4.10 Homologie d`un produit tensoriel de modules différentiels

4.10. Homologie d’un produit tensoriel de modules différentiels gradués 173
4.10 Homologie d’un produit tensoriel de modules
différentiels gradués
Si Met Nsont deux DG-modules, on a un morphisme canonique :
H(M)⊗H(N)can H(M⊗N)
[x]⊗[y][x⊗y]
En effet, si xet ysont des cycles de Met Nrespectivement, il est immédiat
que x⊗yest un cycle de M⊗N, puisque ∂(x⊗y)=(∂x)⊗y+ (−1)|x|x⊗(∂y).
Pour voir que le morphisme ci-dessus est bien défini, il suffit donc de prouver
que [x⊗y] = [(x+∂z)⊗y], c’est-à-dire que [∂z⊗y]=0. Mais, comme ∂y = 0, ceci
résulte immédiatement du fait que ∂(z⊗y) = ∂z ⊗y±z⊗∂y. Le morphisme
canonique ainsi obtenu n’est généralement pas un isomorphisme, comme on
va le voir plus loin.
Ce morphisme est par ailleurs clairement « associatif », c’est-à-dire que le
diagramme
H(M)⊗H(N)⊗H(P)
can ⊗1
1⊗can H(M)⊗H(N⊗P)
can
H(M⊗N)⊗H(P)can
H(M⊗N⊗P)
est commutatif, et il est « commutatif » en ce sens que le diagramme
H(M)⊗H(N)can 
T
H(M⊗N)
T∗
H(N)⊗H(M)can
H(N⊗M)
est commutatif.
☞235 Lemme. Si l’anneau Λest principal, et si Met Nsont relativement [lem:can-retraction]
libres, le morphisme canonique H(M)⊗H(N)→H(M⊗N)admet une ré-
traction (non naturelle).
Démonstration. Comme Mest relativement libre et Λprincipal, B(M)est
relativement libre (lemme 493 (page 405)), et la suite exacte
0Z(M)M∂B(M)0

174 4. Initiation à l’algèbre homologique
est donc (relativement) scindée. Il en résulte que l’inclusion canonique
Z(M)→Madmet une rétraction rM:M→Z(M).( 16) En composant
rMavec la projection canonique de Z(M)sur H(M), on obtient une flèche
pM:M→H(M)qui envoie tout cycle sur sa classe d’homologie (pM(x)=[x],
si xest un cycle). En faisant de même pour N, on obtient la flèche :
M⊗NpM⊗pNH(M)⊗H(N)
Si zest un bord de M⊗N, il s’écrit z=∂(ixi⊗yi)(où la somme est finie),
et il est donc une somme de tenseurs de la forme (∂xi)⊗yet de tenseurs
de la forme xi⊗(∂yi). Or tous ces tenseurs ont 0pour image par pM⊗pN.
En restreignant la flèche ci-dessus aux cycles de M⊗N, et en passant au
quotient, on obtient une flèche :
H(M⊗N)rH(M)⊗H(N)
On a alors (pour tous cycles xet yde Met N) :
r(can([x]⊗[y])) = r([x⊗y])
= (pM⊗pN)(x⊗y)
=pM(x)⊗pN(y)
= [x]⊗[y]
La rétraction construite ci-dessus n’est pas naturelle, car on a utilisé l’axiome
du choix pour établir que la suite exacte au début de la démonstration est
scindée. ❏
Il en résulte bien sûr que le morphisme canonique H(M)⊗H(N)→H(M⊗N)
est injectif si Λest principal et si Met Nsont relativement libres.
☞236 Lemme. Soient Met Ndeux modules différentiels gradués sur un[lem:tenseur-DG-libre-sans-diff]
anneau commutatif quelconque. On suppose que Mest relativement libre et
que sa différentielle est nulle. Alors l’application canonique M⊗H(N)→
H(M⊗N)est un isomorphisme.
Démonstration. Comme Mest relativement libre, on a les suites exactes
de modules différentiels gradués (où iest l’inclusion de B(N)dans Z(N)) :
0M⊗B(N)1⊗iM⊗Z(N)M⊗H(N)0
0M⊗Z(N)M⊗N1⊗∂M⊗B(N)0
16. Qui ne commute généralement pas aux différentielles. Si c’était le cas, la flèche induite
en homologie Z(M)→H(M)aurait une rétraction et serait un isomorphisme, ce qui n’est
bien sûr le plus souvent pas le cas.

