Série formelle

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•Les séries formelles
–introduites au 17e siècle dans l’étude des probabilités
–Idée : représenter une suite numérique et/ou une fonction
sous une forme « algébrique » sous laquelle on peut la
manipuler
–Intérêt : facilite l’étude des suites et des séries sans passer
par la notion de convergence
–Applications en probabilités, à l’étude des algorithmes, en
calcul formel, en arithmétique ...
•Bibliographie :
–Mathématiques pour l’informatique, A. Arnold & I.
Guessarian, Masson
–Mathématiques discrètes et informatique, N.H. Xuong,
Masson
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•Série formelle : soit A un anneau commutatif intègre. On
appelle série formelle (ou série génératrice) sur A toute
expression symbolique a0+a1.x+a2.x2+.. où les ai, i∈N, sont dans
A et le symbole x est appelée l’indéterminée.
On note une série formelle en l’indéterminée x, S(x) = (an)n∈N =
a0+a1.x+a2.x2+.. ou S(x) = i∈N ai.xi
•Exemples : - s = 1 + 2.x + 3.x² + … est une série formelle sur (Z,+,.)
- s’ = 1 + (1/2).x + (1/4).x² + … est une série formelle sur (Q,+,.)
•Note : - x n’est pas une variable, une série formelle n’est pas une fonction
mais simplement une expression liée à une suite d’éléments (ai) i
∈ N
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•Terme constant : le terme constant d’une série formelle S(x) =
i∈N ai.xi est le coefficient a0
•Exemple : - le terme constant de s = i
∈ N 2i.xi est 1
•Ordre d’une série formelle : l’ordre d’une série formelle i∈N ai.xi
est le plus petit entier i tel que ai est différent de 0
•Exemples : - la série formelle x3 + i=4..∞ 2i.xi a pour ordre 3
- la série formelle i=1..∞ 2.xi a pour ordre 1
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•Polynome formel : une série formelle a0+a1.x+a2.x2+.. où seul un
nombre fini de ai sont non nuls est appelé polynome formel
•Degré d’un polynome : le degré d’un polynome i=0..n ai.xi est le
plus grand entier i tel que ai est différent de 0
•Exemple : - le polynome x+3x²+5x7 a pour degré 7
•Notes : - on note A[x] l’ensemble des polynomes sur A en l’indéterminée x.
- on note A[[x]] l’ensemble des séries formelles sur A en
l’indéterminée x
- on a bien sur A[X] ⊆ A[[X]]
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•Quelques séries formelles correspondant à des fonctions
usuelles :
•
i
∈ N Cni.xi = (1+x)n i ∈ N ai.xi = 1/(1-ax)
i
∈ N xi = 1/(1-x) i ∈ N x2i = 1/(1-x²)
i
∈ N i.xi = x/(1-x)² i ∈ N xi/i = ln(1/(1-x))
i ∈ N Cii+n.xi = 1/(1-x)n+1 i ∈ N xi/i! = ex.
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•Somme des séries formelles : i∈N ai.xi et i∈N bi.xi étant deux
séries formelles, leur somme, notée +, est définie par i∈N (ai
+bi).xi
•Exemple : - la somme de i
∈ N 22i.x2i et j ∈ N 22j+1.x2j+1 est i ∈ N 2i.xi
•Produit de convolution de séries formelles : i∈N ai.xi et i∈N bi.xi
étant deux séries formelles, leur produit de convolution, noté ×,
est défini par i∈N (p+q=i(ap × bq)).xi.
Plus précisément, i∈N ai.xi × i∈N bi.xi = i∈N ci.xi avec
– c0 = a0.b0
– c1 = a0.b1 + a1.b0
– cn = j=0..n aj.bn-j

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•Notes : - le produit de convolution correspond au produit des polynomes. Le
produit terme à terme, plus intuitif, n’y correspond pas, et pose des
problèmes (l’élément neutre est i
∈ N 1, et alors toute série ayant un
terme nul n’est pas inversible, et l’anneau des séries n’est pas
intègre).
