F= FO→M=− FM→O
F=−k(r−r0)ur
kconstante de raideur du ressort
r0longueur à vide du ressort (r0=0)
F .d−−→ OM =−k(r−r0)ur.(dr−→ ur+rdθ−→ uθ+rsin θdϕ−→ uϕ) = −k(r−r0)dr=−dEp
dEp
dr=k(r−r0)
Ep=1
2k(r−r0)2+ Cte∗
Ep=1
2k(r−r0)2avec Ep(r0)=0
∗On retrouve bien Ep=1
2(−0)2+Cte.
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II. Propriétés générales d’un mouvement à force centrale
1. Conservation du moment cinétique
On considère un point matériel Mde masse men mouvement dans un référentiel Rgaliléen
dans un champ de force centrale de centre Ofixe dans R.
Le centre de force Oétant fixe dans R, la loi du moment cinétique appliquée à Mau point
Os’écrit
dσO(M)
dtR
= MO( F) = −−→ OM ∧ F= 0
σO(M) = −−→ Cte
Le moment cinétique par rapport à Oest une constante vectorielle du mouvement.
Remarque : le cas particulier où σO(M) =  0correspond à un mouvement rectiligne :
∀t−−→ OM kv
2. Conséquences
a) La trajectoire est plane
On note σO=σO(M)
Par définition σO=−−→ OM ∧mv(M)
avec les propriétés −−→
OM ⊥σO
v(M)⊥σO
Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à ~σOpassant par O
b) Le mouvement suit la loi des aires
En des temps égaux les aires balayées par le rayon vecteur −−→ OM sont égales.
Démonstration :
Le mouvement étant plan on choisit de repérer le point Mpar ses coordonnées polaires (r, θ).
On choisit uzde manière à avoir σO=σOuzavec (ur, uθ, uz)base orthonormée directe.
(−−→
OM =rur
v(M) = ˙rur+r˙ θuθ
σO=−−→ OM ∧mv(M) = mrur∧( ˙rur+r˙ θuθ)
σO=mr2˙ θuz =σOuz
On pose C=σO
m=r2˙
θ.
Cest appelée la constante aréolaire du mouvement.
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La constante aréolaire étant constante, son signe est constant et donc le signe de ˙ θaussi. On
peut toujours choisir une orientation de manière à avoir ˙ θ > 0et donc σ0>0.
Soit dAl’aire balayée par le rayon vecteur −−→ OM pendant le temps dt.
dA=1
2k−−→
OM ∧d−−→ OMk=1
2k−−→
OM ∧vdtk
dA
dt=k−−→
OM ∧vk=1
2kσ0k m=1 2
σ0
m=C 2
dA
dt=C 2
La vitesse aréolaire est constante et vaut C
2.
III. Conservation de l’énergie mécanique : énergie poten-
tielle effective
On suppose que le point matériel Mn’est soumis à qu’à une force centrale  Fconservative.
On note Ep(r)l’énergie potentielle dont dérive la force  F.
1. Énergie potentielle effective
Au cours du mouvement de Mdans le référentiel Rgaliléen d’étude, la seule force qui travaille
est la force  F. Cette force est conservative, donc l’énergie mécanique du point Mdans Rest
conservée.
Em=Ec+Ep=Cte
Or Ec=1
2mv2avec v = ˙rur+r˙
θuθd’où v2= ˙r2+r2˙ θ2. On en déduit
Em=1
2m( ˙r2+r2˙
θ2) + Ep(r)
On introduit alors la constante aréolaire du mouvement C=r2˙ θqui permet de remplacer ˙ θ
par C
r2
Em=1
2m˙r2+r2C2 r4+Ep(r)
Em=1
2m˙r2+1 2mC2 r2+Ep(r)
On pose Ep,eff (r) = 1
2mC2 r2+Ep(r)énergie potentielle effective du mouvement.
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La conservation de l’énergie mécanique s’exprime alors sous la forme :
Em=1
2m˙r2+Ep,eff (r) = Cte
2. Étude qualitative du mouvement radial
Em=1
2m˙r2
|{z}
>0
+Ep,eff (r)
Le mouvement n’est possible que dans les domaines où Em≥Ep,eff .
Lorsque Em=Ep,eff ,˙r= 0 : ces positions correspondent à une valeur extrémale de r. Atten-
tion, la vitesse en ces points n’est pas nulle car il reste la composante orthoradiale v =r˙ θuθ.
Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment exploiter la courbe de Ep,eff (r).
IV. Cas particulier du champ de force newtonien
1. Champ de force newtonien
Un point matériel Msera placé dans un champ de force newtonien s’il subit une force de la
forme (en coordonnées sphériques) :
F=−k
r2ur
– interaction gravitationnelle : k=Gm0m
– interaction électrostatique : k=−1
4πε0q0q
Lorsque k > 0la force est attractive (gravitation, charges opposées)
Lorsque k < 0la force est répulsive (charges de même signe)
Comme on l’a montré précédemment les forces newtoniennes sont conservatives.
F .d−−→ OM =−k
r2ur.(dr−→
ur+rdθ−→ uθ+rsin θdϕ−→ uϕ) = −k
r2dr=−dEp
dEp
dr=k r2
Ep=−k
r+ Cte
Si choisit Ep= 0 à l’infini alors Cte = 0
Ep(r) = −k
ravec Ep(∞) = 0
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