Modules de torsion de type fini sur un anneau principal 1 - IMJ-PRG

Modules de torsion de type fini sur un anneau principal
1. L’annulateur d’un module
Soient Aun anneau et Mun A-module. L’annulateur d’un sous-ensemble Sde M, noté
Ann(S), est l’idéal de Aformé par les éléments a∈Atels que am = 0 pour tout m∈S. Si
Ndésigne le sous-A-module engendré par S, on a l’identité Ann(N) = Ann(S). De plus,
si Test un second sous-ensemble de M, on a la relation Ann(S∪T) = Ann(S)∩Ann(T).
Cette dernière identité se traduit par la relation Ann(N1+N2) = Ann(N1)∩Ann(N2),
où N1et N2sont deux sous-A-modules de A. Un élément m∈Mest de torsion si son
annulateur est non nul. Le A-module Mest lui-même de torsion si tous ses éléments le
sont. Nous dirons que Mest sans torsion s’il ne possède pas d’éléments de torsion non
nuls, ce qui revient à affirmer que, quels que soient a∈Aet m∈M, l’identité am = 0
entraîne a= 0 ou m= 0. Pour tout A-module M, notons Mtors le sous-ensemble de ses
éléments de torsion.
Lemme 1. — Si Aest intègre, l’ensemble Mtors est un sous-module de Met le quotient
M/Mtors est sans torsion.
Démonstration. — Étant donnés a∈Aet m∈Mtors, l’inclusion Ann(m)⊂Ann(am)
implique que am appartient à Mtors . Afin de montrer que Mtors est un sous-module de M,
il reste donc à montrer que pour m, n ∈Mtors, on a m−n∈Mtors. Soient a∈Ann(m)et
b∈Ann(n)non nuls. L’anneau Aétant intègre, l’élément ab ∈Ann(m−n)est non nul,
ce qui montre que m−nest de torsion. Finalement, en notant πla projection canonique
M→M/Mtors, supposons que x=π(m)est un élément de torsion. Il existe donc un
élément non nul a∈Atel que ax = 0, ce qui revient à affirmer que n=am est de torsion,
soit bn = 0 avec b∈Anon nul. Dans ce cas, en posant c=ab 6= 0, on obtient cm =bn = 0
et mest également de torsion, d’où x= 0, ce qui conclut la démonstration. 
Remarque. — Si Mest de torsion, l’idéal Ann(M)n’est pas nécessairement non nul.
Pour s’en convaincre, il suffit de prendre A=Zet M=Q/Z.

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Exercice. — Montrer que le sous-module engendré par un élément md’un A-module
Mest isomorphe au quotient A/ Ann(m).
Lemme 2. — Soient N1et N2deux sous-modules d’un A-module M. Si les idéaux
Ann(N1)et Ann(N2)sont étrangers alors N1∩N2= 0.
Démonstration. — Soient a∈Ann(N1)et b∈Ann(N2)tels que a+b= 1. Pour tout
n∈N1∩N2, on a alors les identités
n=n−an = (1 −a)n=bn = 0.
Lemme 3. — Soient net méléments d’un A-module M. Si les idéaux Ann(n)et Ann(m)
sont étrangers alors on a l’identité Ann(n+m) = Ann(n)∩Ann(m).
Démonstration. — L’inclusion Ann(n)∩Ann(m)⊂Ann(n+m)est immédiate. Ré-
ciproquement, en notant N1et N2les sous-modules de Mengendrés respectivement par
net m, si a∈Aannule n+m, on obtient les relations N13an =−am ∈N2. Le lemme
précédent amène alors aux identités an =am = 0 et donc Ann(n+m)est contenu dans
Ann(n)∩Ann(m).
Lemme 4. — Étant donnés deux éléments non nuls aet bd’un anneau principal A, il
existe un diviseur a0de aet un diviseur b0de btels que a0et b0soient premiers entre eux
et leur produit soit un ppcm de aet b.
Démonstration. — Il existe des éléments irréductible p1, . . . , pn∈Adeux à deux non
associés et une unité c∈A×tels que a=Qipei
iet b=cQipfi i. En posant
e0
i=
eisi ei≥fi,
0sinon et f0
i=
fisi ei< fi,
0sinon,
les éléments a0=Qipe0
i
iet b0=Qipf0
i
ivérifient les propriétés voulues. 
Proposition 5. — Étant donnés deux éléments de torsion non nuls xet yd’un module
Msur un anneau principal A, il existe un élément z∈Mtel que Ann(z)coïncide avec
Ann(x)∩Ann(y).
Démonstration. — Posons Ann(x) = aA et Ann(y) = bA. Si a0et b0vérifient les
conditions du lemme précédent, on a la relation Ann(x)∩Ann(y) = a0b0A. En posant
a=ua0, b =vb0, x0=ux et y0=vy, on a les identités Ann(x0) = a0Aet Ann(y0) = b0A.
Les éléments a0et b0étant premiers entre eux, le lemme 3permet de conclure. 
Un A-module Mest de type fini s’il est engendré par un nombre fini d’éléments.
Exercice. — Supposons Aintègre. Montrer que si Mest un A-module de torsion de
type fini alors Ann(M)est non nul.

