III. Propriétés du triangle rectangle

I. Définitions
• Un triangle rectangle est un triangle dont l’un des angles est
droit.
• Un triangle isocèle est un triangle dont deux cotés ont même
longueur.
• Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la
même longueur ou dont les trois angles sont égaux.
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Droites remarquables dans un triangle
• Une hauteur : c’est une droite issue d’un sommet et
perpendiculaire au coté opposé.
• Une médiane : c’ est une droite issue d’un sommet et passant
par le milieu du coté opposé.
• Une médiatrice : c’ est une droite perpendiculaire à un segment
et passant par son milieu.
• Une bissectrice : c’ est une droite qui partage un angle en deux
angles de même mesure.
• L’orthocentre : c’ est le point de concours des hauteurs.
• Le centre de gravité : c’est le point de concours des médianes.
• Le cercle circonscrit : c’est le cercle qui passe par les sommets
du triangle .
• Le cercle inscrit : c’est le cercle qui est tangent intérieurement
aux trois cotés du triangle.
II. Propriétés du triangle isocèle
• Si ABC est un triangle isocèle en A, alors la hauteur issue de A
est confondue avec la médiane issue de A, la médiatrice de [BC]
et la bissectrice de l’angle Â.
• La réciproque : Si dans un triangle , une droite passant par l’un
des sommets est à la fois : la hauteur et la médiane ou la
hauteur et la bissectrice ou la hauteur et la médiatrice ou la
médiane et la médiatrice ou la bissectrice et la médiatrice , alors
ce triangle est isocèle en ce sommet.
III. Propriétés du triangle rectangle
• La somme des mesures des angles aigus d’un triangle rectangle
est 90°; les angles aigus d’un triangle rectangle sont
complémentaires.
• Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son
hypoténuse.
• Si un point C est sur le cercle de diamètre [AB] alors le triangle
ABC est rectangle en C.
• Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse
mesure la moitié de cette hypoténuse.
• Réciproquement, si dans un triangle la médiane relative à un
coté mesure la moitié de ce coté, alors le triangle est rectangle ,
et « ce » coté en est l’hypoténuse.
§
Propriété de la droite des milieux
• Dans un triangle ABC, la droite passant par les milieux I et J des
deux premiers côtés [AB] et [AC] est parallèle au troisième côté,
de plus IJ = ½ BC
• Dans un triangle, la droite passant par le milieu d’un côté et
parallèle au deuxième côté, coupe le troisième côté en son
milieu.
IV. Propriété de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des 2 autres côtés.
• Dans un triangle ABC rectangle en A :
BC2 = AB2+ AC2 .
§
La réciproque de la propriété de Pythagore:
• Si dans un triangle ABC on a
BC2 = AB2+ AC2 , alors le triangle ABC est rectangle en A.
V. EXERCICE D'APPLICATION
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Enoncé :
Le triangle ECD est –il rectangle ?
EC = 5; CD = 6; ED = 9
Editeur : MemoPage.com SA Date : juin 2000
Auteur : Marie Hélène Pérez ISSN : en cours
Expert : Bénédicte Frétigny
Copyright : MemoPage.com SA MemoPage : Marque, modèle, procédé et système déposés
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Solution :
ED 2= 81
CD2 + EC2 = 61
Dans le triangle ECD : ED2≠ CD2+ EC2 , donc le triangle ECD
n’est pas rectangle d’après la réciproque de la propriété de
pythagore.
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Enoncé :
Le triangle IJK est –il rectangle ?
IJ = 16; JK = 7,8 ; IK = 17,8
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Solution :
IK 2= 316,84
IJ2 + JK2 = 60,84 + 256 = 316, 84
Dans le triangle IJK : IK2 = IJ2+ JK2 , donc le triangle IJK est
rectangle en J d’après la réciproque de la propriété de pythagore.