36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 R.S.E.F. Th 1 UN SATELLITE MALHEUREUX Les manoeuvres orbitales les plus fréquentes réalisées par les vaisseaux spatiaux sont des variations de vitesse dans la direction du mouvement, c’est-à-dire des accélérations permettant d’atteindre des orbites plus élevées, ou des freinages pour initier la rentrée dans l’atmosphère. Dans ce problème, nous étudierons des variations imposées à l’orbite produites par de fortes poussées des moteurs dans la direction radiale. Pour effectuer les applications numériques, utiliser les données suivantes : rayon de la Terre RT 6,37 106 m , champ de pesanteur à sa surface g 9,81 m/s2 , et durée du jour T0 24,0 h . Nous considérons un satellite de communications géostationnaire1 de masse m placé sur une orbite circulaire équatoriale de rayon r0 . Ces satellites disposent d’un “moteur d’apogée” qui fournit les poussées nécessaires pour atteindre l’orbite finale. Image: ESA Question 1 1.1 Calculer la valeur numérique de r0 . 1.2 Donner l’expression algébrique de la vitesse v 0 du satellite en fonction de g, RT et r0 , et calculer sa valeur numérique. 1.3 Déterminer les expressions du moment cinétique (ou angulaire) L 0 et de l’énergie mécanique E0 en fonction de v 0 , m, g et RT v0 Une fois l’orbite circulaire géostationnaire atteinte (voir Figure F-1), le satellite est stabilisé. Les contrôleurs au sol commettent alors l’erreur de réactiver le moteur d’apogée : m v r0 la poussée est dirigée vers la Terre, et une variation v involontaire de la vitesse est imprimée au satellite. Nous caractériserons cette poussée par le paramètre v / v 0 . La durée de l’allumage du moteur est négligeable par rapport aux autres durées orbitales caractéristiques, de sorte qu’elle peut être considérée comme instantanée. F-1 Question 2 Supposons 1 . 2.1 Déterminer les caractéristiques de la nouvelle orbite2 : le paramètre l et l’ excentricité , en fonction de r0 et . 2.2 Calculer l’angle entre le grand axe de la nouvelle orbite et le vecteur position au moment de l’allumage accidentel. 2.3 Donner les expressions algébriques des distances du périgée rmin et de l’apogée rmax au centre de la Terre en fonction de r0 et , et calculer leurs valeurs numériques pour 1 / 4 . 2.4 Déterminer la période T de la nouvelle orbite en fonction de 1 La période de révolution est 2 Voir “indices”. T0 et et calculer sa valeur numérique pour 1 / 4 . T0 . Th 1 Page 1 of 3 36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 R.S.E.F. Question 3 3.1 Calculer la valeur minimale du paramètre de poussée, esc , pour que le satellite échappe à l’action gravitationnelle de la Terre. 3.2 , la distance minimale du satellite au centre de la Terre, en fonction de Sur cette nouvelle trajectoire, déterminer rmin r0 . Question 4 v0 Supposons esc . v 4.1 Déterminer la vitesse résiduelle à l’infini, v , en fonction de v 0 et . 4.2 Exprimer le “paramètre d’impact” b de la direction asymptotique r0 d’échappement en fonction de r0 et . (Voir Figure F-2). 4.3 Déterminer l’angle de la direction asymptotique en fonction de . Calculer la valeur numérique pour 3 esc . 2 b F-2 v INDICES m Sous l’action de forces centrales newtoniennes en 1/r2 , les corps décrivent des trajectoires qui peuvent être des ellipses, des paraboles ou des hyperboles. r Pour m << M, le centre attracteur de masse M est l’un des foyers de la trajectoire. Si nous prenons l’origine en ce point, l’équation générale (polaire) de ces courbes s’exprime de la façon suivante (voir Figure 3): r M l 1 cos où l est une quantité positive appelée le paramètre et est l’excentricité de la F-3 courbe, avec: l L2 GMm 2 et 2 EL2 1 2 2 3 G M m 1/ 2 où G est la constante de gravitation, L est la grandeur du moment cinétique (ou angulaire) de la masse sur son orbite par rapport à l’origine, et E est son énergie mécanique, l’origine de l’énergie potentielle étant prise à l’infini. Les cas suivants peuvent se présenter: i) Si 0 1 , la courbe est une ellipse (circonférence pour 0 ). ii) Si 1 , la courbe est une parabole. iii) Si 1 , la courbe est une hyperbole. Th 1 Page 2 of 3 36th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 R.S.E.F. COUNTRY CODE STUDENT CODE Th 1 Question Idées et formules fondamentales utilisées TOTAL No OF PAGES FEUILLE DE RÉPONSES Expressions algébriques Résultats numériques r0 1.1 1.2 PAGE NUMBER v0 v0 Barème 0.3 0.4 L0 0.4 E0 0.4 l 0.4 0.5 1.3 2.1 2.2 rmax rmax 1.2 2.3 2.4 1.0 rmin rmin T T 0.7 esc 0.5 3.1 3.2 rmin 1.0 4.1 v 1.0 4.2 b 1.0 4.3 1.2 Th 1 Page 3 of 3