61 Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c`est

61
Proposition : Tout sev Fest stable par combinaison lin´eaire, c’est-`a-dire :
∀n∈∗,∀(~x1,...,~xn)∈Fn,∀(λ1,...,λn)∈n,
n
X
i=1
λi·~xi∈F
D´emonstration : Par r´ecurrence sur le nombre de termes dans la combinaison lin´eaire.
Pour n= 2, on prend ~x1, ~x2∈F. Une combinaison lin´eaire de ~x1et ~x2s’´ecrit
λ·~x1+µ·~x2
avec λ, µ ∈. Cette combinaison lin´eaire est encore dans Fpar d´efinition d’un sev.
Supposons que Fsoit stable pour toute combinaison lin´eaire de nvecteurs et soit
{~x1, . . . , ~xn+1}une famille de n+ 1 vecteurs de F. Soit λ1,...,λn+1 ∈. Alors
n+1
X
i=1
λi·~xi=
n
X
i=1
λi·~xi+λn+1 ·xn+1.
Dans le second membre, la premi`ere somme est un ´el´ement de Fd’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, le second
terme ´egalement par stabilit´e par multiplication par un r´eel, et la somme des deux appartient `a Fpar stabilit´e
par l’addition.
cqfd
Proposition : Soit F= ( ~ fi)i∈Iune famille de vecteurs de E. Il y a ´egalit´e entre :
1. L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires de F.
2. L’intersection de tous les sev de Equi contiennent F.
3. Le plus petit sev de E, au sens de l’inclusion, qui contient F.
C’est un sev not´e Vect(F) et appel´e sous-espace vectoriel engendr´e par F.
D´emonstration : Notons F1le premier ensemble, F2le second et F3le troisi`eme. Il est facile de voir que F2=F3.
En effet, par d´efinition F2⊂F3puisque F3fait partie des ensembles dont on fait l’intersection, mais, puisque
l’intersection d’espaces vectoriels est un espace vectoriel, F2est un espace vectoriel qui contient Fet donc
F3⊂F2par d´efinition de F2.
Ensuite, il est facile de voir que F1est un sev qui contient Fet donc F3⊂F1. Mais, F3contient Fet est un
sev donc stable par combinaison lin´eaire, il contient donc toute combinaison lin´eaire d’´el´ements de Fc’est `a dire
F1.cqfd
Proposition : Soit ( ~ fi)i∈Iune famille de vecteurs de Etelle que l’un de ses vecteurs ~ fi0(i0∈I) soit combinaison
lin´eaire des autres :
~
fi0=X
i∈J0
µi·~ fi
o`u J0est une partie finie de I\ {i0}. Alors,
Vect( ~ fi, i ∈I) = Vect( ~ fi, i ∈I\ {i0}).
D´emonstration : L’inclusion ⊃est claire. Inversement, ~x ∈Vect(fi, i ∈I) s’´ecrit
~x =X
i∈J
λi·~ fi

62
avec Jpartie finie de I.
Si i06∈ J, c’est fini, ~x ∈Vect( ~ fi, i ∈I\ {i0}).
Si i0∈J, on ´ecrit
~x =Pi∈J\{i0}λi·~
fi+λi0·~ fi0
=Pi∈J\{i0}λi·~
fi+λi0·Pi∈J0µi·~
fi
=Pi∈(J∪J0)\{i0}αi·~
fi
avec
αi=
λi+λi0µisi i∈J∩J0
λi0µisi i∈J0\J
λisi i∈(J\ {i0})\I
On conclut bien que ~x ∈Vect( ~ fi, i ∈I\ {i0}). cqfd
Th´eor`eme : Si un espace vectoriel Eposs`ede une famille g´en´eratrice `a n´el´ements, alors toute famille ayant au
moins n+ 1 vecteurs est li´ee et, par cons´equent, toute famille libre poss`ede au plus n´el´ements.
Ce th´eor`eme affirme qu’une famille libre a toujours moins d’´el´ements qu’une famille g´en´eratrice.
D´emonstration : On proc`ede par r´ecurrence sur n.
Si n= 1, on suppose que Eadmet pour famille g´en´eratrice {~g1}. Cela signifie que tout vecteur de Es’´ecrit λ·~g1
avec λ∈. Pour ~g16=~
0, Eest une droite vectorielle et si ~g1=~ 0, E={~ 0}. Toute famille de deux vecteurs
{~ f1,~ f2}est telle que ~ f1=λ1·~g1,~ f2=λ2·~g1. Si l’un des λ1, λ2est nul, la famille {~ f1,~ f2}contient ~ 0 donc elle
est li´ee. Si λ16= 0 et λ26= 0, on a
1
λ1
~
f1−1
λ2
~
f2=~ 0
et la famille {~ f1,~ f2}est li´ee. On constate donc que toute famille ayant au moins deux ´el´ements est li´ee.
Supposons maintenant que la propri´et´e soit vraie `a l’ordre n(n∈∗) c’est `a dire que l’on suppose que dans un
espace vectoriel Eayant une famille g´en´eratrice `a n´el´ements, toute famille de n+ 1 ´el´ements au moins est li´ee.
Essayons alors d’obtenir ce r´esultat au rang n+ 1. On se place donc dans un espace vectoriel Eayant une famille
g´en´eratrice `a n+ 1 ´el´ements {~g1, . . . ,~gn+1}. On consid`ere alors une famille `a n+ 2 ´el´ements {~ f1, . . . , ~ fn+2}et on
va prouver que cette famille est li´ee. Pour tout k∈ {1,...,n+ 2}, on peut ´ecrire ~ fkcomme combinaison lin´eaire
de {~g1,...,~gn+1}c’est `a dire
~
fk=λk,1·~g1+···+λk,n ·~gn+λk,n+1 ·~gn+1
avec λk,1,...,λk,n+1 ∈. Notons
~xk=λk,1·~g1+···+λk,n ·~gn
et
µk=λk,n+1
de sorte que
~
fk=~xk+µk·~gn+1
et on remarque que ~xk∈Vect(~g1,...,~gn).
•Si µ1=... =µn+2 = 0, cela signifie que ~ f1,..., ~ fn+2 sont n+ 2 vecteurs dans l’espace vectoriel
Vect(~g1, . . . , ~gn) qui admet une famille g´en´eratrice `a n´el´ements. En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence,
on en d´eduit que la famille {~ f1,..., ~ fn+2}est li´ee.
•Supposons maintenant que les µ1,...,µn+2 ne sont pas tous nuls. Par exemple, on supposera que µ16= 0.
Alors

