61 Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c`est

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Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire :
∀n ∈
∗
, ∀(~x1 , . . . , ~xn ) ∈ F n , ∀(λ1 , . . . , λn ) ∈
n
,
n
X
λi · ~xi ∈ F
i=1
Démonstration : Par récurrence sur le nombre de termes dans la combinaison linéaire.
Pour n = 2, on prend ~x1 , ~x2 ∈ F . Une combinaison linéaire de ~x1 et ~x2 s’écrit
λ · ~x1 + µ · ~x2
avec λ, µ ∈ . Cette combinaison linéaire est encore dans F par définition d’un sev.
Supposons que F soit stable pour toute combinaison linéaire de n vecteurs et soit
{~x1 , . . . , ~xn+1 } une famille de n + 1 vecteurs de F . Soit λ1 , . . . , λn+1 ∈ . Alors
n+1
X
λi · ~xi =
i=1
n
X
λi · ~xi + λn+1 · xn+1 .
i=1
Dans le second membre, la première somme est un élément de F d’après l’hypothèse de récurrence, le second
terme également par stabilité par multiplication par un réel, et la somme des deux appartient à F par stabilité
par l’addition.
cqfd
Proposition : Soit F = (f~i )i∈I une famille de vecteurs de E. Il y a égalité entre :
1. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de F.
2. L’intersection de tous les sev de E qui contiennent F.
3. Le plus petit sev de E, au sens de l’inclusion, qui contient F.
C’est un sev noté Vect(F) et appelé sous-espace vectoriel engendré par F.
Démonstration : Notons F1 le premier ensemble, F2 le second et F3 le troisième. Il est facile de voir que F2 = F3 .
En effet, par définition F2 ⊂ F3 puisque F3 fait partie des ensembles dont on fait l’intersection, mais, puisque
l’intersection d’espaces vectoriels est un espace vectoriel, F2 est un espace vectoriel qui contient F et donc
F3 ⊂ F2 par définition de F2 .
Ensuite, il est facile de voir que F1 est un sev qui contient F et donc F3 ⊂ F1 . Mais, F3 contient F et est un
sev donc stable par combinaison linéaire, il contient donc toute combinaison linéaire d’éléments de F c’est à dire
F1 . cqfd
Proposition : Soit (f~i )i∈I une famille de vecteurs de E telle que l’un de ses vecteurs f~i0 (i0 ∈ I) soit combinaison
linéaire des autres :
X
f~i0 =
µi · f~i
i∈J0
où J0 est une partie finie de I \ {i0 }. Alors,
Vect(f~i , i ∈ I) = Vect(f~i , i ∈ I \ {i0 }).
Démonstration : L’inclusion ⊃ est claire. Inversement, ~x ∈ Vect(fi , i ∈ I) s’écrit
~x =
X
i∈J
λi · f~i
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avec J partie finie de I.
Si i0 6∈ J, c’est fini, ~x ∈ Vect(f~i , i ∈ I \ {i0 }).
Si i0 ∈ J, on écrit
P
~x = i∈J\{i0 } λi · f~i + λi0
P
= i∈J\{i0 } λi · f~i + λi0
P
= i∈(J∪J0 )\{i0 } αi · f~i
avec

 λi + λ i 0 µ i
λi µ i
αi =
 0
λi
· f~i0
P
· i∈J0 µi · f~i
si i ∈ J ∩ J0
si i ∈ J0 \ J
si i ∈ (J \ {i0 }) \ I
On conclut bien que ~x ∈ Vect(f~i , i ∈ I \ {i0 }). cqfd
Théorème : Si un espace vectoriel E possède une famille génératrice à n éléments, alors toute famille ayant au
moins n + 1 vecteurs est liée et, par conséquent, toute famille libre possède au plus n éléments.
Ce théorème affirme qu’une famille libre a toujours moins d’éléments qu’une famille génératrice.
Démonstration : On procède par récurrence sur n.
Si n = 1, on suppose que E admet pour famille génératrice {~g1 }. Cela signifie que tout vecteur de E s’écrit λ ·~g1
avec λ ∈ . Pour ~g1 6= ~0, E est une droite vectorielle et si ~g1 = ~0, E = {~0}. Toute famille de deux vecteurs
{f~1 , f~2 } est telle que f~1 = λ1 · ~g1 , f~2 = λ2 · ~g1 . Si l’un des λ1 , λ2 est nul, la famille {f~1 , f~2 } contient ~0 donc elle
est liée. Si λ1 6= 0 et λ2 6= 0, on a
1
1 ~
f1 − f~2 = ~0
λ1
λ2
et la famille {f~1 , f~2 } est liée. On constate donc que toute famille ayant au moins deux éléments est liée.
