Chapitre 2 Espace des fonctions continues sur un compact

Chapitre 2
Espace des fonctions continues
sur un compact
Soit Kun espace métrique compact et K=Rou C.Notons
C(K)={f:K!K;continue }et kfk1=sup
x2K|f(x)|.
Alors (C(K),k.k1)estunespacedeBanach.
Si on définit le produit (f.g)(x)=f(x).g(x),f,g2C(K)et pour 2K
et f2C(K),(f)(x)=f(x),alorskfgk1kfk1kgk1et (C(K),k.k1)
est une algèbre de Banach.
Remarque 2.0.1 Soit (fn)n⇢C(K)et f:K!Rou Ctelle que
kfnfk1!0alors f2C(K).
Convergence uniforme, i.e.
8">0,9N2N,8nN,kfnfk1".
Notons que
kfnfk1"() |fn(x)f(x)|",8x2K.
D’où la convergence uniforme implique la convergence simple.
La réciproque n’est pas vraie en général :
Exemple 1. K=[0,1] et fn(x)=xn,x2[0,1].Pourchaquex2[0,1]
la suite (fn(x))nconverge et fn!fsimplement où f(x)=1si x=1et
f(x)=0si x6=1.Alorsf/2C([0,1]).Doncpasdeconvergenceuniforme.
Exemple 2. Soit K=[0,1] et
21

22CHAPITRE 2. ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN COMPACT
fn(x)=8
>
<
>
:
2n+1xsi 0x1
2n+1 ,
2n+1x+2 si 1
2n+1 x1 2n,
01
2nx1
Alors fn!f=0simplement, par contre kfnfk1=kfnk1=190.
Donc pas de convergence uniforme.
Théorème 2.0.2 (Lemme de Dini) Soit Kun espace métrique compact
et (fn)n⇢C(K, R)une suite monotone.Supposonsquefnconverge sim-
plement vers f2C(K, R).Alorslaconvergenceestuniforme.
2.1 Théorème d’Ascoli
Définition 2.1.1 (Equicontinuité) Soit (E,d)et (F, d0)deux espaces mé-
triques et Hune partie de C(E,F).OndiraqueHest équicontinue en x0
si
8">0,9>0,tel que d(x, x0))d0(f(x),f(x0)) ",8f2H.

2.1. THÉORÈME D’ASCOLI 23
Le point important, ne dépend pas de f.
On dira que Hest équicontinue si elle est équicontinue en tout point de
E.
Exemple 1 Supposons 9c>0,↵>0tel que
d0(f(x),f(y)) c(d(x, y))↵8x, y 2E, 8f2H,
Alors Hest équicontinue.
Exemple 2 Soit E=C([0,1]) muni de la norme k.k1et H={f2
C1([0,1]); kf0k11}.AlorsHest équicontinue.
Remarque 2.1.2 Tout ensemble fini de fonctions continues en un point x0
(resp. dans E)estéquicontinuenx0(resp. équicontinu).
Exercice 2.1 Soit Kun espace métrique compact et Fun espace métrique.
Soit (fn)nune suite de C(K, F)tel que H={fn;n2N}soit équicontinue.
Supposons que fnconverge simplement vers f.
Montrer que la convergence est uniforme.
En particulier fest continue.
Solution : Soit ">0.Parhypothèse,Hest équicontinue, 8x2K, 9B(x, ↵),
tel que 8y2B(x, ↵)on ait d(fn(x),f
n(y)) "
3,8n2N.
Comme, K=[x2KB(x, ↵)compact, il existe un recouvrement fini de K.
Soit K=[p
i=1B(xi,↵
i).Alors,parlaconvergencesimple,9N2Ntel que
8nN, on ait d(f(xi),f
n(xi)) "
3,8i=1···p.
Puisque K=[p
i=1B(xi,↵
i),8x2K, 9itel que , d(fn(x),f n(xi)) "
3,8n2
N.Parpassageàlalimitequandn!1,onobtientd(f(x),f(xi)) "
3.
D’où finalement, pour tout x2K,
d(f(x),f
n(x)) d(f(x),f(xi)) + d(f(xi),f n(xi)) + d(fn(xi),f n(x)) ".
D’où la convergence uniforme. fest continue comme limite uniforme d’une
suite de fonctions continues.
Sans l’hypoth`se "l’espace de départ est compact", la conclusion de l’exer-
cice précédent est fausse, comme le montre l’exemple suivant
Exercice 2.2 Soit E=C([0,+1[) et
H={fn2E;fn(x) = sin(px+4n2⇡2),n2N⇤,x2[0,+1[}⇢E.
(1) Montrer que Hest équicontinue.
(2) Montrer que fnconverge simplement vers la fonction nulle.
(3) Montrer que la convergence n’est pas uniforme dans E.