4.10. Homologie d’un produit tensoriel de modules différentiels gradués 175
La seconde nous donne (via le lemme du serpent) la suite exacte
. . . M⊗B(N)1⊗iM⊗Z(N)H(M⊗N). . .
car les différentielles de M⊗B(N)et M⊗Z(N)sont nulles et parce que le
connectant de la suite exacte longue est 1⊗i. En effet, comme la différentielle
de M⊗B(N)est nulle, tous ses éléments sont des cycles. On détermine donc
le connectant en le calculant sur les tenseurs x⊗y, où x∈Met y∈B(N).
On choisit uest tel que ∂u = (−1)|x|y, ce qui donne (1 ⊗∂)(x⊗u)=x⊗y, et
on a :
x⊗u
∂M⊗N=1⊗∂
x⊗y
x⊗yx⊗y
Mais comme Mest relativement libre, 1⊗iest injectif, et on a donc le dia-
gramme commutatif à lignes exactes
0M⊗B(N)1⊗i
1
M⊗Z(N)
1
M⊗H(N)
can
0
0M⊗B(N)1⊗iM⊗Z(N)H(M⊗N)0
ce qui prouve le lemme. ❏
☞237 Lemme. (formule de Künneth algébrique) Soit Λun anneau princi- [lem:Kunneth-alg]
pal, Met Ndeux DG-Λ-modules dont l’un au moins est relativement libre.
On a la suite exacte
0H(M)⊗H(N)can H(M⊗N)ψTorΛ
1(H(M), H(N)) 0
(où la flèche ψest de degré −1), naturelle en Met N. De plus, si Met Nsont
tous les deux relativement libres, cette suite est scindée, mais le scindement
n’est pas naturel.
Il est parfois utile d’extraire de la suite exacte ci-dessus la partie qui concerne Hn(M⊗N),
autrement-dit, la suite exacte :
0
p+q=nHp(M)⊗Hq(N)
can
Hn(M⊗N)
ψ
p+q=n−1TorΛ
1(Hp(M), Hq(N))
0

176 4. Initiation à l’algèbre homologique
Démonstration. On suppose Mrelativement libre. On a la suite exacte
courte de modules différentiels gradués
0Z(M)M∂B(M)0
qui est relativement scindée car B(M)est relativement libre. En tensorisant
avec Non obtient la suite exacte relativement scindée de modules différen-
tiels gradués
0Z(M)⊗NM⊗N∂⊗1B(M)⊗N0
et le connectant H(B(M)⊗N)→H(Z(M)⊗N)de la suite exacte longue
associée est induit par i⊗1 : B(M)⊗N→Z(M)⊗N,oùiest l’inclusion
canonique de B(M)dans Z(M). En effet, on a le diagramme commutatif dont
les lignes et les colonnes sont exactes (où jest l’inclusion de Z(N)dans N) :
M⊗Z(N)∂⊗1
1⊗j
B(M)⊗Z(N)
1⊗j
0
M⊗N∂⊗1B(M)⊗N
1⊗∂
0
B(M)⊗B(N)
Ainsi, comme 1⊗∂est la différentielle de B(M)⊗N,sixest un cycle de
B(M)⊗N, il est dans l’image de 1⊗j, donc dans celle de (1 ⊗j)(∂⊗1). Il
a donc un antécédent upar ∂⊗1qui est de la forme u= (1 ⊗j)(v). Comme
(1 ⊗∂)(1 ⊗j)(v) = 0, on voit que ∂(u)=(∂⊗1)(u) = x,etxest alors un
cycle de Z(M)⊗N(qui n’est autre que (i⊗1)(x)) qui représente l’image de
la classe d’homologie de x∈B(M)⊗Npar le connectant.
On a donc la suite exacte
0Coker((i⊗1)∗)ψH(M⊗N)Ker((i⊗1)∗)0
Noter que la flèche ψest celle qui est induite par la flèche canonique de
Z(M)⊗Nvers M⊗N. On a par ailleurs le diagramme commutatif
B(M)⊗H(N)i⊗1
Z(M)⊗H(N)
can
H(B(M)⊗N)(i⊗1)∗
H(Z(M)⊗N)

4.10. Homologie d’un produit tensoriel de modules différentiels gradués 177
dans lequel les flèches canoniques verticales sont des isomorphismes (lemme
236 (page 174)). On a donc juste à calculer le noyau et le conoyau de la flèche
i⊗1(en haut du diagramme précédent). On a la suite exacte de modules
gradués
0B(M)iZ(M)H(M)0
et comme Z(M)est relativement libre, on a la suite exacte
0
TorΛ
1(H(M), H(N))
B(M)⊗H(N)
i⊗1
Z(M)⊗H(N)
H(M)⊗H(N)
0
ce qui donnera la suite exacte de l’énoncé quand on aura vérifié que la flèche
H(M)⊗H(N)→H(M⊗N)ainsi obtenue est bien l’application canonique.
Or, on a le diagramme (où jest l’inclusion de Z(M)dans M)
B(M)⊗H(N)i⊗1
can
Z(M)⊗H(N)
can
H(M)⊗H(N)
�ϕ
H(B(M)⊗N)(i⊗1)∗
H(Z(M)⊗N)
(j⊗1)∗
Coker((i⊗1)∗)
ψ
H(M⊗N)
dans lequel le triangle inférieur est commutatif par définition de ψet le carré
supérieur droit commutatif par définition de l’isomorphisme ϕ. Ceci montre
que ψ◦ϕest bien l’application canonique. La dernière affirmation de l’énoncé
résulte du lemme 235 (page 173). ❏
☞238 Lemme. On suppose que Λest principal. Soit Lun DG-module rela- [lem:quasi-iso-relativement-libre
tivement libre et f:M→Nun quasi-isomorphisme. Alors 1⊗f:L⊗M→
L⊗Nest un quasi-isomorphisme.