5.7 CW-complexes

208
5.7
5. Théories de chaînes et applications
CW-complexes
☞ 289 Définition. Un « CW-complexe » est la donnée de :
• un espace topologique X et une suite croissante (Xn )n∈N (Xn ⊂ Xn+1 )
de sous-espaces de X, tels que X soit la colimite( 10 ) (dans Top) du
�
� X1 � �
� X2 � �
� . . .,
diagramme X0 �
• pour chaque n ∈ N, un espace topologique discret En et un carré cocartésien (dans Top)
n−1
En × S
�
ϕn
�
�
En × D n
ψn
� Xn−1
��
�
� Xn
(où on a posé X−1 = S−1 = ∅). Par abus de langage, on dira que X luimême est un CW-complexe. Xn est appelé le « n-squelette » de X. Pour
tout i ∈ En , la composition des applications
Dn
x✤
� En × D n
� (i, x)
ψn
� Xn � �
�X
qu’on notera σi , est appelée la « n-cellule d’indice i » de X.
La condition que X soit la colimite de la suite de ses squelettes Xn est équivalente à dire que X est la réunion des Xn et qu’une partie A de X est ouverte
si et seulement si, pour tout n ∈ N, A ∩ Xn est ouvert dans Xn .
Si F est un fermé de X, X − F est un ouvert de X et (X − F ) ∩ Xn est donc un
ouvert de Xn . Comme (X − F ) ∩ Xn = Xn − (F ∩ Xn ), on voit que F ∩ Xn est
fermé dans Xn . Réciproquement, si une partie F de X est telle que F ∩ Xn
soit fermée dans Xn pour tout n ∈ N, alors Xn − (F ∩ Xn ) = (X − F ) ∩ Xn est
ouvert dans Xn pour tout n, donc X−F est ouvert dans X, et donc F est fermé
dans X. Une partie d’un CW-complexe est donc fermée si et seulement si son
intersection avec chaque squelette est une partie fermée de ce squelette.
☞ 290 Lemme. Les squelettes Xn d’un CW-complexe X sont des parties
fermées de X.
Démonstration. Comme Xn−1 est fermé dans Xn (il résulte en effet immédiatement du carré cocartésien de la définition que Xn − Xn−1 a des ouverts
10. C’est-à-dire la limite inductive, puisque N ordonné de la manière usuelle est filtrant.
209
5.7. CW-complexes
pour images réciproques par les deux flèches de cible Xn de ce carré cocartésien), on voit que Xp est fermé dans Xn pour p ≤ n. Il en résulte que Xn ∩ Xp
est fermé dans Xp pour tout p ∈ N, donc que Xn est fermé dans X.
❏
☞ 291 Lemme. Soit X un CW-complexe.
• Le 0-squelette X0 de X est un espace discret.
• X est séparé.
Démonstration. (a) Pour n = 0, le carré cocartésien de la définition se
réduit à
�∅
∅�
��
�
�
E0 × D 0
ψ0
�
� X0
ce qui montre que ψ0 est un homéomorphisme et que X0 est donc homéomorphe à E0 . Le 0-squelette de X est donc un espace discret.
(b) On va d’abord montrer que si x et y sont deux points distincts de Xn ayant
dans Xn des voisinages ouverts respectifs Un et Vn disjoints, alors ils ont
dans Xn+1 des voisinages ouverts respectifs disjoints Un+1 et Vn+1 tels que
Un = Un+1 ∩ Xn et Vn = Vn+1 ∩ Xn . À cette fin, reprenons le carré cocartésien :
Sn
En+1 ×
�
ϕn+1
� Xn
��
�
�
En+1 × Dn+1
ψn+1
�
� Xn+1
−1
de la définition 289. Les ensembles ϕ−1
n+1 (Un ) et ϕn+1 (Vn ) sont des parties
n
ouvertes disjointes de En+1 × S . Posons :
U
V
= {(i, u) ∈ En+1 × Dn+1 | �u� >
= {(i, v) ∈ En+1 × Dn+1 | �v� >
1
2
1
2
u
∧ (i, �u�
) ∈ ϕ−1
n+1 (Un )}
v
∧ (i, �v�
) ∈ ϕ−1
n+1 (Vn )}
Alors U et V sont des ouverts de En+1 × Dn+1 . On pose Un+1 = ψn+1 (U ) et
−1
−1
(Un+1 ) = U , ψn+1
(Vn+1 ) = V , Un+1 ∩ Xn = Un
Vn+1 = ψn+1 (V ). On a ψn+1
et Vn+1 ∩ Xn = Vn . Ainsi, Un+1 et Vn+1 sont des ouverts de Xn+1 ayant les
propriétés annoncées.