- l’élément neutre pour le produit de convolution est 1
•Exemple : - le produit de i
∈ N xi = 1/(1-x) par i ∈ N i.xi = x/(1-x)² est
i
∈ N (p+q=i 1.q).xi = i ∈ N (q=0..i q).xi = i ∈ N i.(i+1).xi/2
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•Décalage à droite : v = i∈N bi.xi est le résultat du décalage à
droite de u = i∈N ai.xi si b0 = 0 et bi = ai-1 pour tout i=1.. ∞
•Décalage à gauche : v = i∈N bi.xi est le résultat du décalage à
gauche de u = i∈N ai.xi si bi = ai+1 pour tout i=1.. ∞
•Multiplication par un scalaire : v = i∈N k.ai.xi est le produit de
i∈N ai.xi par le scalaire k
•Dérivation : v = i∈N (i+1).ai+1.xi est le résultat de la dérivation de
u = i∈N ai.xi par rapport à x
•Intégration : v = i∈N ai.xi+1/(i+1) est le résultat de l’intégration de
u = i∈N ai.xi par rapport à x
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•Théorème 1 : l’ensemble A[[x]] des séries formelles sur un
anneau A commutatif intègre forme un anneau commutatif
intègre pour l’addition et le produit de convolution
•Preuve : A[[x]] est clairement un groupe abélien pour l’addition,
de neutre 0 = i∈N 0.xi et d’inverse pour toute série i∈N ai.xi la
série i∈N (-ai).xi (+ est associative et commutative sur A[[x]] car
associative et commutative sur A). L’élément neutre pour le
produit de convolution est 1 = 1 + i≥1 0.xi . × est associatif,
distributif par rapport à l’addition et commutatif sur A[[x]] du fait
de l’associativité, la distributivité par rapport à + et la
commutativité de × sur A.
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Associativité de × : i∈N (p+q=i(ap.bq)).xi × i∈N ci.xi =
i∈N (r+s=i(p+q=rap.bq).cs).xi = i∈N (p+q+s=i ap.bq.cs).xi =
i∈N (p+r=iap.( q+s=r bq.cs)).xi = i∈N ai × i∈N (p+q=i(bp.cq)).xi
Montrons que l’anneau est intègre. Supposons que u et v de
A[[x]] soient telles que u × v = 0 et que u ≠ 0. Alors pour tout i,
ki = p+q=i(up.vq) = 0. Soit j = min(i, ui ≠ 0). Si j = 0, u0 ≠ 0, or
u0.v0 = 0 donc v0 = 0 car A est intègre. De plus, u0.v1 + u1.v0 = 0
donc v1 = 0. Par récurrence, vi = 0 pour tout i. Si j = 1,
u0 = 0 et u1 ≠ 0. Or u0.v1 + u1.v0 = 0 donc v0 = 0. Et par
récurrence, vi = 0 pour tout i.
Par récurrence sur j, on montre que v = 0 dans tous les cas.
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•Proposition 1 : A[x] est un sous-anneau de A[[x]]
•Preuve : la somme de deux polynômes est un polynôme et
l’opposé d’un polynôme est un polynôme. Donc A[x] est sous-
groupe de A[[x]]. De plus, le produit de 2 polynômes est un
polynôme et 1 est un polynôme. Donc A[x] est sous-anneau de
A[[x]]
•Note : - on appelle monôme un polynôme de degré n où seul le terme de
degré n est non nul
- tout polynôme est la somme des monômes qui y figurent
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•Division de séries formelles : soient a et b deux séries formelles
telles que b ≠ 0. On dit que b divise a ssi il existe une série
formelle c telle que a = b × c.
•Proposition 2 : soient u ≠ 0,v,v’ des séries formelles. Alors
u × v = u × v’ implique que v = v’.
