chapitre d`un ancien essai

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Partie 3 : deux exemples Chapitre 2 : un « cas d'école » : la trigo au collège.
L'étude de la trigonométrie commence en quatrième, avec la découverte du cosinus... Mais
pourquoi le cosinus ? Parce qu'il y a quelques années, les projections étaient au programme de quatrième et
offraient une base raisonnable à l'introduction des cosinus. Par « raisonnable », je veux dire qu'il était
possible, à partir des projections, de donner du sens à la notion de cosinus. Et comme vous le savez,
«donner du sens» me tient particulièrement à coeur !
Seulement, voilà : les projections ont disparu du programme de quatrième, le cosinus y est resté.
Tout seul. Suspendu dans le vide ou presque, artificiellement défini comme un « rapport de longueurs »,
sans plus de précisions. Ou peut-être, si le prof le préfère, à l'aide du « quart de cercle trigonométrique ».
Et l'an d'après, en troisième, on remet ça ! Avec le sinus qui vient à son tour flotter dans le vide.
Que les programmes mentionnent le « cercle trigonométrique » ne peut qu'inciter les profs à utiliser
ledit cercle, et c'est tant mieux... Mais vouloir définir la trigonométrie à partir d'un de ses rejetons me paraît
pour le moins surprenant et bien peu rationnel !
( Imaginez les entrées suivantes dans un dictionnaire :
trigonométrie : voir cercle trigonométrique
cercle trigonométrique : cercle de rayon un, utilisé en trigonométrie.
Voilà qui donne du sens à la trigonométrie, n'est-ce pas ?)
Il en résulte -- et c'était prévisible -- que la trigonométrie au collège n'est bien souvent qu'un simple
prétexte à quelques manipulations, à quelques applications qui relèvent du conditionnement.
Je ne vais pas à nouveau vous demander de comparer deux présentations possibles d'un cours de
quatrième ou de troisième, portant cette fois-ci sur la trigonométrie... Parce qu'en trigo, je ne connais pas
de présentation habituelle : chacun essaie, avec les moyens du bord, d'obtenir que ses élèves sachent
répondre aux questions traditionnelles du brevet !
Et bien souvent, bien trop souvent à mon goût, en s'appuyant sur des formules cabalistiques, sur des
expressions dignes d'un grimoire de magie du Moyen Âge -- dont la plus récente, ânonnée dans tous les
collèges de France est « SOCATOHA ». À vos souhaits, et qu'importe le sens !
Cela m'est insupportable.
Alors, par respect, d'une part pour la trigonométrie, d'autre part pour mes élèves, j'ai pris sur moi de
tenir compte non de la lettre mais de l'esprit du programme qui nous demande, et j'y reviens toujours, de
donner du sens à ce que nous enseignons.
Mon approche est la même en quatrième qu'en troisième. Simplement, là où je ne fais que
mentionner en passant l'antériorité du sinus en quatrième, j'en approfondis l'étude en troisième. Bien
entendu, cette approche demande un peu de temps, mais elle m'assure que mes élèves acquièrent des
connaissances, un peu de culture générale, une vision plus vaste des mathématiques -- et pas seulement
quelques « savoir-faire » à l'utilité quotidienne douteuse.
Elle m'assure également l'intérêt, la participation de mes élèves à ce cours.
Permettez-moi, exceptionnellement, non de vous imposer un cours, bien entendu, mais de structurer
ce chapitre comme la progression d'un cours... Et de l'agrémenter de quelques dessins, qui m'éviteront de
longs paragraphes !
De la découverte à la maîtrise de la trigonométrie ( du collège ! ), en quatre étapes :
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Philippe Colliard
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2007 - 2014

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je cherche avec les élèves différentes façons de « transmettre » un angle aigü sans le
mesurer, et donc différentes façons de déterminer un angle.
Je leur donne ensuite le temps d'apprivoiser le concept qu'ils ont débusqué : il est possible
d'exprimer un angle par un rapport de longueurs.
Enfin, je nomme le sinus et le cosinus, je retrace l'histoire de la trigonométrie et
l'élaboration des premières tables.
