2.1. THÉORÈME D’ASCOLI 23
Le point important, ne dépend pas de f.
On dira que Hest équicontinue si elle est équicontinue en tout point de
E.
Exemple 1 Supposons 9c>0,↵>0tel que
d0(f(x),f(y)) c(d(x, y))↵8x, y 2E, 8f2H,
Alors Hest équicontinue.
Exemple 2 Soit E=C([0,1]) muni de la norme k.k1et H={f2
C1([0,1]); kf0k11}.AlorsHest équicontinue.
Remarque 2.1.2 Tout ensemble fini de fonctions continues en un point x0
(resp. dans E)estéquicontinuenx0(resp. équicontinu).
Exercice 2.1 Soit Kun espace métrique compact et Fun espace métrique.
Soit (fn)nune suite de C(K, F)tel que H={fn;n2N}soit équicontinue.
Supposons que fnconverge simplement vers f.
Montrer que la convergence est uniforme.
En particulier fest continue.
Solution : Soit ">0.Parhypothèse,Hest équicontinue, 8x2K, 9B(x, ↵),
tel que 8y2B(x, ↵)on ait d(fn(x),f
n(y)) "
3,8n2N.
Comme, K=[x2KB(x, ↵)compact, il existe un recouvrement fini de K.
Soit K=[p
i=1B(xi,↵
i).Alors,parlaconvergencesimple,9N2Ntel que
8nN, on ait d(f(xi),f
n(xi)) "
3,8i=1···p.
Puisque K=[p
i=1B(xi,↵
i),8x2K, 9itel que , d(fn(x),f
n(xi)) "
3,8n2
N.Parpassageàlalimitequandn!1,onobtientd(f(x),f(xi)) "
3.
D’où finalement, pour tout x2K,
d(f(x),f
n(x)) d(f(x),f(xi)) + d(f(xi),f
n(xi)) + d(fn(xi),f
n(x)) ".
D’où la convergence uniforme. fest continue comme limite uniforme d’une
suite de fonctions continues.
Sans l’hypoth`se "l’espace de départ est compact", la conclusion de l’exer-
cice précédent est fausse, comme le montre l’exemple suivant
Exercice 2.2 Soit E=C([0,+1[) et
H={fn2E;fn(x) = sin(px+4n2⇡2),n2N⇤,x2[0,+1[}⇢E.
(1) Montrer que Hest équicontinue.
(2) Montrer que fnconverge simplement vers la fonction nulle.
(3) Montrer que la convergence n’est pas uniforme dans E.