Notes sur les développements décimaux périodiques

3°) Chacun des partenaires veille à faire apparaître les publications de l’autre dans
ses bibliographies, donnant ainsi un meilleur écho aux ressources des deux revues.
4°) Le contenu de ce partenariat fait l’objet d’une annonce sur les sites de Sésamath
et de l’APMEP, avec un lien vers l’association partenaire.
5°) Des contacts réguliers à distance évaluent l’état du partenariat et le font
progresser au fil du temps. Une réunion annuelle fait le point du partenariat et lui
donne de nouvelles impulsions.
6°) Ce partenariat prend effet à la rentrée 2007.
J’invite les lecteurs du BV à découvrir la revue en ligne partenaire. Pour mesurer
l’intérêt de publier en ligne, je leur suggère de lire (de façon interactive) l’article
d’Yves Martin « La géométrie dynamique à l’épreuve de l’homologie didactique(7) »
du numéro de novembre 2006. Ils pourront aussi découvrir les dossiers des différents
numéros (les calculatrices, la géométrie dynamique, les tableurs, les tableaux
numériques interactifs, les TICE en Lycées professionnels), ainsi que les nombreux
articles « hors dossiers » qui balayent le champ des TICE.
Il reste à espérer que d’authentiques synergies se manifesteront à l’avenir entre les
deux revues, pour une stimulation réciproque et un meilleur contenu de chacune !
Notes sur les développements
décimaux périodiques
Robert Rolland(*)
1. Introduction
Dans cette note nous étudions quelques propriétés des développements décimaux
des nombres de la forme m/noù met nsont des entiers premiers entre eux tels que
1≤m<n.
Nous supposons connus les aspects relevant de l’analyse, c’est-à-dire la
définition des développements décimaux des nombres réels de l’intervalle [0,1] sous
la forme :
où les qisont des entiers tels que 0 ≤qi<10, ainsi que les conséquences simples qui
en résultent. En particulier on rappelle l’existence dans le cas de nombres de la forme
xqi
i
i
=
=
+∞
∑10
1
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APMEP
no472
(7) http://revue.sesamath.net/spip.php?article4
(*) Institut de Mathématiques de Luminy, Case 907, 13288 Marseille cedex 9.
E-mail: [email protected]
KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 741

(m≠0) et, uniquement dans ce cas, de deux développements décimaux
distincts.
Ce qui nous intéresse ici ce sont les comportements particuliers de ces
développements dans le cas des nombres rationnels et la présentation des outils
d’algèbre très simples mis en œuvre pour expliquer ces comportements.
Nous rappelons dans un premier temps la classification habituelle :
• nest de la forme 2a5bauquel cas la fraction irréductible m/nadmet un
développement décimal fini :
avec qs≠0, ainsi qu’un développement décimal infini ne contenant que des 9 à partir
d’un certain rang :
où
• nn’est divisible ni par 2 ni par 5 auquel cas le développement décimal est
illimité et périodique, c’est-à-dire que :
ce qu’on note aussi :
Nous adopterons la terminologie suivante : q1q2…qsest la partie périodique et sla
période.
• n est de la forme 2a5bn1où n1>1 n’est divisible ni par 2 ni par 5. Ce cas est un
mélange des deux cas précédents. Il donne pour la fraction m/nun développement
illimité périodique mixte, constitué d’une partie irrégulière et d’une partie
périodique :
Puis nous détaillons un peu quelques comportements liés à la structure algébrique
sous-jacente.
L’outil principal utilisé est la notion de classe résiduelle modulo n, autrement dit
l’anneau Z/nZ. Nous noterons :
la relation d’équivalence entre deux entiers xet yqui exprime que xet ysont dans la
même classe résiduelle modulo n, c’est-à-dire que x−yest divisible par n, ou encore
que xet yont le même reste dans leur division euclidienne par n.
xy n≡()
m
nuu u qq q
ks
=012 12 ,.……
m
nqq q
s
=012 ,.…
m
nqq qqq q
ss
=012 12 ,,………
′= −q q
ss
1.
m
nqq q
s
=′ 0 999
12
,……
m
nqq q
s
=012 ,…
m
k
10
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Nous noterons :
pour indiquer que yest le résultat de l’opération qui aux entiers xet nfait
correspondre l’unique représentant yde la classe résiduelle de xmodulo nqui vérifie
0 ≤y<n.
Les comportements classiques que nous venons de citer sont connus depuis
longtemps. On peut en trouver une preuve en des termes très proches de ceux qu’on
pourrait utiliser de nos jours dans l’article d’Eugène Catalan [Cat42]. Eugène Catalan
montre toute la force du petit théorème de Fermat :
« La note suivante ne contient rien de neuf : si je me décide à la publier, c’est
parce que la manière dont on présente ordinairement la théorie des fractions
périodiques n’est, si je ne me trompe, ni très logique, ni très rigoureuse. En outre,
cette théorie s’appuie assez naturellement sur le théorème de Fermat, et sur d’autres
propriétés intéressantes, qu’il serait peut-être convenable de faire entrer dans les
éléments. »
Dans le cours de l’exposé, il utilise (sans lui donner ce nom) la fonction
indicatrice d’Euler appelée aussi fonction phi, qui compte le nombre d’éléments
inversibles de Z/nZet qui permet de généraliser le petit théorème de Fermat.
