Th 1 UN SATELLITE MALHEUREUX

36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005
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R.S.E.F.
v
0
v
0
r
F-1
m
Th 1 UN SATELLITE MALHEUREUX
Les manoeuvres orbitales les plus fréquentes réalisées par les vaisseaux
spatiaux sont des variations de vitesse dans la direction du mouvement, c’est-à-dire
des accélérations permettant d’atteindre des orbites plus élevées, ou des freinages
pour initier la rentrée dans l’atmosphère. Dans ce problème, nous étudierons des
variations imposées à l’orbite produites par de fortes poussées des moteurs dans la
direction radiale. Pour effectuer les applications numériques, utiliser les données
suivantes : rayon de la Terre
m1037,6 6
T
R
, champ de pesanteur à sa
surface
2
m/s81,9g
, et durée du jour
h0,24
0T
.
Nous considérons un satellite de communications géostationnaire1 de masse
m placé sur une orbite circulaire équatoriale de rayon
0
r
. Ces satellites disposent
d’un “moteur d’apogée” qui fournit les poussées nécessaires pour atteindre l’orbite finale.
Image: ESA
Question 1
1.1 Calculer la valeur numérique de
0
r
.
1.2 Donner l’expression algébrique de la vitesse
0
v
du satellite en fonction de g,
T
R
et
0
r
, et calculer sa valeur
numérique.
1.3 Déterminer les expressions du moment cinétique (ou angulaire)
0
L
et de l’énergie mécanique
0
E
en fonction de
0
v
, m, g et
T
R
Une fois l’orbite circulaire géostationnaire atteinte (voir Figure F-1), le satellite est
stabilisé. Les contrôleurs au sol commettent alors l’erreur de réactiver le moteur d’apogée :
la poussée est dirigée vers la Terre, et une variation
v
involontaire de la vitesse est
imprimée au satellite. Nous caractériserons cette poussée par le paramètre
0
v/v
. La
durée de l’allumage du moteur est négligeable par rapport aux autres durées orbitales
caractéristiques, de sorte qu’elle peut être considérée comme instantanée.
Question 2
Supposons
1
.
2.1 Déterminer les caractéristiques de la nouvelle orbite2 : le paramètre
l
et l’ excentricité , en fonction de
0
r
et .
2.2 Calculer l’angle entre le grand axe de la nouvelle orbite et le vecteur position au moment de l’allumage accidentel.
2.3 Donner les expressions algébriques des distances du périgée
min
r
et de l’apogée
max
r
au centre de la Terre en
fonction de
0
r
et , et calculer leurs valeurs numériques pour
4/1
.
2.4 Déterminer la période T de la nouvelle orbite en fonction de
0
T
et et calculer sa valeur numérique pour
4/1
.
1 La période de révolution est
0
T
.
2 Voir “indices”.

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Question 3
3.1 Calculer la valeur minimale du paramètre de poussée,
esc
, pour que le satellite échappe à l’action gravitationnelle
de la Terre.
3.2 Sur cette nouvelle trajectoire, déterminer
min
r
, la distance minimale du satellite au centre de la Terre, en fonction de
0
r
.
Question 4
Supposons
esc
.
4.1 Déterminer la vitesse résiduelle à l’infini,
v
, en fonction de
0
v
et .
4.2 Exprimer le “paramètre d’impact” b de la direction asymptotique
d’échappement en fonction de
0
r
et . (Voir Figure F-2).
4.3 Déterminer l’angle de la direction asymptotique en fonction de . Calculer la
valeur numérique pour
esc
2
3
.
INDICES
Sous l’action de forces centrales newtoniennes en 1/r2 , les corps décrivent
des trajectoires qui peuvent être des ellipses, des paraboles ou des hyperboles.
Pour m << M, le centre attracteur de masse M est l’un des foyers de la trajectoire.
Si nous prenons l’origine en ce point, l’équation générale (polaire) de ces courbes
s’exprime de la façon suivante (voir Figure 3):
cos
l
r 1
où l est une quantité positive appelée le paramètre et est l’excentricité de la
courbe, avec:
2
2
GMm
L
l
et
2/1
322
2
2
1
 mMG
EL
où G est la constante de gravitation,
L
est la grandeur du moment cinétique (ou angulaire) de la masse sur son orbite par
rapport à l’origine, et E est son énergie mécanique, l’origine de l’énergie potentielle étant prise à l’infini.
Les cas suivants peuvent se présenter:
i) Si
10 
, la courbe est une ellipse (circonférence pour
0
).
ii) Si
1
, la courbe est une parabole.
iii) Si
1
, la courbe est une hyperbole.
m
M
r
F-3
v
0
v
v
b
0
r
F-2

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COUNTRY CODE
STUDENT CODE
PAGE NUMBER
TOTAL No OF PAGES
Th 1 FEUILLE DE RÉPONSES
Question
Idées et formules
fondamentales
utilisées
Expressions algébriques
Résultats numériques
Barème
1.1
0
r
0.3
1.2
0
v
0
v
0.4
1.3
0
L
0
E
0.4
0.4
2.1
l
0.4
0.5
2.2
1.0
2.3
min
max
r
r
min
max
r
r
1.2
2.4
T
T
0.7
3.1
esc
0.5
3.2
min
r
1.0
4.1
v
1.0
4.2
b
1.0
4.3
1.2