•Preuve : Si v ≠ v’, il existe k tel que vk ≠ v’k. Soit m le plus petit k
vérifiant cette propriété et n l’ordre de u. Alors (u × v)n+m = p=0..n
+m up.vn+m-p = p=n..n+m up.vn+m-p car
up = 0 si p < n, donc (u × v)n+m = p=0..m un+p.vm-p =
p=0..m un+m-p .vp. De même, (u × v’)n+m = p=0..m un+m-p .v’p, donc
(u × v – u × v’)n+m = p=0..m un+m-p.(vp – v’p) = un.(vm – v’m) =
(u × (v-v’))
n+m

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• Or (u × v – u × v’) = 0 car u × v = u × v’. Comme un ≠ 0, et
vm ≠ v’m, (u × v – u × v’)n+m ≠ 0, ce qui contredit u × v = u × v’.
•Corollaire : si une série v divise une série u, la série w telle que
u = v × w est unique. On note cette série u/v
•Proposition 3 : soient u et v des séries formelles sur un corps,
différentes de 0, d’ordres respectifs n et m. Alors v divise u ⇔
m ≤ n
•Preuve : Supposons que v divise u et notons u/v = w. Alors
uq = (v × w)q = p=0..q vp.wq-p. Si q < m, alors p=0..q vp.wq-p= 0 = uq
d’où q < n et donc m ≤ n. Licence Informatique - Informatique théorique 2 2005/2006
• Supposons que m ≤ n. Posons wp = 0 si p < n-m, wp = un/vn si
p = n-m et wn-m+i+1 = (un+i+1 - p=0..n-m+i vn+i+1-p.wp)/vm si i ≥ 0. Les wi
forment une série formelle qu’on note w. Calculons (v × w)q.
Si q < n - m, (v × w)q = p=0..q wp.vq-p = 0 = uq (car wi = 0).
Sinon, (v × w)q = p=n-m..q wp.vq-p = p=0..q-n+m wp+n-m.vq-n+m-p
Si n – m ≤ q < n, -p ≤ q – n + m – p < m – p donc les vi de
(v × w)q sont nuls et (v × w)q = 0 = uq
Si q = n, (v × w)q = p=0..m wp+n-m.vm-p = p’=0..m wn-p’.vp’ = un
Si q > n, posons q = n + i + 1. (v × w)q = p=0..n+i+1 wn+i+1-p.vp (par
définition) = p=m..n+i+1 wn+i+1.vp (car m est l’ordre de v) =
p’=0..n-m+i+1 wn+i+1-p’-m.vp’+m = p’’=0..n+i+1-m wp’’.vn+i+1-p’’ =
(
p’’=0..n-m+i
w
p’’
.v
n+i+1-p’’
) + w
n-m+i+1
.v
m
= u
n+i+1
= u
q
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•Série inversible : une série formelle a de A[[x]] est dite
inversible s’il existe dans A[[x]] une série b telle que a × b = 1
•Proposition 4 : si une série est inversible, son inverse est
unique
•Preuve : soit a une série inversible, b et c deux inverses de a.
Alors a × b = a × c = 1 donc c × a × b = c × 1 d’où b = c.
•Note : - l’inverse de a est noté a-1 ou 1/a
- (a-1)-1 = a
•Théorème 2 : une série i∈N ai.xi sur un anneau est inversible si
et seulement si a0 est inversible
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•Preuve du théorème 2 : i∈N ai.xi est inversible ssi il existe une
série j∈N bj.xj telle que
a0.b0 = 1
a0.b1 + a1.b0 = 0
…
Ce système implique que a0 est inversible. D’autre part, si a0 est inversible,
on peut calculer b0 (b0= a0-1), puis b1 (b1 = (- (a0.a0-1)).(a0-1)) et tous les bi
par récurrence. Autre preuve : utiliser la proposition 3.
