Dimension finie - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1
Espaces vectoriels de dimension finie
Un ev est dit de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie. (⋆)K[X] n’est pas de dimension
finie.
1 Dimension d’un espace vectoriel
On retiendra :
• le théorème de la base incomplète : toute famille libre d’un ev Ede dimension finie peut être complétée en
une base de E(on complète par des vecteurs d’une famille génératrice de E). On en déduit que tout espace
vectoriel de dimension finie admet une base. On a aussi la version «duale» : de toute famille génératrice
de E, on peut en extraire une base de E.
• le lemme de Steiniz : une famille libre a toujours moins ou autant de vecteurs qu’une famille génératrice.
On en déduit que toutes les bases de Eont le même nombre d’éléments. Cet entier commun s’appelle la
dimension de E.
• Il faut connaître les base canoniques de Kn, de Kn[X] et de K[X] (attention dim Kn[X] = n+ 1 car sa
base canonique est (1, X, . . . , Xn)).
• dans un ev de dim n, pour une famille de nvecteurs il y a équivalence entre libre, génératrice et base.
Application : La famille (P0, P1,...,Pn) (avec deg Pi=i) est une base de Kn[X].
•(⋆)Tout K-ev de dim nest isomorphe à Kn. De plus, deux K-ev de dim finie sont isomorphes ssi ils ont
la même dimension.
2 Relations entre les dimensions
1. Dimension des sev : si Fest un sev de Ede dim finie, alors Fest de dim finie et dim F6dim E. Si de
plus dim F= dim E, alors F=E.
2. Supplémentaires en dimension finie.
•(⋆)Si deux espaces E1et E2sont supplémentaires dans E, on obtient une base de Een «recollant»
une base de E1et de E2(on parle de base adpatée à la somme directe). On en déduit
dim E1⊕E2= dim E1+ dim E2.
On peut généraliser au cas d’une somme directe de plusieurs sev.
• Corollaire : si Eest de dimension finie, alors tout sev Fde Eadmet des supplémentaires dans Equi
ont tous même dimension.
3. Dimension d’une somme de sev
• Théo de Grassmann :
dim(E1+E2) = dim E1+ dim E2−dim(E1∩E2).
• corollaire : une caractérisation des sommes directes en dimension finie
E=E1⊕E2⇔(E1∩E2={0}et dim E= dim E1+ dim E2).
• Généralisation : soit F1,...,Fpdes sev de dimension finie, alors
dim
p
X
i=1
Fi6
p
X
i=1
dim Fi
avec égalité si et seulement si la somme est directe.
4. dim(E×F) = dim E+ dim Fet dim L(E, F ) = dim E×dim F.

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3 Rang
1. Le rang d’une famille de vecteurs (x1,...,xp) est la dimension de l’ev engendré par cette famille, i.e.
rg(x1,...,xn) = dim Vect {x1,...,xp}.
De plus rg(x1,...,xp)6pavec égalité ssi la famille (x1,...,xp) est libre.
Le rang d’une AL fest la dimension de son image Im f(si elle est de dimension finie).
Lien : si f∈ L(E, F ) et que (e1,...,en) est une base de E, alors
rg f= dim Im u= dim Vect {f(e1),...,f(en)}= rg(f(e1),...,f(en)) .
On en déduit que le rang de fest inférieur à dim Eet à dim F.
Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
2. (⋆)Le théorème du rang : si f∈ L(E, F ) avec Ede dimension finie, on a :
dim(Im f) = dim E−dim Ker fou dim E= dim Ker f+ rg f .
Conséquence : (⋆)si f∈ L(E, F ) et que dim E= dim F, alors il y a équivalence entre finjective, f
surjective et fbijective.
Ce résultat est faux si dim E6= dim Fou si Eou Fne sont pas de dimension finie.
Application : (⋆)existence des polynômes interpolateurs de Lagrange avec P7→ (P(a0), ..., P (an)) est un
isomorphisme.
4 Hyperplans et équations cartésiennes de sev
1. Formes linéaires et hyperplans :
si Eest de dim net Hest 1 sev de E, il y a équivalence entre : (i) dim H=n−1 ; (ii) Hadmet une
droite supplémentaire dans E, (iii) Hest le noyau d’une forme linéaire non nulle φ. Un tel sev Hest
appelé hyperplan de E.
Si B= (e1,...,en) base de E, et xa pour coordonnées (x1,...,xn) dans cette base, alors
x∈H= Ker φ⇔φ(x) = 0 ⇔Xxiφ(ei) = 0.
Cette dernière relation est une équation cartésienne de H.
Prop : si φet ψsont deux formes linéaires non nulles telles que Ker φ= Ker ψ(elles définissent un même
hyperplan), alors elles sont proportionnelles.
2. Notion de formes linéaires «coordonnées» relativement à une base : l’application e∗
i:x7→ xiest une forme
linéaire «coordonnée n°i» relative à la base B.
3. Intersection d’hyperplans
Soit Eun ev de dimension n
(a) L’intersection de phyperplans de Eest au moins de dimension n−p(chaque hyperplan fournit une
équation qui enlève potentiellement un degré de liberté).
(b) Réciproquement, si Fest un sev de dimension n−p, il est l’intersection de phyperplans.
Les équations de ces phyperplans constituent une équation cartésienne de F.