Il en résulte que si Xn est séparé, il en est de même de Xn+1 . En effet, d’après
ce qui précède, si les points distincts x et y sont dans Xn alors ils ont des
voisinages ouverts disjoints dans Xn+1 . Si x ∈ Xn et y �∈ Xn , il existe une
210
5. Théories de chaînes et applications
unique paire (i, z) ∈ En+1 × Dn+1 telle que y = ψn+1 (i, z), et en prenant λ tel
que �z� < λ < 1, on voit que les ouverts disjoints ψn+1 ({(i, z) | �z� < λ}) et
ψn+1 ({(i, z) | �z� > λ}) de Xn+1 contiennent respectivement y et x. Enfin, si
x et y sont tous deux hors de Xn , il suffit de prendre les images par ψn+1 de
voisinages ouverts disjoints de leurs uniques antécédents par ψn+1 . Comme
X0 est séparé, il en est de même par récurrence de tous les squelettes de X.
Soient enfin x et y deux points distincts de X. Il existe n tel que x et y
soient dans Xn . Comme Xn est séparé, il existe des ouverts Un et Vn disjoints qui sont des voisinages de x et y dans Xn . D’après ce qui précède,
il existe des ouverts Un , Un+1 , Un+2 , . . . et Vn , Vn+1 , Vn+2 , . . . séparant x et y
�
�
dans Xn , Xn+1 , Xn+2 , . . . respectivement. Posons U = i≥n Ui et V = i≥n Vi .
On a U ∩ Xi = Ui et V ∩ Xi = Vi pour i ≥ n, donc U et V sont des ouverts
disjoints de X contenant respectivement x et y.
❏
☞ 292 Lemme. Toute partie compacte d’un CW-complexe est incluse dans
l’un de ses squelettes.
Démonstration. Supposons que le compact K du CW-complexe X ne soit
pas contenu dans un squelette Xn de X. Il existe alors une suite {xn }n∈N
de points de K tels que xn �∈ Xn pour tout n ∈ N. Notons que l’image de
cette suite est infinie. Comme le singleton {xn } est fermé dans X (car X est
séparé), il en est de même de tout ensemble fini de points de la suite {xn }n∈N .
Si A est un sous-ensemble quelconque de l’image de la suite, A est fermé dans
X puisque A ∩ Xn est fini donc fermé dans Xn . Ainsi, l’image de la suite est
un sous-espace discret de X, donc de K. Comme K est compact, cet ensemble
doit être fini, ce qui est contradictoire.
❏
☞ 293 Corollaire. Pour tout CW-complexe X, et tout foncteur satisfaisant les axiomes de la définition 247 (page 181), la flèche canonique
colimn C(Xn ) → C(X) est un isomorphisme. Par conséquent, l’homologie
d’un CW-complexe est la limite inductive des homologies de ses squelettes.
Démonstration. Il suffit de montrer que C(X) est la réunion des C(Xn ).
D’après l’axiome (3) de la définition 247, C(X) est la réunion des C(K) où K
parcourt l’ensemble des parties compactes de X. Or, d’après le lemme précédent, pour toute partie compacte K de X, il existe n tel que C(K) ⊂ C(Xn ). ❏
☞ 294 Exemple. La sphère Sn a une structure très simple de CW-complexe. Dans le cas
n = 0, prenons pour E0 un ensemble à deux éléments (disons S0 lui-même) et l’ensemble vide
pour En si n > 0. Posons X0 = X1 = · · · = Xn = · · · = X = Sn . Il est clair que Sn est la limite
211
5.7. CW-complexes
inductive de ses squelettes. Le carré
∅�
�∅
��
�
�
S0 × D0
�
� S0
ψ0
est clairement cocartésien, et pour n > 0, le carré de la définition se réduit à
∅
� S0
�
�
∅
�
� S0
qui est lui aussi cocartésien.
