Activité (5 , février 2017) Dans ce triangle ABC

5ème , Février 2017
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Séquene 10 : somme de la mesure de angle dan un triangle
Activité (5ème , février 2017)
• Première partie : en découpant et en pliant
b B
b et C
b de chaque côté (recto-verso) respectivement en rouge, vert et bleu (le
1) Colorier les angles A,
triangle est sur cette feuille)
Remarque : Écrire toutes les lettres à l’intérieur du triangle ABC.
2) Placer I le milieu de [AC] et J le milieu de [BC]. Tracer la droite (IJ).
3) Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par I, nous noterons (d) cette droite.
4) Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par J, nous noterons (d′ ) cette droite.
5) Découper avec très grand soin le triangle ABC.
6) Construire avec soin le symétrique du point A par rapport à la droite (d) (à l’aide d’un pliage.
7) Construire avec soin le symétrique du point B par rapport à la droite (d′ ) (à l’aide d’un pliage.
8) Construire avec soin le symétrique du point C par rapport à la droite (IJ) (à l’aide d’un pliage.
9) Lorsque les pliages sont faits, que remarques-tu pour la somme des mesures des trois angles vert,
rouge et bleu ? Ce grand angle est un angle particulier, lequel ? Quelle est la mesure de cet angle particulier ?
b B
b et C
b?
Quelle égalité peut-on écrire avec les angles A,
11) Conclusion :
Compléter :
Dans ce triangle ABC, ..........................................................
A
B
M. MORICEAU
C
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• Deuxième partie : à l’aide d’un logiciel de géométrie
1) A l’aide d’un logiciel de gémétrie (géogébra par exemple), tracer deux triangles KLM et P F R.
2) Donner la mesure (au degré près) des angles des deux triangles KLM et P F R.
Compléter :
\ = ......................
KML
P[
RF = ........................
\ = ....................
MLK
[
RF
P = .........................
\ = ...................
LKM
F[
P R = ..........................
3) Compléter :
\ + MLK
\ + LKM
\ = ............... + ............ + ....................... = ..................
KML
[
P[
RF + RF
P + F[
P R = ............ + ............... + .................... = ....................
(Quand vous avez complété le 2) et le 3) appelez votre professeur pour lui montrer vos résultats)
4) Nous pouvons faire la conjecture
1
suivante :
Compléter :
Dans un triangle, .........................................................................
• Troisième partie : Démontrer la conjecture établie dans la deuxième partie
Nous souhaitons à présent démontrer que dans un triangle la somme de la mesure des trois angles est
égale à 180 degrés
Avant de commencer notre démonstration, nous devons nous remémorer quelques résultats établis
lorsque nous avons étudié la symétrie centrale.
Compléter :
#
• Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors ces droites sont
.........................
• Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ces angles ont
.......
..............
..................
"
!
Commençons notre démonstration (guidée). Pour cela,
• Tracer un triangle ABC quelconque.
• Placer avec soin les points I et J, milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].
1
jugement probable, opinion que l’on fonde sur des apparences. Attention : une conjecture n’est pas une démonstration.
M. MORICEAU
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• Placer avec soin le point E qui est le symétrique du point C par rapport au point I et le point F
qui qui est le symétrique du point B par rapport au point J
Compléter :
1.
Le symétrique du point A par rapport au point I est ..............
Le symétrique du point B par rapport au point I est ..............
Le symétrique du point C par rapport au point I est ..............
[ et BAE
[ sont .............................. par rapport au ..................
Les angles ABC
quent, ces deux angles ont ...................
..................
.......................
.............. Par consé-
Nous pouvons écrire :
...................
\
= ......................
\
(⋆)
2.
Le symétrique du point A par rapport au point J est ..............
Le symétrique du point B par rapport au point J est ..............
Le symétrique du point C par rapport au point J est ..............
[ et F[
Les angles BCA
AC sont .............................. par rapport au ..................
quent, ces deux angles ont ...................
..................
.......................
.............. Par consé-
Nous pouvons écrire :
...................
\
= ......................
\
(⋆⋆)
3.
Le symétrique de droite (BC) par rapport au point I est la ..................
Nous pouvons donc dire que :
........................
(N)
4.
Le symétrique de droite (BC) par rapport au point J est la ..................
Nous pouvons donc dire que :
........................
(NN)
M. MORICEAU
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5. D’après (N) et (NN), on peut dire que les points .............., ........................ et ........................ sont
...............................
Et donc, l’angle F[
AE est un ....................
................................ Ainsi, F[
AE = ............. °
L’angle F[
AE peut s’écrire comme la somme de plusieurs angles (regarder le dessin) :
F[
AE = ................ + ................ + .........................
On peut donc écrire :
................ + ................ + ......................... = 180 °
(♣)
D’après (⋆) et (⋆⋆), l’égalité (♣) peut s’écrire :
................ + ................ + ......................... = 180 °
Nous retiendrons :
Compléter :
Dans un triangle,
• Quatrième partie : Exercices
Exercice 1 :
\ = 20 ° et HF
\
Considérons un triangle AHF tel que AHF
A = 50 °.
