TD Constructions géométriques

Université d'Angers L3SEN TD géométrie p. 1
TD : Constructions géométriques
Exercice 1 : Relations métriques dans le triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
a. Montrer que AH²=BH×HC
b. Montrer que AC² = CH × CB
Exercice 2 : Constructions géométriques élémentaires (compas et règle non graduée)
1. Construire la longueur a + b
2. Construire la longueur ab en utilisant le théorème de Thalès.
3. Construire la longueur
a
b
en utilisant le théorème de Thalès.
4. Construire la longueur
a
a. Construire un demi cercle de diamètre AB = 1+a.
b. Soit I le point du segment [AB] tel que AI=1. Construire l'intersection notée C de la
perpendiculaire à [AB] passant par I et du demi cercle.
c. Démontrer que IC²=IC × IB. En déduire la construction de
a
.
d. En déduire une construction de
4
a
.
Exercice 3 : Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique (compas et règle non graduée)
1. Construire la moyenne arithmétique de a et b.
2. Construire la moyenne géométrique (utiliser l'exercice 2- 4).
3. Construire la moyenne harmonique h vérifiant
2
h=1 a1 b
a. Construire un demi cercle de centre O et de diamètre AC = a+b. On note B le point de [AC] tel
que AB=a.
b. Soit D l'intersection du demi cercle et de la droite perpendiculaire à [AC] passant par B.
Construire le triangle BDO et E le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle.
c. En déduire que DE = h (utiliser l'exercice 1).
d. Comparer les trois moyennes.
Exercice 4 : Construction des racines d'une équation du second degré.

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Rappel: Puissance d'un point par rapport à un cercle
Soit M un point du plan. Pour toute droite passant par M et coupant le cercle, on note P et Q les
intersections de cette droite avec le cercle (on peut avoir P=Q).
La puissance du point M par rapport au cercle est le nombre
MQMP ×
, indépendant de la droite
choisie.
1. Construction de deux segments de longueur x et y connaissant leur somme s et leur moyenne
géométrique p.
On pose x+y=s et xy=p².
a. Construire le demi cercle de centre O et de diamètre AB=s.
b. Sur la tangente en A au demi cercle, construire le point M tel que AM=p.
c. La parallèle à (AB) passant par M coupe le demi cercle en Q et P.
d. Montrer que MP=x et MQ=y. On pourra utiliser la puissance du point M par rapport au cercle.
e. En déduire une condition sur s et p pourqu'une solution existe.
2. Résolution de l'équation x²-sx+p² = 0.
a. Déterminer les relations entre les racines réelles x1 et x2 de l'équation.
b. Construire ces racines pour l'équation x² - 5 x + 4 = 0 avec pour unité 2cm.
c. Construire ces racines pour l'équation x² + 6 x + 4 = 0 avec pour unité 2cm.
d. Construire ces racines pour l'équation x² + x - 2 = 0 avec pour unité 2cm.
Exercice 5 : Aire et périmètre d'un triangle.
Soit un triangle de dimension a, b et c. On note p le demi périmètre de ce triangle.
La formule du Héron permet le calcul de l'aire A d'un triangle quelconque.
A =
p p−a p−b p−c
1. Tracer le triangle ABC tel que AB=6, AC=4 et BC=3. Calculer son aire.
2. Construire son cercle inscrit, de centre I. On note D, E, F les points d'intersection de ce cercle avec
(BC) (CA) et (AB).
Justifier que AE=AF=p-a BF=BD=p-b et CD=CE=p-c.
Aide : On pourra utiliser des triangles isométriques.