Ce n'est qu'après ces trois premières étapes, après avoir appris à déterminer une valeur
approchée du sinus ou du cosinus d'un angle ( comme rapport de deux côtés d'un triangle rectangle, ou en
utilisant un objet de ma conception, le «trigomètre », ou encore à l'aide d’un rapporteur et d’une
calculatrice ) que je peux en venir, tout naturellement, aux applications pratiques de la trigo au collège.
Pourquoi ces étapes ?
Étudier la trigo, c'est d'abord donner les raisons de son existence: pourquoi inventer le sinus d'un
angle, alors que nous disposons déjà des degrés et des rapporteurs ? Par quel enchaînement, pour quelles
raisons bizarres en est-on arrivé à mettre au rebut la mesure en degré d'un angle -- matérialisée par un objet
simple, le rapporteur -- pour lui préférer une construction intellectuelle, abstraite, qu'aucun objet n'aide à
concrétiser ?
Pourquoi voulez-vous qu'un élève prenne goût à la trigo, s'il n'y voit pas de finalité ?
Première étape: des différentes façons de déterminer un angle aigü.
Dans une première séance, nous réfléchissons à la transmission de données : comment faire
dessiner à quelqu'un qui ne voit pas le tableau un angle de même écart que celui qui est dessiné au tableau?
Naturellement, le rapporteur fait immédiatement son entrée. Mais qu'est-ce qu'un rapporteur ? Un
instrument qui permet de mesurer des degrés. Fort bien, mais qu'est-ce qu'un degré ? une unité de mesure
pour les angles. Bon, et comment a-t-elle été définie ? il y en a 180 dans un demi-cercle. Certes, mais
pourquoi ? Là, la classe commence à se troubler : une partie pense que c'est parce que l'angle droit mesure
90° -- mais déjà, ils s'attendent à ma question suivante : pourquoi 90 et pas 112, où 57, où 100 ? -- l'autre
partie s'appuie sur le cercle, qui « ferait » 360°. Et ceux-là cherchent déjà, avec un peu d'inquiétude, la
réponse à une autre question -- qu'ils posent d'eux-mêmes, sans attendre : pourquoi 360 ?
Ces réflexions nous amènent rapidement à constater le côté arbitraire du degré -- dont l'origine
remonte à la nuit des temps... Ou tout au moins à la civilisation sumérienne, à ses années de 360 jours et à
son calendrier circulaire.
Sur la trentaine d'élèves de la classe, il s'en trouve toujours au moins un(e) pour se demander s'il
existe d'autres graduations circulaires que les degrés. Ce qui nous permet, au passage, de jeter un rapide
coup d'oeil au grade -- autre graduation arbitraire -- et au radian, bien plus naturel, puisqu'il est
intrinsèquement lié au cercle... Mais là-dessus, évidemment, je n'insiste pas !
Vient alors un deuxième moment de réflexion : peut-on « transmettre » un angle sans utiliser de
rapporteur et plus généralement sans graduation circulaire ? En ne transmettant que des longueurs ?
Nouvelle ébullition de la classe, qui débouche rapidement sur la notion de triangle : une droite qui
coupe les deux côtés de l'angle permet de mettre en évidence un triangle, dont nous mesurons les trois
côtés. Il suffit alors de transmettre ces trois longueurs à la personne qui ne voit pas le tableau pour qu'elle
puisse dessiner un triangle de mêmes mesures... Et en particulier l'angle dont nous sommes partis.

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Ce qui engendre une nouvelle question : de combien d'informations avons-nous besoin pour que
toute la classe construise « le même » triangle (ce que les mathématiciens appellent en réalité des triangles
isométriques : ils n'auront pas tous la même position sur la feuille de dessin, il faudra faire pivoter les
feuilles, peut-être même les retourner pour obtenir des dessins superposables) ?
Réponse : nous avons besoin de trois informations. Et ceci nous entraîne un court instant dans une
petite parenthèse : ces trois informations peuvent être les longueurs des trois côtés, mais aussi les
longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle déterminé par ces deux côtés, ou la longueur d'un seul côté
et la mesure de deux des angles du triangle... Mais pas les mesures des trois angles du triangle, qui
semblent donner trois informations mais qui en réalité, n'en donnent que deux (parce qu'en géométrie
euclidienne, la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°) !