Dans le cas de la sphère Sn , n > 0, on prend un singleton pour E0 et pour En , l’ensemble vide
pour tous les autres Ei . On pose {∗} = E0 = X0 = · · · = Xn−1 et Xn = · · · = X = Sn . On a les
deux carrés
� X−1
� Xn−1
{∗} × Sn−1
{∗} × ∅
�
{∗} × D0
�
�
� X0
{∗} × Dn
�
� Xn
Le premier est clairement cocartésien. Le second l’est parce que l’espace obtenu à partir de
Dn en écrasant Sn−1 sur le point Xn−1 est homéomorphe à Sn .
L’espace projectif RPn a lui aussi une élégante structure de CW-complexe, avec une cellule
dans chacune des dimensions 0, . . . , n et aucune cellule de dimension supérieure. On le voit
par récurence sur n, le cas n = 0 étant trivial. Considérons le revêtement à deux feuilles
π : Sn−1 → RPn−1 . On a le carré
π
� RPn−1
Sn−1
�
�
�
�
Dn
�
�
� RPn
Dire qu’il est cocartésien revient à dire que l’espace obtenu à partir de Dn en identifiant tout
point de Sn−1 avec son antipode est RPn , ce qui découle immédiatement de la définition de
RPn .
De nombreux autres espaces d’usage courant en topologie algébrique ont des « décompositions cellulaires » (c’est-à-dire des structures de CW-complexes) qu’on peut décrire de manière
explicite comme ci-dessus. Toutefois, de nombreux espaces très simples ne sont pas des CWcomplexes. Par exemple, le sous-espace (compact) X de R constitué des réels de la forme 1/n
(n ∈ N∗ ) et de 0 n’est pas un CW-complexe. En effet, si un CW-complexe a au moins une cellule
de dimension strictement positive n, il contient un sous-espace homéomorphe à Rn (car son
n-squelette contient un tel sous-espace à cause du deuxième point de la définition). Or, Rn
(n > 0) est infini et connexe par arcs, alors que les seules parties connexes par arcs de X sont
des singletons. Si X est un CW-complexe, X n’a donc pas de cellule de dimension non nulle
et est homéomorphe à son 0-squelette X0 . Or, on va montrer plus bas que le 0-squelette d’un
CW-complexe est un espace discret, ce qui n’est pas le cas de X.
212
5. Théories de chaînes et applications
☞ Exercice 41. (a) Montrer que tout ouvert de Rn est un CW-complexe.
☞ 295 Lemme. Pour tout CW-complexe X,
• (a) Hi (Xn , Xn−1 ) = 0 pour i �= n et Hn (Xn , Xn−1 ) � Λ[En ] (le Λ-module
libre engendré par En ),
• (b) la flèche Hi (Xn−1 ) → Hi (Xn ) induite par l’inclusion Xn−1 �→ Xn est
un isomorphisme pour tout i différent de n − 1 et de n, une surjection
pour i = n − 1,( 11 )
• (c) Hi (Xn ) = 0 pour i > n,
• (d) l’inclusion Xn �→ X induit un isomorphisme Hi (Xn ) → Hi (X) pour
tout i ≤ n − 1, et une surjection pour i = n,
• (e) Hi (X, Xn ) = 0 pour tout i ≤ n.
Démonstration. (a) Soit Tn l’image par ψn des points de la forme (i, 0) ∈
En ×Dn , c’est-à-dire l’ensemble des « centres » des n-cellules de Xn . L’inclusion
Xn−1 �→ Xn − Tn est clairement une équivalence d’homotopie, et la paire
(Xn , Xn−1 ) est homotopiquement équivalente à la paire (Xn , Xn − Tn ). Par
excision, cette dernière a l’homologie de la paire (En × Dn , En × Sn−1 ). Or,
Hi (En × Dn , En × Sn−1 ) = 0 pour i �= n, et Hn (En × Dn , En × Sn−1 ) est la
somme directe d’autant d’exemplaires de Hn (Dn , Sn−1 ) qu’il y a d’éléments
dans En . Noter que le résultat est aussi valable pour n = 0.
(b) On a la suite exacte
Hi (Xn−1 )
� Hi (Xn )
� Hi (Xn , Xn−1 )
� Hi−1 (Xn−1 )
� Hi−1 (Xn )
et (a) donne donc le résultat.