Supposons maintenant que la propriété soit vraie à l’ordre n (n ∈ ∗ ) c’est à dire que l’on suppose que dans un
espace vectoriel E ayant une famille génératrice à n éléments, toute famille de n + 1 éléments au moins est liée.
Essayons alors d’obtenir ce résultat au rang n + 1. On se place donc dans un espace vectoriel E ayant une famille
génératrice à n + 1 éléments {~g1 , . . . , ~gn+1 }. On considère alors une famille à n + 2 éléments {f~1 , . . . , f~n+2 } et on
va prouver que cette famille est liée. Pour tout k ∈ {1, . . . , n + 2}, on peut écrire f~k comme combinaison linéaire
de {~g1 , . . . , ~gn+1 } c’est à dire
f~k = λk,1 · ~g1 + · · · + λk,n · ~gn + λk,n+1 · ~gn+1
avec λk,1 , . . . , λk,n+1 ∈ . Notons
~xk = λk,1 · ~g1 + · · · + λk,n · ~gn
et
µk = λk,n+1
de sorte que
f~k = ~xk + µk · ~gn+1
et on remarque que ~xk ∈ Vect(~g1 , . . . , ~gn ).
• Si µ1 = . . . = µn+2 = 0, cela signifie que f~1 , . . . , f~n+2 sont n + 2 vecteurs dans l’espace vectoriel
Vect(~g1 , . . . , ~gn ) qui admet une famille génératrice à n éléments. En appliquant l’hypothèse de récurrence,
on en déduit que la famille {f~1 , . . . , f~n+2 } est liée.
• Supposons maintenant que les µ1 , . . . , µn+2 ne sont pas tous nuls. Par exemple, on supposera que µ1 6= 0.
Alors
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f~1 = ~x1 + µ1 · ~gn+1
d’où
~gn+1 =
1
· (f~1 − ~x1 )
µ1
et par ailleurs, pour k ∈ {2, . . . , n + 2},
f~k = ~xk + µk · ~gn+1
d’où
µk ~
f~k = ~xk +
· (f1 − ~x1 )
µ1
et donc
µk
µk ~
· f1 = ~xk −
· ~x1 ∈ Vect(~g1 , . . . , ~gn ).
f~k −
µ1
µ1
Ainsi, la famille
µk ~
· f1 , k ∈ {2, . . . , n + 2}
f~k −
µ1
est une famille de n + 1 vecteurs dans Vect(~g1 , . . . , ~gn ) qui admet une famille génératrice de n vecteurs,
donc elle est liée par hypothèse de récurrence. Ainsi, il existe des réel α2 , . . . , αn+2 non tous nuls tels que
!
n+2
n+2
n+2
X
X
X α k µk
µ
k
~0 =
αk · f~k −
· f~1 +
αk · f~k .
· f~1 = −
µ1
µ1
k=2
k=2
k=2
Cette dernière écriture prouve que la famille {f~1 , . . . , f~n+2 } est liée et cela achève la preuve par récurrence.
cqfd
Proposition :
1. Une base est une famille libre maximale, c’est à dire qu’aucune sur-famille stricte n’est libre.
2. Une base est une famille génératrice minimale c’est à dire qu’aucune sous-famille stricte n’est génératrice.
Démonstration : Démonstration de 1 :
Considérons une famille libre (f~i )i∈I qui est maximale. Cela implique que, pour tout vecteur ~x, la famille
{f~i , i ∈ I} ∪ {~x}
est liée. Donc, on peut écrire
X
λi · f~i + λ̂ · ~x = ~0
i∈J
avec J finie et les coefficients λi et λ̂ non tous nuls. Alors, λ̂ 6= 0 car sinon cela contredit la liberté de (f~i )i∈I .
On a donc :
X λi · f~i
~x =
−
λ̂
i∈J
et on a écrit tout vecteur ~x comme combinaison linéaire des (f~i )i∈I , cette famille est donc génératrice et donc
une base.
Inversement, considérons une base. C’est par définition une famille libre. Reste à voir qu’elle est maximale.