1) Faire un dessin à main levée.
\
2) Quelle est la mesure de l’angle F
AH ? Justifier clairement la réponse.
Exercice 2 :
\ = 23 ° et NUR
\ = 57 °.
1) Construire un triangle RUN tel que : UN = 5 cm , UNR
\ ? Justifier clairement la réponse.
2) Quelle est la mesure de l’angle NRU
Exercice 3 :
1) Construire un triangle MAT isocèle en M tel que MA = 6 cm et AT = 4 cm.
\ et MT
\
2) Mesurer (au degrè près) les angles MAT
A
3) Que peut-on conclure ? (dans un triangle isocèle)
M. MORICEAU
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Cours, séquence 10, février 2017
I. Somme des mesures des trois angles d’un triangle
La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °
[ = 38 ° et CAB
[ = 40 °.
Exemple : Considérons un triangle ABC tel que : ABC
(Faire un dessin)
[
Nous voulons déterminer la mesure de l’angle BCA.
Nous savons que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °. Nous pouvons
donc écrire :
[ + CAB
[ + ABC
[ = 180 °
BCA
[ + CAB
[ + ABC
[ = 180 °
BCA
[ + 40 + 38 = 180
BCA
| {z }
=78
[ + 78 = 180
BCA
[ = 180 − 78
BCA
[ = 102
BCA
[ mesure 102 °.
L’angle BCA
II. ANGLES et TRIANGLES PARTICULIERS
1. Triangle rectangle
Exemple : Considérons un triangle MLT rectangle en T .
(Faire un dessin)
Nous savons que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180 °. Nous pouvons
donc écrire :
\
\ + LT
\
T
ML + MLT
M = 180 °
Nous pouvons écrire :
\
\ + LT
\
T
ML + MLT
M
\
\ + 90
T
ML + MLT
\
\
T
ML + MLT
\
\
T
ML + MLT
=
=
=
=
180 °
180
180 − 90
90
\
\ = 90 ° : on dit que les angles T
\
\ sont complémentaires.
T
ML + MLT
ML et MLT
Dans un triangle rectangle, les angles aïgus sont COMPLÉMENTAIRES, autrement dit la
somme des mesures de ces deux angles aïgus est égale à 90 °.
M. MORICEAU
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2. Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, les angles « à la base » ont la même mesure.
Exemple : Considérons un triangle ABL isocèle en L.
(Faire un dessin)
[ et ABL
[ sont des angles « à la base », ces deux angles ont même mesure.
Les angles LAB
3. Triangle rectangle et isocèle
Dans un triangle rectangle et isocèle, les deux angles « aïgus » ont la même mesure. Ils mesurent
chacun 45 °.
Exemple : Considérons un triangle T US rectangle et isocèle en U.
(Faire un dessin)
[
Les angles UT
S et T[
SU sont des angles aïgus, ces deux angles ont même mesure. Ils mesurent chacun
45 °.
4. Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure. Ils mesurent chacun 60 °.
(la démonstration a été faite dans la partie exercices)
Exemple : Considérons un triangle RAB équilatéral .
(Faire un dessin)
[ RBA
[ et BAR
[ ont la même mesure. Ils mesurent chacun 60 °.
Les angles ARB,
III. RÉCIPROQUES
1. Triangle isocèle
Si dans un triangle deux angles ont la même mesure alors ce triangle est un triangle isocèle.
2. Triangle équilatéral
Si dans un triangle trois angles ont la même mesure 60 ° alors ce triangle est un triangle
équilatéral.
M. MORICEAU
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E xerie,
séquene
10,
février
2017
Exercices du livre :
• Exercices 46,47, 48 et 53 page 192
V
• Exercice 55, 59 et 82 page 195
Exercice :
[ = 50 ° et BCA
[ = 80 °. (laisser les traits de
1) Tracer un triangle ABC tel que BC = 7 cm, ABC
construction apparents)
[ Justifier.
2) Calculer la mesure de l’angle CAB.
3) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
E xerie,
séquene
10,
février
2017
Exercices du livre :
• Exercices 46,47, 48 et 53 page 192
V
• Exercice 55, 59 et 82 page 195
Exercice :
[ = 50 ° et BCA
[ = 80 °. (laisser les traits de
1) Tracer un triangle ABC tel que BC = 7 cm, ABC
construction apparents)
[ Justifier.
2) Calculer la mesure de l’angle CAB.
3) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
E xerie,
séquene
10,
février
2017
Exercices du livre :
• Exercices 46,47, 48 et 53 page 192
V
• Exercice 55, 59 et 82 page 195
Exercice :
[ = 50 ° et BCA
[ = 80 °. (laisser les traits de
1) Tracer un triangle ABC tel que BC = 7 cm, ABC
construction apparents)
[ Justifier.
2) Calculer la mesure de l’angle CAB.
3) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
M. MORICEAU
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