3 mesures :
les 3 côtés 2 côtés, 1 angle 1 côté, 2 angles
Il ne s'agit là que d'une parenthèse, d'une part parce que nous avons décidé de nous limiter aux
longueurs et d'autre part parce que ce genre d'étude n'est pas du tout au programme !
Et les choses sérieuses commencent. J'imagine une situation dans laquelle chaque information
numérique coûte très cher (un peu comme dans les très vieux télégrammes où chaque mot comptait: ici, ce
sont les nombres qui comptent !) : pouvons-nous alors transmettre moins de nombres ? Passer de trois à
deux... Et peut-être même de deux à un ? Toujours sans rapporteur !
La réponse devient rapidement oui, pour deux nombres, à condition toutefois de tricher un peu en
se mettant à l'avance d'accord sur un type particulier de triangle -- isocèle ou rectangle -- ce qui constitue
en réalité une troisième information – mais non-numérique ! Si l'on se met d'accord une fois pour toutes,
nous n'aurons effectivement besoin, pour chaque nouveau triangle que nous voudrons faire tracer, que de
deux nombres. Pour chaque nouveau triangle... Et donc pour chaque nouvel angle.
2 mesures ( et une troisième information, non-numérique ) :
a
a
32 mm
29 mm
17 mm
Construire un triangle dont
les côtés mesurent 29 mm,
32 mm et 17 mm.
Observer l'angle formé par
les 2 premiers côtés.
32 mm
29 mm
17 mm
32°
32 mm
29 mm
32°
29 mm
82°
a
33 mm
18 mm
Construire un triangle isocèle dont la base
mesure 18 mm et les autres côtés 33 mm.
Observer l'angle principal du triangle.

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Et ensuite ? Pouvons-nous espérer passer de deux nombres à un seul ? Ce qui supposerait
vraisemblablement deux informations non-numériques sur lesquelles nous nous serions tous mis d'accord ?
Flottement dans la classe !
Pour orienter un peu la réflexion, je remarque que nous pouvons décider de chercher à partir de
triangles isocèles ou à partir de triangles rectangles : dans les deux cas, nous disposons déjà d'une
information non-numérique. Pour que toute la classe cherche dans la même direction, j'impose donc de
partir de triangles rectangles (mais si nous trouvons quelque chose, il est vraisemblable que nous aurions
trouvé quelque chose de similaire en partant des triangles isocèles).
À cet instant du cours, il devient généralement nécessaire de rappeler aux élèves que nous
cherchons à « transmettre » un angle, pas un triangle -- et que les dimensions du triangle ne nous importent
donc pas : si un triangle particulier transmet l'angle qui nous intéresse, n'importe quel agrandissement (et
n'importe quelle réduction) de ce triangle transmettra le même angle.
Et nous réfléchissons à ces milliers de triangles rectangles possibles, construits à partir du même
triangle plus ou moins agrandi. Pour déterminer avec certitude l'un de ces triangles, nous avons besoin de
deux mesures.
Mais si n'importe lequel des triangles de cette famille nous convient, ne pouvons-nous pas faire
mieux ?
Instant magique, qui se renouvelle chaque année : la découverte, par quelques élèves de la classe,
que le rapport de deux côtés est une information suffisante, que ce rapport ne dépend pas de la taille du
triangle choisi. Découverte qu'ils exposent, suivant les années, avec timidité ou avec exubérance, mais que
toute la classe s'approprie très rapidement.
Il nous a fallu, en général, deux séances complètes pour en arriver là. Parfois trois. Et je n'ai même
pas encore prononcé le mot « trigonométrie » ! Mais qu'importe : le chemin est maintenant tracé.
Que ce soit en quatrième ou en troisième, nous prenons ensuite le temps de démontrer que le
rapport de deux côtés ne dépend effectivement pas de l'agrandissement du triangle : c'est une application
simple du théorème de Thalès, utilisable dès la quatrième.
Deuxième étape: familiarisation… ( Et toujours pas de trigo apparente ! )
a
39 mm
21 mm
Construire un triangle rectangle dont
l'hypothénuse mesure 39 mm et l'un des
autres côtés 21 mm.