Notons la (f~i )i∈I . Rajoutons lui un vecteur y~. Comme (f~i )i∈I est une base, elle est génératrice et le vecteur ~y
s’écrit comme une combinaison linéaire de cette famille :
X
αj · f~j
~y =
j∈J
avec J finie. On a alors
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X
αj · f~j + (−1) · y~ = ~0
j∈J
et donc la sur-famille
{f~i , i ∈ I} ∪ {~y}
est liée.
Démonstration de 2 :
Considérons tout d’abord une base B d’un espace vectoriel E. C’est bien sûr une famille génératrice et en plus
elle est libre. Soit F une sous-famille stricte de B. Supposons que F soit encore une famille génératrice. En plus
F est libre car sous-famille d’une famille libre. Ainsi F est une base et B est une sur-famille stricte de F. Par
1., B est liée. Contradiction.
Réciproquement, soit G une famille génératrice de l’espace vectoriel E telle qu’aucune sous-famille stricte n’est
génératrice. On va prouver que c’est une base c’est à dire qu’elle est libre. Supposons que ce n’est pas le cas
c’est à dire qu’il existe un entier N ∈ , des vecteurs ~g1 , . . . , ~gn ∈ G et des réels non tous nuls λ1 , . . . , λN tels
que :
λ1 · ~g1 + · · · + λN · ~gN = ~0.
Quitte à changer les indices de ces vecteurs, on peut supposer que λ1 6= 0 et donc :
~g1 = −
λN
λ2
· ~g2 − · · · −
· ~gN
λ1
λ1
c’est à dire que ~g1 est combinaison linéaire de ~g2 , . . . , ~gN et donc de G \ {~g1 }. On sait alors que Vect(G) =
Vect(G\{~g1 }) et donc que G\{~g1 } est génératrice de E alors que c’est une sous-famille stricte de G. Contradiction.
cqfd
Théorème (Théorème de la base incomplète) : Soit E un espace vectoriel, L une famille libre et G une famille
génératrice. Alors il existe une base B de E telle que
L ⊂ B ⊂ G ∪ L.
B s’obtient en complétant L avec des vecteurs de G.
Démonstration : Nous n’allons l’effectuer que dans le cas où E est de dimension finie n. On considère les familles
libres contenant L et incluses dans L ∪ G. Parmi celles ci, on en choisit une de cardinal maximal. On la note B
et on note F = Vect(B). Si F 6= E, on peut trouver ~g ∈ G qui n’appartient pas à F . Mais alors, B ∪ {~g} est
encore une famille libre contenant L et incluse dans L ∪ G. En plus elle contient strictement B, ce qui contredit
la maximalité de B. cqfd
Proposition : Soit E un espace vectoriel, F et G deux sev de E de dimension finie, alors
F ⊂G
dim F = dim G
⇒F =G
Démonstration : Soit F une base de F . Alors c’est une famille libre de G par l’inclusion. Or, elle a le même nombre
d’éléments que la dimension de G puisque dim F = dim G, c’est donc une base de G et G = Vect(F) = F . cqfd
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Proposition : Soit (f~i )i∈I une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Cette famille est une base de E si et
seulement si pour tout ~x ∈ E, il existe une unique famille de réels (λi )i∈I tous nuls sauf un nombre fini tels que
~x =
X
λi · f~i .
i∈I
λi 6=0
Démonstration : L’existence est une conséquence du fait qu’une base est une famille génératrice.
Pour l’unicité, supposons que nous ayons deux familles (λi )i∈I et (µi )i∈I de réels satisfaisant aux conditions de
la proposition. Posons
J = {i ∈ I, λi 6= 0 ou µi 6= 0}.
Il faut remarquer que J est fini et que nous avons
~x =
X
λi · f~i =
i∈J
X
µi · f~i .
i∈J
Cela implique que
X
(λi − µi ) · f~i = ~0
i∈J
et donc, la famille étant libre, que
∀i ∈ J, λi = µi .
Pour i 6∈ J, λi = 0 = µi . cqfd
Proposition : F1 + F2 est un sev de E et même F1 + F2 = Vect(F1 ∪ F2 ).
Démonstration : F1 + F2 est non vide,
~0 = ~0 + ~0 ∈ F1 + F2 .