24CHAPITRE 2. ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN COMPACT
Solution (1) f0
n(x)=1
2
1
px+4n2⇡2cos px+4n2⇡2.D’où
|f0
n(x)|1
2
1
px+4n2⇡21
4⇡.
Donc
8x, y 2[0,+1[,8n2N⇤,|fn(x)fn(y)|1
4⇡|xy|.
D’où l’équicontinuité de H.
(2) Pour x2[0,+1[et n2N⇤,ona
fn(x)=sin(
px+4n2⇡2)=sin(2n⇡1+ x
4n2⇡2)=
sin(2n⇡+x
4n⇡+o(1 n)) = sin( x 4n⇡+o(1 n)) = x 4n⇡+o(1 n)
Donc fnconverge simplement vers la fonction nulle.
(3) Posons, pour n1,x
n=⇡2
4+2n⇡22[0,+1[et fn(xn)=1.Alors,
kfnk1=1et si on pose f=0alors kfnfk1=kfnk1=190.Doncla
convergence n’est pas uniforme.
Sans l’hypothèse "l’espace de départ est compact", mais avec" l’équicon-
tinuité, nous avons le résultat suivant.
Exercice 2.3 Soit (E,d)et (F, d0)deux espaces métriques. Soit (fn)nune
suite de C(E,F)tel que fnconverge simplement vers f.SupposonsqueH=
{fn;n2N}soit équicontinue en x0(resp. équicontinue).
Montrer que fest continue en x0(resp. continue sur E).
Solution : En effet, Soit ">0,alorsilexiste>0tel que
d(x, x0))d0(fn(x),f
n(x0)) ",8n2N.
Puisque la dernière inégalité est vraie pour tout n2N,parpassageàlalimite
quand n!1,onobtientlacontinuitédefen x0.
Théorème 2.1.3 (Ascoli (1883)) Soit Kun espace métrique compact et
Fun espace métrique complet. Soit Hune partie de C(K, F).Alors,
Hest relativement compacte dans C(K, F )si et seulement si Hest équicon-
tinue et 8x2K, H(x)={f(x); f2H}est relativement compacte dans
F.

2.2. THEOREME DE STONE-WEIERSTRASS 25
Puisque dans Rou dans C,lespartiesrelativementcompactesontdes
parties bornées, on a :
Corollaire 2.1.4 (Ascoli) Soit Kun espace métrique compact et Hune
partie de C(K).AlorsHest relativement compacte dans C(K)si et seule-
ment si Hest équicontinue et 8x2K, H(x)={f(x); f2H}est bornée.
Remarque 2.1.5 Le Théorème d’Ascoli, n’est pas vrai sans l’hypothèse "K
compact.
Soit E=Cb[0,+1[= {f2C([0,+1[); bornée},alorsE,k.k1est un es-
pace de Banach. Soit H={fn2E;fn(x)=sin(
px+4n2⇡2),n2N⇤,x2
[0,+1[}.Alors Hest équicontinue et H(x)est borné pour tout x2[0,+1[.
Mais Hn’est pas relativement compacte dans E,k.k1.
2.2 THEOREME DE STONE-WEIERSTRASS
Soit Kun espace métrique compact et K=Rou C.Alors
C(K)={f:K!K;continue }muni de la norme
kfk1=sup
x2K|f(x)|,f2C(K),
est un espace vectoriel normé complet, stable par le produit ponctuelle :
(fg)(t)=f(t).g(t),f,g2C(K),t2K.
Alors, C(K)est une algèbre commutative, unitaire (puisque f0(t)=1est
l’élément neutre).
En plus pour tout f,g 2C(K),
kfgk1kfk1kgk1.
Alors, C(K)est une algèbre de Banach commutative.
•Un sous-espace vectoriel Ade C(K)est une sous-algèbre si Aest stable
par le produit (i.e A6=;,8f, g 2Aet 82K,f+g2Aet fg 2A).
Exemples : (1) L’espace des polynômes est une sous-algèbre de C(K).
(2) 8k2N,C
(k)(K)est une sous-algèbre de C(K).
•On dira que Asépare les points de Ksi étant donné x, y 2Ket x6=y,
il existe f2Atelle que f(x)6=f(y).