•Notes : - A[[x]] n’est pas un corps
- l’inverse d’un polynôme est en général une série. Par exemple,
l’inverse de 1-x est i
∈ N xi. Ceci justifie de considérer les séries
formelles en toute généralité et pas seulement les polynômes.
- si A est un corps, une série a de A[[x]] est inversible ssi a0 ≠ 0
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•Corps des fractions : le corps des fractions d’un anneau A,
commutatif et intègre, est le plus petit corps contenant A
•Construction du corps des fractions : on définit sur A×A* deux
opérations + et . par (a,b)+(c,d) = (a.d+c.b,b.d) et (a,b).(c,d) =
(a.c,b.d). Ces deux lois sont internes, commutatives car A est
commutatif, associatives possèdent un élément neutre ((0,1)
pour + et (1,1) pour .).
Mais les éléments de (A×A*,+,.) ne sont pas forcément
inversibles, et . n’est pas forcément distributive par rapport à +.
On considère donc l’ensemble (A×A*)/R où est la relation
d’équivalence (a,b)R(c,d) ⇔ a.d=b.c (on note a/b la classe de
(a,b))
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•R est une relation d’équivalence et alors ((A×A*)/R,+,.) avec +
et . induites par les opérations définies auparavant est bien un
corps. En effet (a/b).(e/f) + (c/d).(e/f) = (a.e/b.f) + (c.e/d.f) =
(a.e.d.f + c.e.b.f)/b.f.d.f = ((a.d + c.b).e)/b.f.d = ((a/b) + (c/d)).
(e/f), donc . est bien distributive par rapport à +.
D’autre part (a/b) + ((-a)/b) = (a.b + (-a).b)/b² = 0/b² = 0/1, donc
tout élément a un inverse pour +
Et (a/b).(b/a) = (a.b)/(b.a) = 1/1 donc tout élément a un inverse
pour .
•Théorème 3 : le corps ((A×A*)/R,+,.) définit comme
précédemment sur un anneau commutatif intègre A est, à un
isomorphisme près, le corps des fractions de A

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•Corps des fractions rationnelles : soit A[x] l’anneau des
polynomes formels sur A. Le corps des fractions de A[x] est
appelé corps des fractions rationnelles sur A et noté A(x)
•Corps des séries de Laurent : soit A[[x]] l’anneau des séries
formelles sur A. Le corps des fractions de A[[x]] est appelé
corps des séries de Laurent sur A et noté A((x))
•Note : - A[x]
⊆ A[[x]] donc A(x) ⊆ A((x))
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•Idée de la décomposition : déterminer les coefficients d’une
série génératrice correspondant à une fonction donnée. Cette
fonction doit être écrite sous forme de fraction de polynômes.
•Proposition 5 : soit g(x) = U(x)/V(x) une fonction telle que U et V
soient deux polynômes n’ayant pas de racine commune et tels
que deg(U) < deg(V) = m et que V admette m racines distinctes
(c’est-à-dire V(x) = ∏i=1..m(x - ri)). Alors, il existe des constantes
a1, .., am telles que g(x) = j=1..m, ai/(x - ri)
•Note : - on suppose que U et V n’ont pas de racine commune et que
deg(U) < deg(V) pour que g(x) soit irreductible
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•Preuve : calculons les ai. Posons pour tout i=1..m, gi(x) = g(x).
(x-ri). Alors gi(x) = ai + j=1..m, j≠i aj.(x - ri)/(x - rj). On a donc gi(ri) =
ai pour tout i = 1..m. De plus, gi(x) = U(x)/(∏j=1..m,j ≠ i(x - rj)) donc
gi(ri) = U(ri)/(∏j=1..m,j ≠ i(ri - rj)). Finalement, pour i=1..m,
on a ai = U(ri)/(∏j=1..m,j ≠ i(ri - rj)).