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Exercice 6 :: Trisection d'un angle.
Le problème est de diviser un angle aigu en trois angles de même mesure. Le plan est rapporté au repère
orthonormé (O,,).
A. Conchoïde de Nicomède.
Soit D la droite d'équation x=a, a non nul.
Sur une droite ∆ passant par O, on porte de part et d'autre de son intersection K avec D les point L et M
tels que LK=KM= l . Lorque pivote autour de O, L et M décrivent une courbe appelée conchoïde de
Nicomède de la droite D de pôle O et de module l.
Construire cette conchoïde de Nicomède dans le cas a=2 et l=3 (on tracera quelques points).
B. Trisection d'un angle
1/ Construire le partage d'un angle en deux angles de même mesure en laissant les traits de construction.
2/ Trouver deux mesures d'angle dont la trisection est constructible.
3. La trisection d'un angle (partage en trois angles de même mesure) n'admet que des constructions
approchées.
Une construction approchée est donnée par la méthode suivante :
Méthode : construire un triangle OHI rectangle en H, tel que
OIH
soit l'angle à trisecter. Construire la
conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI ; le cercle de centre I et de rayon OI coupe la
conchoïde en M symétrique de O par rapport à I, et en un deuxième point N indiqué dont la construction
ne peut être qu'approchée. On note J l'intersection de (ON) et (IH). L'angle trisecté est alors
NIJ
.
i. Quelle est la nature du triangle OIN.
ii. Quelle est la nature du triangle INJ.
iii. On note mes(
NIJ
)=α. En déduire alors mes(
NJI
) puis mes(
INO
) et mes(
NOI
) en fonction de α.
iv. En déduire mes(
IOH
) et justifier la méthode utilisée.

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Exercice 7 :: Triangle égyptien et Triangle d'or.
1. a. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que cos
C
=0,8 et AC=4.
b. Montrer que le triangle de mesures 3, 4 et 5 vérifie le a.
c. Montrer qu'il n'existe qu'un seul triangle rectangle ABC dont les mesures des côtés sont des
entiers consécutifs, comme 3, 4 et 5. On les appelle triangles égyptiens.
2. a. [AM) représente la bissectrice de
BAC
. Montrer que M réalise la section dorée de [CM].
Aide : On pourra utiliser des triangles semblables
b. Construire la section dorée d'un segment puis reproduire la figure ci-dessous.
c. Dans un pentagone régulier, il est possible de construire deux triangles isocèles appelés
triangles d'or. Justifier ce nom et calculer leurs angles.
Exercice 8 : : Illusion optique
Prof, pose un problème dans sa classe :
Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E
notées sur la figure.
Très simple quand on sait calculer l'aire d'un trapèze ou d'un triangle !
Chacun y va de sa méthode et finalement nous obtenons les résultats suivants :
Première méthode : calcul de la différence des aires du trapèze (ABCD) et du triangle (AED).
Deuxième méthode : calcul direct .
Chacune des deux méthodes semble exacte, pourtant les résultats sont différents.
Y-a-t-il un bon résultat ?
Si oui quel est le bon ? Et où est l'erreur ?

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Exercice 9 :Examen 2009
Partie A : Ecrire un programme de la construction du pentagone ci-dessous.
Partie B :
Abul-Wafa (vers 940-998), dans son ouvrage Livre sur ce qui est nécessaire à l'artisan en sciences de la
géométrie, propose la solution suivante pour inscrire un carré dans un pentagone régulier ABCDE de
centre O.
●La perpendiculaire passant par A à (DC) coupe (DC) en Z.
●Soit H le milieu de [AZ].
●La parallèle à (DC) passant par H coupe (CB) en T et (DE) en K.
●Abul-Wafa affirme que ATZK est le carré cherché.
L'exercice suivant a pour but de vérifier cette affirmation.
1. Justifier que BTZK est un losange
2. On note G l'intersection de (AC) et (TK).
a) Démontrer que
TCG
et
CAD
ont la même mesure.
b) Démontrer que
CGT
et
ACD
ont la même mesure.
c) Qu'en déduit-on pour les triangles TGC et ACD?
d) Quel est le rapport de similitude?
e) En déduire que TG=
1
2
DC
3. Montrer que GH=
1
2
CZ. En déduire que TH =
3
4
DC.
4. On donne tan
2
5
=
1 5 2 55
8
, qui est un nombre irrationnel. Exprimez AZ en fonction
de DC.
A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, infirmez ou confirmez l'affirmation de Abul-Wafa?