(c) Il résulte du lemme 291 qu’on a Hi (X0 ) = 0 pour i > 0, et le point (b)
permet de conclure par récurrence sur n.
(d) Quel que soit n ∈ N, X est la colimite du diagramme
Xn �
�
� Xn+1 � �
� Xn+2 � �
�. . .
Or (b) montre qu’il suffit de prendre n tel que i ≤ n − 1 pour que toutes les
flèches du diagramme
Hi (Xn )
� Hi (Xn+1 )
� Hi (Xn+2 )
�. . .
11. Et une injection pour i = n, mais ceci ne présente pas d’intérêt car (c) montre que
Hn (Xn−1 ) = 0.
213
5.7. CW-complexes
soient des isomorphismes. Pour i = n, elles sont encore toutes des isomorphismes sauf la première qui est seulement surjective en général. Il en résulte, comme Hi (X) est la colimite de ce diagramme, que Hi (Xn ) → Hi (X)
est un isomorphisme pour i ≤ n − 1 et une surjection pour i = n.
(e) On a la suite exacte
Hn (Xn )
fn
� Hn (X)
� Hn−1 (Xn ) fn−1� Hn−1 (X)
� Hn (X, Xn )
� ...
où les flèches fi (i ≤ n) sont toutes surjectives et bijectives pour i ≤ n − 1
d’après (d). Il en résulte que toutes les flèches anonymes ci-dessus sont nulles
❏
et donc que Hi (X, Xn ) = 0 pour i ≤ n.
Pour tout i ∈ En , on a l’application (continue) fi : (Dn , Sn−1 ) → (Xn , Xn−1 ) qui
envoie tout x ∈ Dn sur ψn (i, x), puisque si x ∈ Sn−1 , on a ψn (i, x) = ϕn (i, x).
On peut donc poser γi = (fi )∗ (ιn ) ∈ Hn (Xn , Xn−1 ), où ιn ∈ Hn (Dn , Sn−1 ) est le
générateur canonique. γi peut être vu comme la représentation homologique
de la n-cellule d’indice i ∈ En . On a également l’application composée
Sn−1
x✤
� En × Sn−1
� Xn−1
� (i, x)
L’image par la flèche induite par cette application du générateur canonique
de Hn−1 (Sn−1 ) (qui est lui-même l’image de ιn par le connectant ∂∗ de la suite
exacte d’homologie de la paire (Dn , Sn−1 )) est un élément de Hn−1 (Xn−1 ),
qui détermine donc un élément de γi� ∈ Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ). Ceci définit une
application linéaire Hn (Xn , Xn−1 ) → Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ) (donnée par γi �→ γi� ).
☞ 296 Théorème. Soit X un CW-complexe. Alors l’application Hn (Xn , Xn−1 ) →
Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ) définie ci-dessus est le connectant de la suite exacte d’homologie du triple (Xn , Xn−1 , Xn−2 ), et
...
∂∗
� Hn+1 (Xn+1 , Xn ) ∂∗ � Hn (Xn , Xn−1 ) ∂∗ � Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ) ∂∗ � . . .
est un DG-module. Son homologie est appelée l’« homologie cellulaire du CWcomplexe X ».
Démonstration. Pour tout i ∈ En , par naturalité de la suite exacte d’homologie d’un triple appliquée à σi : (Dn , Sn−1 , ∅) → (Xn , Xn−1 , Xn−2 ), on a le
diagramme commutatif
Hn (Dn , ∅)
� Hn (Dn , Sn−1 )
�
�
� Hn (Xn , Xn−1 )
Hn (Xn , Xn−2 )
∂∗
∂∗
� Hn−1 (Sn−1 , ∅)
� Hn−1 (Dn , ∅)
�
� Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )
�
� Hn−1 (Xn , Xn−2 )
214
5. Théories de chaînes et applications
∂∗ envoie le générateur canonique ιn de Hn (Dn , Sn−1 ) sur le générateur canonique de Hn−1 (Sn−1 , ∅). On a donc
ι❴n ✤
� ∂∗ (ιn )
❴
�
γi ✤
�
� γ�
i
ce qui montre que ∂∗ (γi ) = γi� .
