10 Parallélogrammes Histoire des arts : l’architecture n du L’expressio chapitre C ette construction futuriste a été réalisée dans le port de Hambourg en Allemagne en 2005. Les architectes ont imaginé l’immeuble en forme de bateau avec une proue de près de 40 m. Deux façades de l’édifice sont en forme de parallélogramme. Grâce à son inclinaison et à sa façade en verre, le bâtiment donne l’impression au visiteur de flotter sur l’eau. Le toit-terrasse de l’immeuble offre une vue panoramique sur l’ensemble du port de Hambourg qui est le troisième plus grand port de commerce d’Europe, derrière Rotterdam aux Pays-Bas et Anvers en Belgique. « Du général au particulier. » 190 1255942_ch10_ok.indd 190 24/03/10 14:36:09 Dans ce chapitre, on apprendra à : • Utiliser une définition du parallélogramme. • Utiliser les propriétés du parallélogramme. • Reconnaître et construire un parallélogramme en utilisant ses propriétés. • Connaître et utiliser une définition du carré, du rectangle, du losange. • Utiliser les propriétés du carré, du rectangle, du losange. • Reconnaître et construire un carré, un rectangle et un losange en utilisant leurs propriétés. Pour s’y remettre Pour chaque question, trouve la (ou les) bonne(s) réponse(s) et explique ton choix. Réponse A Je sais… Réponse B Réponse C Reconnaître et utiliser un centre de symétrie Pour les questions 1 et 2, utiliser les figures ci-contre. F I O J A C I G E Figure 1 Figure 2 B 1 La figure a pour centre de symétrie… le point O le point I le point J 2 Dans la figure , les triangles ABC et EFG sont symétriques par rapport au point I. Deux angles symétriques sont… % % BAC et GFE % % BAC et GEF % % CBA et GFE Nommer et identifier des quadrilatères particuliers Pour les questions 3 à 6, utiliser les figures ci-contre. A B H G E R U H D C 3 Le quadrilatère violet se nomme… 4 Quelle figure représente un losange ? 5 6 I J S T G ABCD ABDC BADC le quadrilatère URST le quadrilatère EFGH le quadrilatère GHIJ Le quadrilatère bleu est… un rectangle RSTU un carré STUR un carré RSUT Le quadrilatère EFGH est… un losange un carré un rectangle 10• Parallélogrammes – Parallélogrammes particuliers 1255942_ch10_ok.indd 191 F 191 24/03/10 14:36:11 Activités 1 Un nouveau quadrilatère ? 1. Reproduis les quadrilatères suivants sur ton cahier et place à chaque fois le point O. K J A E B F R S O O H M L D O O G U C T 2. Construis les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point O. 3. a. Que remarque-t-on pour les quadrilatères ABCD et RSTU ? b. Que représente le point O pour les quadrilatères ABCD et RSTU ? c. Les quadrilatères ABCD et RSTU ont-ils des axes de symétrie ? 4. a. Dessine deux autres quadrilatères qui possèdent un centre de symétrie. b. Les quadrilatères que tu as tracés ont-ils aussi des axes de symétrie ? Un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme. Si oui, trace les axes de symétrie ! 2 Propriétés du parallélogramme P A Le quadrilatère PAUL ci-contre est un parallélogramme de centre I. 1. a. Que peux-tu dire du point I pour le segment [PU] ? I Justifie ta réponse par des éléments de symétrie. b. Que peux-tu dire du point I pour le segment [AL] ? Justifie ta réponse par des éléments de symétrie. L c. Que peux-tu conclure sur les diagonales du parallélogramme PAUL ? 2. a. Par la symétrie de centre I, quels sont les symétriques des segments [PA] et [AU] ? b. Que peut-on conclure sur les côtés opposés du parallélogramme PAUL ? 3 Reconnaître un parallélogramme 1. a. Trace un segment [FO] et place son milieu E. b. Trace un segment [LR] dont le milieu est aussi le point E. 2. a. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère FLOR ? b. Que représente le point E pour le quadrilatère FLOR ? c. Peux-tu préciser avec certitude la nature du quadrilatère FLOR ? 3. Recopie et complète la phrase suivante. Si les ………… d’un quadrilatère se coupent …………, alors ce quadrilatère est un ………… . U Pense à toutes les propriétés de la symétrie centrale. 192 1255942_ch10_ok.indd 192 24/03/10 14:36:12 Activités 4 Construire un parallélogramme 1. a. Place trois points F, A et B. b. Trace les segments [FA] et [AB]. 2. On souhaite terminer la construction d’un parallélogramme FABI. Construis le point I en utilisant uniquement l’outil « droites parallèles » . Pense aux propriétés des côtés opposés du parallélogramme ! 5 Du parallélogramme au… Fais une figure à main levée avant de construire ! 1. Construis un parallélogramme AUDR tel que : AU = 6 cm et AR = 6 cm. 2. Que peux-tu dire des quatre côtés du parallélogramme AUDR ? Justifie ta réponse. 3. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme AUDR ? 4. Recopie et complète la phrase suivante. Si un ………… possède deux côtés consécutifs …………, alors il devient un ………… . 6 Du parallélogramme au rectangle 1. a. Place trois points D, O et M. b. Trace les segments [DO] et [OM]. c. Termine la construction d’un parallélogramme DOMI avec l’outil « droites parallèles » 2. a. Avec l’outil « angle » b. Avec l’outil « angle » 3. Avec l’outil « déplacer » . % , fais afficher la mesure de l’angle DOM . % % % , fais afficher les mesures des angles ODI , MID et IMO . % , déplace le point M jusqu’à ce que l’angle DOM soit un angle droit. 