Activité (5 , février 2017) Dans ce triangle ABC

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Activité (5ème, février 2017)
• Première partie : en découpant et en pliant
1) Colorier les angles b A,b Bet b Cde chaque côté (recto-verso) respectivement en rouge, vert et bleu (le
triangle est sur cette feuille)
Remarque : Écrire toutes les lettres à l’intérieur du triangle ABC.
2) Placer Ile milieu de [AC]et Jle milieu de [BC]. Tracer la droite (I J).
3) Tracer la perpendiculaire à la droite (AB)passant par I, nous noterons (d)cette droite.
4) Tracer la perpendiculaire à la droite (AB)passant par J, nous noterons (d′)cette droite.
5) Découper avec très grand soin le triangle ABC.
6) Construire avec soin le symétrique du point Apar rapport à la droite (d)(à l’aide d’un pliage.
7) Construire avec soin le symétrique du point Bpar rapport à la droite (d′)(à l’aide d’un pliage.
8) Construire avec soin le symétrique du point Cpar rapport à la droite (IJ)(à l’aide d’un pliage.
9) Lorsque les pliages sont faits, que remarques-tu pour la somme des mesures des trois angles vert,
rouge et bleu ? Ce grand angle est un angle particulier, lequel ? Quelle est la mesure de cet angle particulier ?
Quelle égalité peut-on écrire avec les angles b A,b Bet b C?
11) Conclusion :
Compléter :
Dans ce triangle ABC, ..........................................................
A
C
B
M. MORICEAU 1 sur 7

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• Deuxième partie : à l’aide d’un logiciel de géométrie
1) A l’aide d’un logiciel de gémétrie (géogébra par exemple), tracer deux triangles KLM et P F R.
2) Donner la mesure (au degré près) des angles des deux triangles KLM et P F R.
Compléter :
\
KM L =......................
\
M LK =....................
\
LKM =...................
[
P RF =........................
[
RF P =.........................
[
F P R =..........................
3) Compléter :
\
KM L +
\
M LK +
\
LKM =............... +............ +....................... =..................
[
P RF +
[
RF P +
[
F P R =............ +............... +.................... =....................
(Quand vous avez complété le 2) et le 3) appelez votre professeur pour lui montrer vos résultats)
4) Nous pouvons faire la conjecture 1suivante :
Compléter :
Dans un triangle, .........................................................................
• Troisième partie : Démontrer la conjecture établie dans la deuxième partie
Nous souhaitons à présent démontrer que dans un triangle la somme de la mesure des trois angles est
égale à 180 degrés
Avant de commencer notre démonstration, nous devons nous remémorer quelques résultats établis
lorsque nous avons étudié la symétrie centrale.
Compléter :
#
" !
• Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors ces droites sont
.........................
• Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ces angles ont
....... .............. ..................
Commençons notre démonstration (guidée). Pour cela,
• Tracer un triangle ABC quelconque.
• Placer avec soin les points Iet J, milieux respectifs des côtés [AB]et [AC].
1jugement probable, opinion que l’on fonde sur des apparences. Attention : une conjecture n’est pas une démonstration.
M. MORICEAU 2 sur 7

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• Placer avec soin le point Equi est le symétrique du point Cpar rapport au point Iet le point F
qui qui est le symétrique du point Bpar rapport au point J
Compléter :
1.
Le symétrique du point Apar rapport au point Iest ..............
Le symétrique du point Bpar rapport au point Iest ..............
Le symétrique du point Cpar rapport au point Iest ..............
Les angles [ ABC et [ BAE sont .............................. par rapport au .................. .............. Par consé-
quent, ces deux angles ont ................... .................. .......................
Nous pouvons écrire :
\................... =\...................... (⋆)
2.
Le symétrique du point Apar rapport au point Jest ..............
Le symétrique du point Bpar rapport au point Jest ..............
Le symétrique du point Cpar rapport au point Jest ..............
Les angles [ BCA et [ F AC sont .............................. par rapport au .................. .............. Par consé-
quent, ces deux angles ont ................... .................. .......................
Nous pouvons écrire :
\................... =\...................... (⋆⋆)
3.
Le symétrique de droite (BC)par rapport au point Iest la .................. ........................
Nous pouvons donc dire que :
(N)
4.
Le symétrique de droite (BC)par rapport au point Jest la .................. ........................
Nous pouvons donc dire que :
(NN)
M. MORICEAU 3 sur 7

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5. D’après (N) et (NN), on peut dire que les points ..............,........................ et ........................ sont
...............................
Et donc, l’angle [ F AE est un .................... ................................ Ainsi, [ F AE =............. °
L’angle [ F AE peut s’écrire comme la somme de plusieurs angles (regarder le dessin) :
[
F AE =................ +................ +.........................
On peut donc écrire :
................ +................ +......................... = 180 °(♣)
D’après (⋆) et (⋆⋆), l’égalité (♣)peut s’écrire :
................ +................ +......................... = 180 °
Nous retiendrons :
Compléter :
Dans un triangle,
• Quatrième partie : Exercices
Exercice 1:
Considérons un triangle AHF tel que \ AHF = 20 ° et \ HF A = 50 °.
1) Faire un dessin à main levée.
2) Quelle est la mesure de l’angle \ F AH ? Justifier clairement la réponse.
Exercice 2:
1) Construire un triangle RUN tel que : UN = 5 cm , \ U N R = 23 ° et \ N U R = 57 °.
2) Quelle est la mesure de l’angle \ N RU ? Justifier clairement la réponse.
Exercice 3:
1) Construire un triangle M AT isocèle en Mtel que M A = 6 cm et AT = 4 cm.
2) Mesurer (au degrè près) les angles \ M AT et \ M T A
3) Que peut-on conclure ? (dans un triangle isocèle)
M. MORICEAU 4 sur 7

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Cours, séquence 10, février 2017
I. Somme des mesures des trois angles d’un triangle
La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °
Exemple : Considérons un triangle ABC tel que : [ ABC = 38 ° et [ CAB = 40 °.
(Faire un dessin)
Nous voulons déterminer la mesure de l’angle [ BCA.
Nous savons que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °. Nous pouvons
donc écrire : [
BCA +
[
CAB +
[
ABC = 180 °
[
BCA +
[
CAB +
[
ABC = 180 °
[
BCA + 40 + 38
| {z }
=78
= 180
[
BCA + 78 = 180
[
BCA = 180 −78
[
BCA = 102
L’angle [ BCA mesure 102 °.
II. ANGLES et TRIANGLES PARTICULIERS
1. Triangle rectangle
Exemple : Considérons un triangle M LT rectangle en T.
(Faire un dessin)
Nous savons que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °. Nous pouvons
donc écrire : \
T M L +
\
M LT +
\
LT M = 180 °
Nous pouvons écrire :
\
T M L +
\
M LT +
\
LT M = 180 °
\
T M L +
\
M LT + 90 = 180
\
T M L +
\
M LT = 180 −90
\
T M L +
\
M LT = 90
\
T M L +
\
M LT = 90 ° : on dit que les angles \ T M L et \ M LT sont complémentaires.
Dans un triangle rectangle, les angles aïgus sont COMPLÉMENTAIRES, autrement dit la
somme des mesures de ces deux angles aïgus est égale à 90 °.
M. MORICEAU 5 sur 7