•Exemple : - calculer les coefficients de la série formelle correspondant à
(x - 3)/(x² + 2x - 3). On a U(x) = x - 3 et V(x) = (x + 3)(x - 1) donc
m = 2, r1 = -3 et r2 = 1. On aura donc a1 = -6/-4 = 3/2 et
a2 = -2/4 = -1/2. Finalement (x - 3)/(x² + 2x - 3) = 1.5/(x + 3) -
0.5/(x - 1)
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•Proposition 6 (généralisation de la proposition 5) : dans le cas
où V a des racines multiples et est donc de la forme V(x) =
∏i=1..m(x - ri)ki, alors g(x) = i=1..m, j=1..ki aij/(x - ri)j.
•Méthode pour les racines de multiplicité 2 : les aiki sont calculés
en multipliant g(x) par (x - ri)ki et en posant x = ri. Les autres aij
sont calculés en multipliant g(x) par x et en faisant tendre x vers
l’infini.
•Exemple : - calculer les coefficients de la série formelle correspondant à
(x - 2)/(x3 - 11x² + 40x - 48). On a U(x) = x - 2 et V(x) = (x - 3)
(x - 4)² donc m = 2, r1 = 3, k1 = 1, r2 = 4 et k2 = 2. On aura donc
g(x) = a11/(x - 3) + a21/(x - 4) + a22/(x - 4)². a11 = 1. a22 = 2.
a21 = -1. Finalement (x - 2)/(x3 -11x² + 40x - 48) = 1/(x - 3) +
2/(x - 4)² - 1/(x - 4)
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•Théorème 3 : soient A et B deux polynômes tels que b0 ≠ 0.
Alors pour tout n entier, il existe un unique couple (Q,R) de
polynômes tels que A = B×Q + Xn×R et deg(Q) < n (division de
polynômes selon les puissances croissantes à l’ordre n).
•Méthode pour les racines de multiplicité supérieure : on pose
pour chaque p=1..m, y = x – rp. On a donc, pour chaque p,
U’(y)/V’(y)= i=1..m, j=1..ki aij/(y + rp – ri)j. On divise U’(y) par
P(y) = ∏i=1..m,i ≠ p(y + rp - ri)ki selon les puissances croissantes à
l’ordre kp. U’(y) = P(y)( j=0..(kp – 1) qj.yj) + R(y) où R est un
polynôme ayant tous ses monômes de degré supérieur ou égal
à kp.
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• On a donc U’(y)/V’(y) = ( j=0..(kp – 1) qj.yj)/ykp + R(y)/V’(y) mais on
peut factoriser R(y) par ykp et donc on obtient U’(y)/V’(y) = ( j=0..
(kp – 1) qj.yj)/ykp + R’(y)/P(y). La partie ( j=0..(kp – 1) qj.yj)/ykp donne les
coefficients apj.
•Exemple : - calculer les coefficients de la série formelle correspondant à
(-6x - 26)/(x - 1)(x + 3)4.
on pose y = x + 3. La fraction devient (-6y - 8)/(y - 4)y4
on divise -6y - 8 par y - 4 selon les puissances croissantes à l'ordre 4
Solution : (-6x - 26)/(x-1)(x+3)4 = -1/8(x - 1) +
1/8(x + 3) + 1/2(x + 3)² + 2/(x + 3)3 + 2/(x + 3)4

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-8 - 6y -4 + y
-8 + 2y 2 + 2y + y2/2 + y3/8
-8y
-8y + 2y2
- 2y2
- 2y2 + y3/2
- y3/2
- y3/2 + y4/8
- y4/8
•on a donc -8 - 6y = (-4 + y)(2 + 2y + y2/2 + y3/8) - y4/8 donc
(-8 - 6y)/(-4 + y)y4 = (2 + 2y + y2/2 + y3/8)/y4 - y4/8(-4 + y)y4
soit (-8 - 6y)/(-4 + y)y4 = 2/y4 + 2/y3 + 1/2y2 + 1/8y - 1/8(-4 + y), il suffit alors
de refaire le changement de variable y = x + 3
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•Proposition 7 (généralisation la plus générale) : dans le cas où
V a des binômes irréductibles et est donc de la forme V(x) =
∏i=1..m(x - ri)ki ∏j=1..n(x² + aj.x + bj)lj, alors g(x) =
i=1..m, k=1..ki aik/(x - ri)k + j=1..n l=1..lj (pjl + qjl.x)/(x² + aj.x + bj)lj .