L’exposé est repris en terme de groupes dans l’article [Ben09].
On trouvera enfin une approche pédagogique de cette question dans [And74].
Les outils mathématiques algébriques et arithmétiques utilisés dans la suite sont
exposés dans [Dem97], [KR98], ainsi que dans l’annexe arithmétique de [BRV05].
2. Développement décimal d’un nombre de la forme m/2a5b
Théorème 2.1. — Soient m et n deux entiers premiers entre eux tels que 1≤m<n.
La fraction irréductible m/n admet un développement décimal fini si et seulement si
n est de la forme n =2a5boù a et b sont des entiers ≥0.
Démonstration. — Supposons n =2a5bet notons t=max(a,b). On peut donc
écrire :
Si nous écrivons l’entier 2t−a5t−bmsous forme décimale :
alors :
Remarquons que v0≠0.
Réciproquement, si la fraction irréductible m/nadmet un développement décimal
m
nvv
t
=− 010 ,.…
25 10
ta tb
t
mv v
−− −
=…,
m
n
m
ta tb
t
=−−
25
10 .
yx n=mod ,
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fini, alors :
Donc on peut écrire :
où vest un entier, si bien que :
Donc ndivise ml0tet comme nest premier avec m, il divise 10t. L’entier nest donc
de la forme 2a5b.
3. Développement décimal d’une fraction irréductible m/noù n
n’est divisible ni par 2 ni par 5
Soit nun entier >1 dont la décomposition en facteurs premiers ne contient ni 2
ni 5. Un tel nse repère facilement par son dernier chiffre en écriture décimale qui est
1, 3, 7 ou 9. Soit mun entier premier avec ntel que 1 ≤m<n. Nous nous intéressons
au développement décimal de la fraction irréductible m/n.
Le nombre m/na, d’après le paragraphe précédent, un développement illimité
sous la forme :
Les décimales se calculent par des divisions euclidiennes successives ayant des
restes non nuls :
et par récurrence :
Ce processus décrit parfaitement la division posée classique qu’on apprend à l’école
primaire : ajout d’un zéro à la fin (multiplication par 10), recherche de qi, calcul du
reste.
Nous sommes donc amenés à étudier les deux suites qui interviennent dans les
calculs précédents, c’est-à-dire d’une part la suite rdes restes successifs :
et d’autre part la suite des décimales :
Théorème 3.1. — Pour tout entier s ≥0on a :
rr n
s
s
=10 0mod .
qq
ss
=
()
≥1.
rr
ss
=
()
≥0,
10 0
1
rqnr rn
sss s−=+ <<avec .
rm
rqnr rn
rqnr
0
011 1
12 2
10 0
10
=
=+ <<
=+
,
,avec
avec 0 2 <<rn,
012 ,qq q
s
……
mnv
t
10 =.
m
n
v
t
=10 ,
m
nvv
t
=− 010 ,.…
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Démonstration. — Le résultat est vrai pour s=0. Supposons-le vrai pour s, alors :
ce qui prouve que :
ou encore en utilisant l’hypothèse de récurrence :
et comme 0 <rs+1<n, on conclut que :
De cette proposition sur la suite rdécoule la proposition suivante sur les valeurs
des termes de la suite q:
Théorème 3.2. — Pour tout entier s ≥1on a :
Le comportement du développement de la fraction irréductible m/nest indiqué
par le théorème suivant :
Théorème 3.3. — Les suites r et q sont périodiques de période s. La période s est
l’ordre de 10 dans le sous-groupe multiplicatif (Z/nZ)*des éléments inversibles de
Z/nZ. En particulier, la période s ne dépend pas de m (pourvu bien sûr qu’il soit
premier avec n).
Démonstration. — Les restes successifs de la suite rsont tous <n. Donc on
retombe forcément sur un reste déjà trouvé. Soit sle plus petit entier pour lequel cela
se produit et supposons que le reste déjà trouvé soit ru. On a donc :
où 0 <u<s. Mais alors :
et comme, par hypothèse, sest le plus petit entier pour lequel on retombe sur un reste
déjà trouvé, c’est que u=0 et donc que rs=r0.
Comme r0est premier avec n, il est inversible modulo n, et la relation :
implique :
Il est facile de voir que, par construction de s, ceci ne se produit pas pour un entier u
tel que 0 <u<s.
La périodicité de la suite qdécoule de celle de r. Mais dans un premier temps il
n’est pas clair que la période de qne soit pas éventuellement strictement plus petite
que celle de r. Supposons que la période de qsoit t≤s. Alors :
10 1
sn≡().
10 00
srr n≡()
10 00
su
rnr
−=mod ,
10 10
00
su
rrn≡(),
qrn
n
s
s
=
−
10 10 1
0
(mod)
.
rrn
s
s
++
=
1
1
0
10 mod .
rrn
s
s
++
≡
1
1
0
10 ( ),
rrn
ss+≡ 110 ( ),
10 11 rqnr
sss
=+
++,
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