63
~
f1=~x1+µ1·~gn+1
d’o`u
~gn+1 =1
µ1
·(~ f1−~x1)
et par ailleurs, pour k∈ {2,...,n+ 2},
~
fk=~xk+µk·~gn+1
d’o`u
~
fk=~xk+µk
µ1
·(~ f1−~x1)
et donc
~
fk−µk
µ1
·~ f1=~xk−µk
µ1
·~x1∈Vect(~g1,...,~gn).
Ainsi, la famille
~
fk−µk
µ1
·~ f1, k ∈ {2,...,n+ 2}
est une famille de n+ 1 vecteurs dans Vect(~g1, . . . , ~gn) qui admet une famille g´en´eratrice de nvecteurs,
donc elle est li´ee par hypoth`ese de r´ecurrence. Ainsi, il existe des r´eel α2, . . . , αn+2 non tous nuls tels que
~
0 =
n+2
X
k=2
αk·~
fk−µk
µ1
·~ f1= −
n+2
X
k=2
αkµk
µ1!·~
f1+
n+2
X
k=2
αk·~ fk.
Cette derni`ere ´ecriture prouve que la famille {~ f1,..., ~ fn+2}est li´ee et cela ach`eve la preuve par r´ecurrence.
cqfd
Proposition : 1. Une base est une famille libre maximale, c’est `a dire qu’aucune sur-famille stricte n’est libre.
2. Une base est une famille g´en´eratrice minimale c’est `a dire qu’aucune sous-famille stricte n’est g´en´eratrice.
D´emonstration : D´emonstration de 1 :
Consid´erons une famille libre ( ~ fi)i∈Iqui est maximale. Cela implique que, pour tout vecteur ~x, la famille
{~ fi, i ∈I} ∪ {~x}
est li´ee. Donc, on peut ´ecrire
X
i∈J
λi·~ fi+ˆ λ·~x =~ 0
avec Jfinie et les coefficients λiet ˆ λnon tous nuls. Alors, ˆ λ6= 0 car sinon cela contredit la libert´e de ( ~ fi)i∈I.
On a donc :
~x =X
i∈J−λi
ˆ
λ·~
fi
et on a ´ecrit tout vecteur ~x comme combinaison lin´eaire des ( ~ fi)i∈I, cette famille est donc g´en´eratrice et donc
une base.
Inversement, consid´erons une base. C’est par d´efinition une famille libre. Reste `a voir qu’elle est maximale.
Notons la ( ~ fi)i∈I. Rajoutons lui un vecteur ~y. Comme ( ~ fi)i∈Iest une base, elle est g´en´eratrice et le vecteur ~y
s’´ecrit comme une combinaison lin´eaire de cette famille :
~y =X
j∈J
αj·~ fj
avec Jfinie. On a alors