Il reste à montrer que ∂∗2 = 0. Toujours par naturalité de la suite exacte d’un
triple, on a le diagramme commutatif
∂∗
Hn (Xn , Xn−1 )
� Hn−1 (Xn−1 )
1
�
� Hn (Xn , Xn−1 )
�
∂∗
Hn+1 (Xn+1 , Xn )
�
1
∂∗
�
� Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )
i∗
Hn+1 (Xn+1 , Xn )
� Hn (Xn )
∂∗
où les flèches verticales sont induites par les inclusions (Xn+1 , Xn , ∅) ⊂
(Xn+1 , Xn , Xn−1 ) et (Xn , Xn−1 , ∅) ⊂ (Xn , Xn−1 , Xn−2 ). À cause de la présence
de deux flèches identité, ce diagramme peut être redessiné comme ceci (il est
toujours commutatif)
Hn−1 (Xn−1 )
∂∗
∂∗
Hn+1 (Xn+1 , Xn )
�
Hn (Xn )
� Hn (Xn , Xn−1 )
�
�
∂∗
�
� Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )
i∗
Le composé (oblique sur le diagramme) ∂∗ i∗ étant nul (suite exacte d’homo❏
logie de la paire (Xn , Xn−1 )), on a le résultat annoncé.
On va maintenant comparer l’homologie cellulaire d’un CW-complexe X à
215
5.7. CW-complexes
son homologie singulière. On a le diagramme
Hn (Xn−1 ) = 0
�
Hn (Xn )
�
Hn (Xn , Xn−1 )
∂∗
∂∗
� Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )
�
�
Hn−1 (Xn−1 )
�
Hn−1 (Xn−2 ) = 0
dans lequel le triangle est commutatif par naturalité de la suite exacte
des triples appliquée à l’inclusion (Xn , Xn−1 , ∅) ⊂ (Xn , Xn−1 , Xn−2 ). Comme
Hn−1 (Xn−2 ) = 0 (lemme 295 (page 212) (c)), la flèche (oblique) Hn−1 (Xn−1 ) →
Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ) est injective. Il en résulte que les deux flèches labélisées
∂∗ dans le diagramme ont le même noyau, lequel est isomorphe à Hn (Xn ) via
la flèche induite par l’inclusion (Xn , ∅) ⊂ (Xn , Xn−1 ), car Hn (Xn−1 ) = 0.
Le noyau de ∂∗ : Hn (Xn , Xn−1 ) → Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 ), après identification
avec Hn (Xn ), peut donc être envoyé dans Hn (X) via la flèche Hn (Xn ) →
Hn (X) induite par l’inclusion Xn ⊂ X.
☞ 297 Théorème. La flèche Ker(∂∗ ) → Hn (X) décrite ci-dessus est surjective et son noyau est l’image de ∂∗ : Hn+1 (Xn+1 , Xn ) → Hn (Xn , Xn−1 ). En
conséquence, l’homologie cellulaire de X est isomorphe à son homologie singulière.
Démonstration. La surjectivité résulte du lemme 295 (page 212) (d). On
a le diagramme commutatif (toujours par naturalité de la suite exacte des
216
triples)
5. Théories de chaînes et applications
Hn+1 (X, Xn+1 ) = 0
�
∂∗
Hn+1 (X, Xn )
p
Hn+1 (Xn+1 , Xn )
f
� Hn (Xn )
�
�
∂∗
� Hn (X)
�
� Hn (Xn , Xn−1 )
∂∗
�
∂∗
Hn−1 (Xn−1 )
Comme Hn+1 (X, Xn+1 ) = 0 (lemme 295 (e)), la flèche p est surjective, et les
deux flèches ∂∗ de cible Hn (Xn ) ont la même image. La suite
Hn+1 (X, Xn )
∂∗
� Hn (Xn )
f
� Hn (X)
étant exacte, il en est de même de la suite
Hn+1 (Xn+1 , Xn )
∂∗
� Hn (Xn )
f
� Hn (X)
Ceci démontre le théorème, compte tenu de l’identification de Hn (Xn ) a un
sous-module de Hn (Xn , Xn−1 ).
❏
☞ Exercice 42. En utilisant l’exemple 294 (page 210), calculer l’homologie
de RPn à coefficients dans un anneau Λ quelconque.