Prenons deux éléments ~x et ~y dans F1 + F2 . Alors ~x s’écrit ~x = ~x1 + ~x2 avec ~x1 ∈ F1 et ~x2 ∈ F2 . De même,
y~ = ~y1 + ~y2 avec ~y1 ∈ F1 et ~y2 ∈ F2 . Considérons une combinaison linéaire de ~x et ~y : soit α, β ∈ ,
α ·~x + β · ~y
= α · (~x1 + ~x2 ) + β · (~y1 + y~2 )
= (α · ~x1 + β · y~1 ) + (α · ~x2 + β · ~y2 )
|
{z
} |
{z
}
∈F1
∈F2
∈ F1 + F 2 .
Donc F1 + F2 est bien un sev de E.
Il contient F1 car il contient tout ~x1 = ~x1 + ~0. De même, il contient F2 , donc il contient F1 ∪ F2 et F1 + F2 ⊃
Vect(F1 ∪ F2 ). Mais, par ailleurs, la définition de F1 + F2 montre que F1 + F2 ⊂ Vect(F1 ∪ F2 ). cqfd
F1 + F2 est directe
Proposition :
⇐⇒ F1 ∩ F2 = {~0}
⇐⇒ ∀~
x = ~x1 + ~x2
2, ~
x1 , ~x2 ) ∈ F1 × F
x ∈ F1 + F2 , ∃!(~
~x1 + ~x2 = ~0 
⇐⇒  ~x1 ∈ F1
⇒ ~x1 = ~x2 = ~0

~x2 ∈ F2
(1)
(2)
(3)
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Démonstration : La première équivalence est la définition de la somme directe.
(1) ⇒ (2).
Supposons que (1) est vrai et que ~x ∈ F1 + F2 s’écrit
~x = ~x1 + ~x2 = ~y1 + ~y2
avec ~x1 , ~y1 ∈ F1 et ~x2 , ~y2 ∈ F2 . Alors
~x1 − ~y1 = y~2 − ~x2 ∈ F1 ∩ F2
donc est le vecteur nul. Ainsi ~x1 = ~y1 et ~x2 = ~y2 .
(2) ⇒ (3) trivial en regardant la décomposition ~0 + ~0 = ~0.
(3) ⇒ (1) Si ~x ∈ F1 ∩ F2 , alors
~0 = ~x + (−~x)
|{z} | {z }
∈F1
d’où, par (3), ~x = −~x = ~0. cqfd
∈F2
Théorème : Dans l’espace vectoriel E, tout sev F admet un supplémentaire c’est à dire qu’il existe un sev G tel
que E = F ⊕ G.
Démonstration : On sait que F admet une base F qui est une famille libre de E. Par le théorème de la base
incomplète, il existe une famille G telle que F ∪ G est une base de E. Alors G = Vect(G) est un supplémenatire
de F . En effet,
F + G = Vect(F) + Vect(G)
⊃ Vect(F ∪ G) = E
donc F + G = E.
De plus, si ~x = F ∩ G, on a :
~x =
X
λi · f~i =
i∈I
X
µj · ~gj
j∈J
avec I, J finies et {f~i , i ∈ I} ⊂ F,
{~gj , j ∈ J} ⊂ G, ce qui s’écrit
X
i∈I
(−λi ) · f~i +
X
µj · ~gj = ~0.
j∈J
Comme F ∪ G est libre, cela implique que tous les λi et tous les µj sont nuls et donc ~x = ~0. Ainsi F ∩ G = {~0}.
cqfd
Théorème : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sev de E. Alors
dim (F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G).
Par conséquent :
F + G directe ⇐⇒ dim (F + G) = dim F + dim G.
Démonstration : La proposition précédente montre déjà que si F + G est directe,
dim (F ⊕ G) = dim F + dim G.
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Dans le cas général, considérons un supplémentaire F1 de F ∩ G dans F et un supplémentaire G1 de F ∩ G dans
G:
F = (F ∩ G) ⊕ F1
G = (F ∩ G) ⊕ G1
Alors,
F + G = (F ∩ G) + F1 + G1 .
{z
}
|
F1
De plus, si ~x ∈ F ∩ G1 , on a ~x ∈ (F ∩ G) ∩ G1 et donc ~x = ~0. On peut donc écrire
d’où
F + G = (F ∩ G) ⊕ F1 ⊕ G1
dim (F + G) = dim G1 + dim F1 + dim (F ∩ G).
Mais
dim F
dim G
= dim (F ∩ G) + dim F1
= dim (F ∩ G) + dim G1 .
Au total,
dim (F + G) = dim F + dim G − dim (F ∩ G)
cqfd