•Note : - les éléments simples du type (pjl + qjl.x)/(x² - aj.x - bj)lj sont dits
éléments de 2e espèces, les éléments aik/(x - ri)ki sont dits de 1e
espèce
•Méthodes pour trouver les coefficients p
jl et q jl : méthode de
multiplication par (x² + aj.x + bj)lj et on pose x = racine complexe
du binôme ou méthode de la limite.
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•Autres méthodes :
–trouver des valeurs particulières de x qui permettent de calculer
facilement certains coefficients.
–méthode générale mais souvent pénible : mettre la somme des fractions
sous le même dénominateur et identifier les coefficients des monômes
des numérateurs des deux fractions.
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•Idée : à partir d’une suite définie récursivement, obtenir
directement l’élément à un rang donné. Pour cela, on va utiliser
la décomposition des fractions rationnelles en éléments
simples.
•Récurrence linéaire à coefficient constants : soit une suite
définie par la relation de récurrence un = j=1..k ai.un-i pour n ≥ k.
On veut pouvoir calculer directement un. Posons u(x) = n≥0
un.xn. Or pour n ≥ k, un.xn = i =1..k ai.xi.un-i.xn-i. Donc j ≥ k uj.xj = j ≥
k i =1..k ai.xi.uj-i.xj-i = i =1..k ai.xi (j ≥ k uj-i.xj-i) = i =1..k ai.xi
( j ≥ k-i uj.xj). Si on pose Pi(x)= p=0..i up.xp, on a u(x) = Pk-1(x) + n ≥
k un.xn. Donc u(x) – Pk-1(x) = i=1..k ak.xk (u(x) – Pk-i-1(x)). D’où u(x)
(1 - i=1..k ak.xk) = Pk-1(x) - i=1..k ak.xk.Pk-i-1(x)
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• Donc finalement u(x) = (Pk-1(x) - i=1..k ak.xk.Pk-i-1(x)) / (1 - i=1..k
ak.xk) = P(x) / (1 - i=1..k ak.xk) où P(x) est un polynôme de degré
inférieur ou égal à k-1. La décomposition de la fraction u(x) en
éléments simples permet d’obtenir les coefficients un.
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Exemple : - pour n ≥ 2, un = 4un-1 - 4un-2
U(x) = U0 + U1x + (4U1 - 4U0)x2 + .. + (4Un-1 - 4Un-2)xn + ..
-4xU(x) = -4U0x - 4U1x2 - 4(4U1 - 4U0)x3 + .. - 4(4Un-1 - 4Un-2)xn+1 + ..
4x2U(x) = 4U0x2 + 4U1x3 + 4(4U1 - 4U0)x4 + .. + 4(4Un-1 - 4Un-2)xn+2 + ..
Donc U(x) - 4xU(x) + 4x2U(x) = U0 + (U1 - 4U0)x et on décompose la fraction
(U0 + (U1 - 4U0)x) / (1 - 4x + 4x2) = (U0 + (U1 - 4U0)x) / 4(x - 1/2)2 ce qui donne
-2U0 / 4(x - 1/2) + (U0 + U1) / 4(x - 1/2)2
On cherche les séries usuelles correspondantes
-2U0 / 4(x - 1/2) = U0 i
∈ N 2i.xi et (U0 + U1) / 4(x - 1/2)2 = (U0 + U1) i ∈ N C2i.(2x)i
le terme de rang n de U(x) est donc U02n + 2n(U0 + U1)n(n - 1)/2 = un