La démonstration

La
démonstration
I. Que signifie « démontrer »
!"La notion de démonstration
• La démonstration est une déduction : elle implique d'établir
de façon rigoureuse la vérité d'un énoncé par la voie de la
déduction, en les rattachant par un lien nécessaire à d'autres
propositions ou idées évidentes ou déjà démontrées.
!"La démonstration, distincte de la preuve et de
l'argumentation
• La démonstration est d'ordre rationnel. Elle vise la vérité
absolue de la conclusion et s'appuie sur des assertions
certaines.
• La preuve est soit déductive et établit la certitude (sciences
déductives comme les mathématiques), soit expérimentale et
établit qu’une proposition est vrai ou fausse.
• Argumenter, c'est soutenir une thèse en soutenant un certain
nombre de raisons qui la rendent plus ou moins acceptable.
II. Logique et démonstration
!"
Logique formelle aristotélicienne
• L’idée de démonstration est déjà clairement présente dans la
logique formelle aristotélicienne.
• Démontrer ne signifie pas édifier quelque chose
expérimentalement, mais établir la vérité ou la validité d'une
proposition par des inférences déductives valides.
• Dans une démonstration, on part de principes (pas
nécessairement logiques), et on tire un certain nombre de
conclusions découlant nécessairement de ces principes. Le
procédé démonstratif s'appuie sur trois principes logiques
fondamentaux : identité, non contradiction et tiers-exclu.
• Un raisonnement est nécessaire ou démonstratif quand la
conclusion peut s’identifier aux prémisses, elle ne peut pas
ne pas être. La démonstration est alors une tautologie, la
conclusion étant identique aux prémisses.
!"
Le syllogisme, principe de la démonstration
• On appelle donc syllogisme le raisonnement composé d'une
majeure, d’une mineure et d’une conclusion, et dont chaque
proposition est composée d'un sujet, une copule, un prédicat.
- Si tous les hommes sont mortels (majeure), et si Socrate est
un homme (mineure), Socrate est mortel (conclusion)
III. Le modèle mathématique
!"Discrédit de la logique des syllogismes (apparition
de la science moderne)
• La raison est qu’elle est basée sur le langage naturel : sujet, verbe,
attribut. La science moderne, elle, se mathématise, et tend donc de
plus en plus à s'exprimer sous forme d'équations, de formules.
• La logique aristotélicienne est donc moins appropriée pour des
questions de quantités et de mesure.
!"La géométrie euclidienne
• Le modèle de toute démonstration s'impose dans les
mathématiques, plus précisément dans la géométrie euclidienne, qui
procède par voie déductive à partir de principes premiers (axiomes,
postulats, définitions) : chaque proposition ou théorème nouveaux
se trouvent ainsi reliés, de façon déductive et nécessaire, aux
principes initiaux. L’attention se porte uniquement sur le caractère
démontrable de toutes les propositions.
• C’est donc avec les Eléments D’Euclide que les mathématiques se
sont constituées en science autonome.
• Géométrie et mathématique engendrent des certitudes auxquelles la
raison nous contraint de nous plier.
IV. Vérités premières et intuition
!" Vérités premières indémontrables
• Certaines choses échappent à la démonstration (Pascal in L’Esprit
de la géométrie) comme des notions tellement évidentes qu'elles
n'ont pas besoin d'être démontrées, et qui nous servent à
démontrer tout le reste. Si la démonstration apparaît comme un
critère de certitude il faut admettre qu’il y a des vérités premières
indémontrables.
• Ainsi, La géométrie d'Euclide pose qu'on ne peut, par un point
donné, faire passer qu'une seule parallèle à une droite ; c'est un
principe dont elle part ; il ne peut donc pas être lui-même démontré.
Ainsi, toute démonstration s'appuie nécessairement sur certains
postulats dont elle pose la validité sans pouvoir la démontrer.
• Les principes fondamentaux de la logique, qui nous servent à bâtir
toutes nos déductions, ne peuvent être eux-mêmes déduits de rien.
!"Intuitionnisme vs formalisme
!"Descartes pense que la déduction tient ses certitudes de l'intuition.
Les premières propositions, ou notions simples, dont tout le reste est
déduit, relèvent de l'intuition.
!"Leibniz au contraire, tient la succession nécessaire des propositions
caractéristiques de la logique mathématique : les propositions
premières doivent donc être fondées logiquement.
V. Formalisme et vérité
!"Axiomatique
• Chez Euclide, les prémisses étaient reçues comme des vérités
évidentes, les mathématiques modernes parlent d’axiomatique, où
les prémisses perdent leur évidence.
Les axiomes, au lieu d’être considérés comme des vérités premières
indémontrables, furent considérés comme des conventions, que l’on
pouvait choisir librement : ainsi il est possible de poser par
convention qu'il existe une infinité de parallèles par rapport à une
droite passant par un point extérieur à cette droite. La vérité n'est
pas une propriété des propositions isolées mais réside seulement
dans leur enchaînement logique.
!" Le critère logique de la rationalité est formel
• La démonstration mathématique renvoie à une vérité formelle (est
vrai ce en quoi ne réside aucune contradiction), non matérielle (est
vrai ce qui est conforme au réel).
Editeur : MemoPage.com SA ©/2006/Auteur : Crépineaud Mathilde/Expert : Julie Poulain