Chapitre 1. Introduction au langage mathématique

Chapitre 1. Introduction au langage mathématique
On insistera beaucoup sur ce chapitre
1. Le langage mathématique
1.1. Les signes et les symboles
1.2. Les mots
2. Quelques éléments de logique
2.1. Propositions et tables de vérité
2.2. Les quantificateurs
3. Traduire du français en mathématiques. Méthodes et exemples
4. Les raisonnements, différents types de preuve
4.1. L’utilisation d’un contre-exemple (ou de la négation)
4.2. La démonstration directe
4.3. Les démonstrations par l’absurde et par contraposée
4.4. La démonstration par récurrence
4.5. La démonstration par analyse-synthèse, ou par condition nécessaire et suffisante
4.5.1. Condition nécessaire, condition suffisante
4.5.2. Un exemple de démonstration par analyse-synthèse,
ou par condition nécessaire et suffisante
5. Un peu de théorie des ensembles
5.1. La notion d’ensembles
5.1.1. Les symboles ensemblistes
5.1.2. Ensemble des parties d’un ensemble
5.1.3. Produit cartésien
5.1.4. Liens entre logique et théorie des ensembles
5.2. Applications
5.2.1. Définitions
5.2.2. Composition des applications
5.2.3. Bijection réciproque
5.2.4. Application à la notion de cardinal
5.3. Opérations sur les parties d’un ensemble
5.3.1. Image directe
5.3.2. Image réciproque
6. Appendice : une démonstration du principe de récurrence
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Chapitre 2. Nombres réels, droite réelle
1. Propriétés algébriques
L’ensemble des nombres réels est un corps commutatif contenant celui des rationnels
2. Propriétés de l’ordre
2.1. Structure de corps totalement ordonné
2.2. Majorants, minorants
2.3. Borne supérieure, borne inférieure
2.4. Valeur absolue d’un nombre réel
2.5. Propriété d’Archimède
2.6. Partie entière, approximations décimales d’un nombre réel
3. Propriétés topologiques
2.1. Intervalles
2.2. Voisinage d’un point
2.3. Densité de Q dans R
À ce stade, on pourra faire un TD de révision sur les nombres complexes (vus en principe
dans l’unité LM120).
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Chapitre 3. Suites de nombres réels
1. Définitions, propriétés élémentaires
2.1. Définition d’une suite de nombres réels, exemples
2.2. Suite extraite
2.3. Structure de l’ensemble R˙. Structure algébrique, structure d’ordre.
2. Propriétés globales
2.1. Suites majorées, minorées, bornées, suites stationnaires, suites périodiques
2.2. Suites monotones
3. Suites convergentes, suites divergentes. Limite d’une suite
3.1. Suite convergente, suite divergente
3.2. Limite d’une suite
3.3. Suite tendant vers +! ou vers !"
3.4. Convergence, divergente et suite extraite
4. Théorèmes algébriques, cas des suites tendant vers +! ou vers !"
4.1. Convergence, divergente et suite extraite. Théorèmes algébriques
4.2. Cas des suites tendant vers +! ou vers !"
5. Théorèmes de comparaison
5.1. Suites de référence (géométriques, puissances, arithmético-géométriques)
5.2. Théorème de comparaison
6. Suites remarquables : suites monotones, suites adjacentes
6.1. Théorèmes des suites monotones
6.2. Suites ajacentes
7. Suites récurrentes, méthodes et exemples
7.1. Limite de la suite et point fixe de la fonction
7.2. Cas où la fonction ϕ est monotone sur I
7.3. Cas où la fonction ϕ vérifie : ∀ x∈I, ϕ(x) ≥ x (resp. ∀ x∈I, ϕ(x) ≤ x)
7.4. Cas où la fonction ϕ est dérivable à dérivée bornée
7.5. Exemples
8. Suites de Cauchy et critère de Cauchy
8.1. Suites de Cauchy
8.2. Critères de Cauchy
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9. Théorème de Bolzano-Weierstrass
10. Notions sur les suites complexes
10.1. Définitions
10.2. Théorèmes de convergence
10.3. Théorèmes algébriques
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Chapitre 4. Continuité et limites de fonctions
1. Application continue en un point
On fera beaucoup manipuler les notions
1.1. Définitions quantifiées (voisinages, epsilon)
1.2. Fonctions non continues en un point
1.3. Rappels sur les fonctions continues
1.3.1. somme, produit, quotient, composition
1.3.2. continuité et suites
1.4. Continuité à droite, à gauche : définitions quantifiées
La définition de la continuité uniforme pourra être vue à l’occasion de la construction de
l’intégrale de Riemann. On pourra néanmoins montrer en TD des exemples où « α ne dépend
pas du point ».
2. Notion de limite d’une application
2.1. Fonction prolongeable par continuité
2.2. Limite d’une application en un point : définition quantifiée
2.3. Applications tendant vers +! ou vers !"
2.4. Limite à droite, limite à gauche
2.5. Théorème de la limite monotone
3. Les grands théorèmes des applications continues sur un intervalle
3.1.Rappels ( ??????)
3.1.1. Théorème des valeurs intermédiaires
3.1.2. Image continue d’un intervalle
3.1.3. Théorème des extréma d’un segment
3.2. Théorème du point fixe
Le théorème de Heine sera vu lors du chapitre sur l’intégration des fonctions continues.
4. Compléments sur les fonctions dérivables (programme de LM110)
On proposera des exercices faisant manipuler des notions étudiées et démontrées en LM110, mais
elles ne seront pas réétudiées telles quelles.
4.1. Formule de Leibniz
4.2. Théorème de Rolle
4.3. Théorème des accroissements finis
4.4. Extrema d’une fonction dérivable
4.5. Formules de Taylor (à relier aux DL vus en LM110)
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Chapitre 5. Intégration
1. L’intégrale de Riemann
1.1. Les fonctions en escalier : subdivisions (on introduira le moins de vocabulaire possible),
intégrale d’une fonction en escalier, propriétés (linéarité, positivité, relation de Chasles).
1.2. Fonctions intégrables au sens de Riemann. Cas des fonctions monotones, puis des
fonctions continues (on admettra le théorème, on pourra voir néanmoins où se posent les
problèmes, d’où la nécessité de la continuité uniforme). Propriétés.
1.3. Sommes de Riemann pour les fonctions continues. On admet le résultat sur les limites de
sommes de Riemann pour les fonctions continues. On le démontre pour les fonctions de classe
C1. Interprétation géométrique.
1.4. Inégalité et formule de la moyenne. On pourra éventuellement présenter la deuxième
formule de la moyenne en exercice.
1.5. Intégrale fonction de ses bornes.
2. Calculs d’intégrales définies
2.1. Intégration par parties.
2.2. Formule de Taylor avec reste intégral.
2.3. Changement de variable.
2.4. Primitives des fonctions usuelles, fonctions trigonométriques, fractions rationnelles
(on fera un bref exposé par l’exemple sur la décomposition en éléments simples de quelques
fractions rationnelles), fractions rationnelles en sinus et cosinus.
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