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Corollaire 6. — Soit Mun module de torsion sur un anneau principal A. Si Mest de
type fini alors il existe un élément m∈Mtel que Ann(m) = Ann(M).
Démonstration. — Si m1, . . . , mrsont des générateurs de M, l’idéal Ann(M)coïncide
avec TiAnn(mi). Il suffit alors d’itérer la proposition 5.
2. Classification des modules de torsion de type fini sur un
anneau principal
Lemme 7. — Soit Nun sous-module d’un A-module M. S’il existe un homomorphisme
f:M→Ntel que f|N=idNalors Mest isomorphe à la somme directe N⊕M/N.
Démonstration. — Notons π:M→M/N la projection canonique et considérons l’ho-
momorphisme ϕ:M→N×M/N défini par ϕ(m) = (f(m), π(m)). Un élément m∈M
appartient au noyau de ϕsi et seulement si f(m)=0et π(m) = 0. Cette dernière identité
impique que mappartient à N, ce qui donne alors les relations m=f(m)=0. On en
déduit que ϕest injectif. De plus, étant donnés n∈Net x=π(m)∈M/N, en posant
m0=m−f(m) + n∈M, on obtient les identités
ϕ(m0) = (f(m0), π(m0)) = (f(m)−f(f(m)) + f(n), π(m)−π(f(m)) + π(n)) =
= (f(m)−f(m) + n, π(m)) = (n, x),
ce qui implique que ϕest également surjectif. 
Lemme 8. — Soit Mun A-module de torsion de type fini sur un anneau principal A.
Tout homomorphisme d’un sous-module de Mdans A/ Ann(M)se prolonge en un ho-
momorphisme de M.
Démonstration. — Supposons qu’il existe un homomorphisme f:N→A/ Ann(M),
où Nest un sous-module propre de M. Il suffit de montrer que, étant donné un élé-
ment m∈Mn’appartenant pas à N, l’homomorphisme fse prolonge au sous-module
N0=N+Am. En posant Ann(M) = aA, il existe b∈Adivisant a, soit a=ub, tel que
le sous-module Am ∩Nsoit engendré par n=bm. Soit c∈Aun représentant de f(n).
Les identités
uf(n) = f(un) = f(ubm) = f(am) = f(0) = 0
impliquent alors que cest divisible par b. En posant f(m) = x, où xest l’image de c/b
dans A/ Ann(M), on vérifie facilement que l’on définit un prolongement de fàN.
Théorème 9. — Soit Mun module de torsion de type fini sur un anneau principal A. Si n
désigne le nombre minimal de générateurs de M, il existe des éléments d1, . . . , dn∈Atels
que di+1 divise diet que Msoit soit isomorphe à la somme directe A/d1A⊕ · · · ⊕ A/dnA.

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Démonstration. — Supposons Mnon nul et posons Ann(M) = d1A. D’après le co-
rollaire 6, il existe un élément m∈Mtel que Ann(m) = Ann(M). L’homomorphisme
π:A→mA défini par π(a) = am induit alors un isomorphisme ρ:A/d1A→mA.
D’après le lemme 8, sa réciproque se prolonge en un homomorphisme g:M→A/d1A
et l’homomorphisme composé f=ρ◦gvérifie les hypothèses du lemme 7. En posant
M1=M/Am, on a donc un isomorphisme entre Met A/d1A⊕M1. On remarquera
que l’idéal Ann(M1)contient Ann(M). En itérant ce procédé, on obtient des éléments
d1, . . . , divérifiant les conditions de l’énoncé, un A-module Miet un isomorphisme entre
Met A/d1A⊕ · · · ⊕ A/diA⊕Mi. Si l’on avait Mi= 0 pour i < n, le A-module M
serait engendré par iéléments, ce qui est exclu. Finalement, si Mnétait non nul, son
annulateur serait contenu dans un idéal maximal mde corps résiduel K=A/met ce
même procédé amènerait à un homomorphisme surjectif M→A/d1A⊕ · · · ⊕ A/dn+1A,
avec d1, . . . , dn+1 ∈m. Les homomorphismes canoniques A/diA→Kétant surjectifs,
on obtiendrait un homomorphisme surjectif de A-modules M→Kn+1. En particulier,
le K-espace vectoriel Kn+1 serait engendré par néléments, ce qui est exclu. On a donc
Mn= 0, d’où le résultat. 