64
X
j∈J
αj·~ fj+ (−1) ·~y =~ 0
et donc la sur-famille
{~ fi, i ∈I} ∪ {~y}
est li´ee.
D´emonstration de 2 :
Consid´erons tout d’abord une base Bd’un espace vectoriel E. C’est bien sˆur une famille g´en´eratrice et en plus
elle est libre. Soit Fune sous-famille stricte de B. Supposons que Fsoit encore une famille g´en´eratrice. En plus
Fest libre car sous-famille d’une famille libre. Ainsi Fest une base et Best une sur-famille stricte de F. Par
1., Best li´ee. Contradiction.
R´eciproquement, soit Gune famille g´en´eratrice de l’espace vectoriel Etelle qu’aucune sous-famille stricte n’est
g´en´eratrice. On va prouver que c’est une base c’est `a dire qu’elle est libre. Supposons que ce n’est pas le cas
c’est `a dire qu’il existe un entier N∈, des vecteurs ~g1,...,~gn∈ G et des r´eels non tous nuls λ1, . . . , λNtels
que :
λ1·~g1+···+λN·~gN=~ 0.
Quitte `a changer les indices de ces vecteurs, on peut supposer que λ16= 0 et donc :
~g1=−λ2
λ1
·~g2− · · · − λN
λ1
·~gN
c’est `a dire que ~g1est combinaison lin´eaire de ~g2,...,~gNet donc de G \ {~g1}. On sait alors que Vect(G) =
Vect(G\{~g1}) et donc que G\{~g1}est g´en´eratrice de Ealors que c’est une sous-famille stricte de G. Contradiction.
cqfd
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la base incompl`ete) : Soit Eun espace vectoriel, Lune famille libre et Gune famille
g´en´eratrice. Alors il existe une base Bde Etelle que
L ⊂ B ⊂ G ∪ L.
Bs’obtient en compl´etant Lavec des vecteurs de G.
D´emonstration : Nous n’allons l’effectuer que dans le cas o`u Eest de dimension finie n. On consid`ere les familles
libres contenant Let incluses dans L ∪ G. Parmi celles ci, on en choisit une de cardinal maximal. On la note B
et on note F= Vect(B). Si F6=E, on peut trouver ~g ∈ G qui n’appartient pas `a F. Mais alors, B ∪ {~g}est
encore une famille libre contenant Let incluse dans L ∪ G. En plus elle contient strictement B, ce qui contredit
la maximalit´e de B.cqfd
Proposition : Soit Eun espace vectoriel, Fet Gdeux sev de Ede dimension finie, alors
F⊂G
dim F= dim G⇒F=G
D´emonstration : Soit Fune base de F. Alors c’est une famille libre de Gpar l’inclusion. Or, elle a le mˆeme nombre
d’´el´ements que la dimension de Gpuisque dim F= dim G, c’est donc une base de Get G= Vect(F) = F.cqfd

65
Proposition : Soit ( ~ fi)i∈Iune famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Cette famille est une base de Esi et
seulement si pour tout ~x ∈E, il existe une unique famille de r´eels (λi)i∈Itous nuls sauf un nombre fini tels que
~x =X
i∈I
λi6=0
λi·~ fi.
D´emonstration : L’existence est une cons´equence du fait qu’une base est une famille g´en´eratrice.
Pour l’unicit´e, supposons que nous ayons deux familles (λi)i∈Iet (µi)i∈Ide r´eels satisfaisant aux conditions de
la proposition. Posons
J={i∈I, λi6= 0 ou µi6= 0}.
Il faut remarquer que Jest fini et que nous avons
~x =X
i∈J
λi·~ fi=X
i∈J
µi·~ fi.
Cela implique que
X
i∈J
(λi−µi)·~ fi=~ 0
et donc, la famille ´etant libre, que
∀i∈J, λi=µi.
Pour i6∈ J,λi= 0 = µi.cqfd
Proposition : F1+F2est un sev de Eet mˆeme F1+F2= Vect(F1∪F2).
D´emonstration : F1+F2est non vide,
~
0 = ~ 0 + ~ 0∈F1+F2.
Prenons deux ´el´ements ~x et ~y dans F1+F2. Alors ~x s’´ecrit ~x =~x1+~x2avec ~x1∈F1et ~x2∈F2. De mˆeme,
~y =~y1+~y2avec ~y1∈F1et ~y2∈F2. Consid´erons une combinaison lin´eaire de ~x et ~y : soit α, β ∈,
α·~x +β·~y
=α·(~x1+~x2) + β·(~y1+~y2)
= (α·~x1+β·~y1)
| {z }
∈F1
+ (α·~x2+β·~y2)
|{z }
∈F2
∈F1+F2.
Donc F1+F2est bien un sev de E.
Il contient F1car il contient tout ~x1=~x1+~ 0. De mˆeme, il contient F2, donc il contient F1∪F2et F1+F2⊃
Vect(F1∪F2). Mais, par ailleurs, la d´efinition de F1+F2montre que F1+F2⊂Vect(F1∪F2). cqfd
Proposition :
F1+F2est directe ⇐⇒ F1∩F2={~ 0}(1)
⇐⇒ ∀~x ∈F1+F2,∃!(~x1, ~x2)∈F1×F2, ~x =~x1+~x2(2)
⇐⇒ 
~x1+~x2=~ 0
~x1∈F1
~x2∈F2
⇒~x1=~x2=~ 0
(3)