Observer l'angle opposé au côté de 21 mm.
a
19,5 mm
10,5 mm
a
39 mm
21 mm
a
26 mm
14 mm

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Ensuite, et pendant une séance entière, nous nous familiarisons avec cette nouvelle façon
d'appréhender un angle.
En première partie de séance, chaque élève trace plusieurs angles sur une feuille, puis dessine des
perpendiculaires à des côtés et tente d'évaluer, pour chaque angle, le rapport de côtés que nous avons
décidé d'étudier.
En deuxième partie, j'écris au tableau un nombre décimal compris entre zéro et un, ( par exemple
0,42 ) et chacun doit sur sa feuille construire l'angle qui correspond à ce rapport… Et se rend alors
rapidement compte de l'intérêt d'utiliser des rayons de cercle de 10 cm !
En quatrième évidemment, le rapport que je privilégie correspond au cosinus de l'angle. Et en
troisième, au sinus.
Troisième étape: où la trigo apparaît.
Ce n'est que lorsque tous les élèves ont intériorisé cette nouvelle façon d'aborder les angles et
passent facilement d'un angle à un rapport, et d'un rapport à un angle que je peux enfin poser la question
«qui tue» : existe-t-il un lien simple, pour chaque angle, entre le rapport qu'ils viennent d'étudier et la
mesure en degrés de cet angle ?
Autrement dit, existe-t-il une formule à base d'additions, de multiplications, de divisions et de
soustractions pour calculer le rapport à partir de la mesure... Ou la mesure à partir du rapport ?
Je suis bien obligé de leur affirmer que je n'en connais pas et qu'à ma connaissance, personne n'en
connaît ! (S'il vous plaît... Je sais bien qu'il existe ce que les mathématiciens appellent des
«développements limités», mais, outre le fait qu'il ne s'agit pas de formules finies, croyez-vous qu'il serait
vraiment raisonnable de s'y intéresser au collège ?)
Cette affirmation me permet d'une part de rappeler que les mathématiques ne sont pas une secte,
que je n'en suis donc pas un gourou et que dans la mesure du possible j'essaie de prouver ce que j'affirme...
Mais que dans quelques rares cas -- comme maintenant -- je ne peux pas le faire. Je leur demande donc aux
élèves de la classe de me faire -- provisoirement -- confiance, mais de se rappeler qu'il leur faudra un jour
vérifier que je ne les ai pas trompés !
D'autre part, cette affirmation me permet de constater la nécessité de rédiger des tables de
correspondance entre degrés et rapports... Et donc, enfin, d'introduire la trigonométrie, à travers un rappel
historique… Et son étymologie !
Ce n'est qu'à cette étape de mon travail que j'ai la certitude de pouvoir demander à mes élèves de
manipuler une calculatrice sans qu'ils imaginent une sorte de magie, là où il n'y a de fait qu'une lecture
dans une table ( même si, comme tous les informaticiens le savent, les calculatrices déterminent en réalité
des valeurs approchées des sinus et des cosinus par des algorithmes de calcul ).
Et pour mieux les persuader qu'il ne s'agit pas de calcul mais de table de correspondance (pas de
conversion : on ne convertit pas des degrés en cosinus !), j'ai bricolé un objet, que mes classes successives
ont fini par baptiser « trigomètre », que j'imprime sur des transparents et que je distribue à chaque élève.
Cet objet ressemble à un rapporteur, mais le complète : il permet, en quelques secondes et par simple
lecture de déterminer la mesure d'un angle -- à 1° près -- ainsi que le sinus et le cosinus de cet angle -- au
centième près. Vous trouverez un modèle de ce « trigomètre » dans les annexes de ce livre – ainsi d'ailleurs
que l'ensemble des pages du cours de trigo que je distribue au élèves de 3ème ( et naturellement, vous
pouvez les retrouver au format d'origine sur librecours.com ).
Ensuite... Ensuite, le cours devient presque banal.
Il existe en réalité six rapports trigonométriques, dont trois sont au programme : sinus, cosinus,
tangente.