the´orie de hodge et the´ore`me de lefschetz « difficile

Claude Sabbah
THE
´ORIE DE HODGE ET
THE
´ORE `ME DE LEFSCHETZ « DIFFICILE »
NOTES DE COURS (STRASBOURG 2000, BORDEAUX 2001)

Claude Sabbah
UMR 7640 du CNRS, Centre de Mathe´matiques, E
´cole polytechnique,
F–91128 Palaiseau cedex, France.
E-mail : [email protected]
Url : http://math.polytechnique.fr/cmat/sabbah/sabbah.html

THE
´ORIE DE HODGE ET
THE
´ORE `ME DE LEFSCHETZ « DIFFICILE »
NOTES DE COURS (STRASBOURG 2000, BORDEAUX 2001)
Claude Sabbah

TABLE DES MATIE
`RES
Introduction............................................................................ 1
0.1. Le the´ore`me de Lefschetz « difficile ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2. Le the´ore`me de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Re´fe´rences............................................................................ 5
1. Ope´rateurs elliptiques : re´gularite´ et finitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. La the´orie dans Rn............................................................... 7
Me´mento des notations de la the´orie des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.a. Ope´rateurs diffe´rentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.b. Le symbole principal et la notion d’ope´rateur elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.c. La notion de solution fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.d. Solution fondamentale du laplacien ....................................... 9
1.1.e. Re´gularite´ des solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.f. Re´sultatsdefinitude.......................................................... 10
1.1.g. Solution fondamentale approche´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Espaces de Sobolev sur une varie´te´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.a. Espaces de Sobolev sur Rn.................................................... 11
1.2.b. Espaces de Sobolev locaux sur Rn............................................ 13
1.2.c. Espaces de Sobolev sur une varie´te´ compacte oriente´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Ope´rateurs diffe´rentiels sur une varie´te´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.a. Ope´rateurs diffe´rentiels sur un fibre´ vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.b. Adjoint formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.c. L’ope´rateur ?de Hodge et l’ope´rateur de Laplace-Beltrami. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.d. Le symbole principal et la notion d’ope´rateur elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.e. L’ine´galite´ de Ga˚rding et la re´gularite´ des ope´rateurs elliptiques. . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Finitude pour les ope´rateurs elliptiques et the´ore`me de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.a. Le the´ore`me de finitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.b. Application : de´monstration du the´ore`me de Hodge 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. De´monstration de l’ine´galite´ de Ga˚rding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.a. Ope´rateurs pseudo-diffe´rentiels sur Rn....................................... 21
1.5.b. Ope´rateurs pseudo-diffe´rentiels sur une varie´te´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.c. Inversion des ope´rateurs pseudo-diffe´rentiels elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Re´fe´rences............................................................................ 26
2. Structures de Hodge-Lefschetz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Alge`bre line´aire et multi-line´aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.a. Alge`bre line´aire sur un C-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.b. Alge`bre multi-line´aire sur un C-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28