• Un raisonnement est nécessaire ou démonstratif quand la conclusion peut s’identifier aux prémisses, elle ne peut pas ne pas être. La démonstration est alors une tautologie, la conclusion étant identique aux prémisses. Le syllogisme, principe de la démonstration !" • On appelle donc syllogisme le raisonnement composé d'une majeure, d’une mineure et d’une conclusion, et dont chaque proposition est composée d'un sujet, une copule, un prédicat. - Si tous les hommes sont mortels (majeure), et si Socrate est un homme (mineure), Socrate est mortel (conclusion) III. Le modèle mathématique !" Discrédit de la logique des syllogismes (apparition de la science moderne) • La raison est qu’elle est basée sur le langage naturel : sujet, verbe, attribut. La science moderne, elle, se mathématise, et tend donc de plus en plus à s'exprimer sous forme d'équations, de formules. • La logique aristotélicienne est donc moins appropriée pour des questions de quantités et de mesure. !" La géométrie euclidienne • Le modèle de toute démonstration s'impose dans les mathématiques, plus précisément dans la géométrie euclidienne, qui procède par voie déductive à partir de principes premiers (axiomes, postulats, définitions) : chaque proposition ou théorème nouveaux se trouvent ainsi reliés, de façon déductive et nécessaire, aux principes initiaux. L’attention se porte uniquement sur le caractère démontrable de toutes les propositions. • C’est donc avec les Eléments D’Euclide que les mathématiques se sont constituées en science autonome. • Géométrie et mathématique engendrent des certitudes auxquelles la raison nous contraint de nous plier. IV. Vérités premières et intuition démontrer tout le reste. Si la démonstration apparaît comme un critère de certitude il faut admettre qu’il y a des vérités premières indémontrables. • Ainsi, La géométrie d'Euclide pose qu'on ne peut, par un point donné, faire passer qu'une seule parallèle à une droite ; c'est un principe dont elle part ; il ne peut donc pas être lui-même démontré. Ainsi, toute démonstration s'appuie nécessairement sur certains postulats dont elle pose la validité sans pouvoir la démontrer. • Les principes fondamentaux de la logique, qui nous servent à bâtir toutes nos déductions, ne peuvent être eux-mêmes déduits de rien. !" Intuitionnisme vs formalisme !"Descartes pense que la déduction tient ses certitudes de l'intuition. Les premières propositions, ou notions simples, dont tout le reste est déduit, relèvent de l'intuition. !"Leibniz au contraire, tient la succession nécessaire des propositions caractéristiques de la logique mathématique : les propositions premières doivent donc être fondées logiquement. V. Formalisme et vérité !" Axiomatique • Chez Euclide, les prémisses étaient reçues comme des vérités évidentes, les mathématiques modernes parlent d’axiomatique, où les prémisses perdent leur évidence. Les axiomes, au lieu d’être considérés comme des vérités premières indémontrables, furent considérés comme des conventions, que l’on pouvait choisir librement : ainsi il est possible de poser par convention qu'il existe une infinité de parallèles par rapport à une droite passant par un point extérieur à cette droite. La vérité n'est pas une propriété des propositions isolées mais réside seulement dans leur enchaînement logique. !" Le critère logique de la rationalité est formel • La démonstration mathématique renvoie à une vérité formelle (est vrai ce en quoi ne réside aucune contradiction), non matérielle (est vrai ce qui est conforme au réel). !" Vérités premières indémontrables • Certaines choses échappent à la démonstration (Pascal in L’Esprit de la géométrie) comme des notions tellement évidentes qu'elles n'ont pas besoin d'être démontrées, et qui nous servent à Editeur : MemoPage.com SA © Auteur : Crépineaud Mathilde Date : Juin 2005 ISSN : 1762-5920 Expert : Julie Poulain Logique formelle aristotélicienne !" • L’idée de démonstration est déjà clairement présente dans la logique formelle aristotélicienne. • Démontrer ne signifie pas édifier quelque chose expérimentalement, mais établir la vérité ou la validité d'une proposition par des inférences déductives valides. • Dans une démonstration, on part de principes (pas nécessairement logiques), et on tire un certain nombre de conclusions découlant nécessairement de ces principes. Le procédé démonstratif s'appuie sur trois principes logiques fondamentaux : identité, non contradiction et tiers-exclu. II. Logique et démonstration • La démonstration est d'ordre rationnel. Elle vise la vérité absolue de la conclusion et s'appuie sur des assertions certaines. • La preuve est soit déductive et établit la certitude (sciences déductives comme les mathématiques), soit expérimentale et établit qu’une proposition est vrai ou fausse. • Argumenter, c'est soutenir une thèse en soutenant un certain nombre de raisons qui la rendent plus ou moins acceptable. !" La démonstration, distincte de la preuve et de l'argumentation • La démonstration est une déduction : elle implique d'établir de façon rigoureuse la vérité d'un énoncé par la voie de la déduction, en les rattachant par un lien nécessaire à d'autres propositions ou idées évidentes ou déjà démontrées. !" La notion de démonstration I. Que signifie « démontrer » La démonstration