4. a. Que peux-tu alors dire des quatre angles du parallélogramme DOMI ? b. Peux-tu préciser avec certitude la nature du parallélogramme DOMI ? 5. Recopie et complète la phrase suivante. Si un ………… possède un …………, alors il devient un ………… . 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 193 193 24/03/10 14:36:12 Savoir/Savoir faire 1 Parallélogramme et centre de symétrie Définition ● Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé qui possède un centre de symétrie. ● Le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales. Exemple : Le point O est le centre A de symétrie du parallélogramme ABCD ci-contre. Le parallélogramme ABCD est son propre symétrique par la symétrie de centre O. D On dit qu’ABCD est un parallélogramme de centre O. B O C 2 Connaître les propriétés du parallélogramme La symétrie centrale permet de déterminer des particularités propres au parallélogramme. Propriété 1 A Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. B O Exemple : Si ABCD est un parallélogramme de centre O, alors le point O est le milieu des diagonales [AC] et [BD]. D C Propriété 2 A Les côtés opposés d’un parallélogramme sont symétriques, donc ils ont la même longueur. B O Exemple : Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = DC et AD = BC. D C E Application 1 : Les points E, F et G sont trois sommets d’un parallélogramme EFGH. Comment construire le point H ? F Réponse : EFGH est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur. E E F G E F G G F H On reporte avec le compas On reporte avec le compas On place le point H la longueur FG à partir du point E. la longueur EF à partir du point G. à l’intersection des deux arcs de cercle. G Pour s’entraîner exercices 22 à 24, page 201 194 1255942_ch10_ok.indd 194 24/03/10 14:36:14 Savoir/Savoir faire Application 2 : Comment construire un parallélogramme IJKL de centre O tel que : % IK = 8 cm ; JL = 6 cm et IOJ = 110° ? Réponse : On commence par réaliser une figure à main levée en indiquant les données de l’énoncé. IJKL est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu qui est le point O. Donc OI = OK = 4 cm et OJ = OL = 3 cm. I J O K J I 3 cm O K m 6c L 3 cm O 110° 8 cm J I 110° I K O K L On trace la diagonale [IK] et on On reporte 3 cm avec le On reporte 3 cm avec le compas place son milieu O. Puis, à l’aide du rapporteur, on trace un angle de côté [IO], de sommet O et qui mesure 110°. compas à partir du point O. On place le point J. Puis on trace la droite (OJ). à partir du point O. Puis on trace le parallélogramme IJKL. Pour s’entraîner exercices 29 à 32, page 201 Propriété 3 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont symétriques, donc les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. Propriété 4 Les angles opposés d’un parallélogramme sont symétriques, donc ils ont la même mesure. A B O Exemple : Si ABCD est un parallélogramme, % % % % alors BAD = BCD et ADC = ABC . D C Application 3 : % PAUL est un parallélogramme tel que PA = 6 cm, PL = 4 cm et APL = 70°. % Comment déterminer la mesure de l’angle AUL sans utiliser d’instrument ? Réponse : On réalise une figure à main levée avec les données. % Les angles % APL et AUL sont opposés. PAUL est un parallélogramme, donc ses angles opposés ont la même mesure. % Les angles % APL et AUL ont donc la même mesure. % Ainsi l’angle AUL mesure 70°. 6 cm P 4 cm A 70° L U Pour s’entraîner exercices 44 et 45, page 202 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 195 195 24/03/10 14:36:14 Savoir/Savoir faire Un seul de ces quatre critères suffit pour avoir un parallélogramme. 3 Reconnaître un parallélogramme Propriété 1 Propriété 2 Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Propriété 3 Propriété 4 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme. Application 4 : Julie a dessiné ce quadrilatère sur son cahier et elle a codé certains segments. Comment savoir si le quadrilatère RSTU est un parallélogramme ? R S O U T Réponse : D’après les codages, le point O est le milieu du segment [RT] et du segment [SU]. Ainsi les diagonales du quadrilatère RSTU se coupent en leur milieu. D’après la propriété 3, le quadrilatère RSTU est un parallélogramme. Pour s’entraîner exercices 52 à 54, page 203 4 Reconnaître des parallélogrammes particuliers Propriété Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. Souviens-toi du chapitre 7 : le rectangle, le losange et le carré possèdent un centre de symétrie. a. Le rectangle Définition Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. Propriétés héritées du parallélogramme ● Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles. ● Les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur. ● Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu. Propriété propre au rectangle Un rectangle est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Exemple : Si ABCD est un rectangle, alors AC = BD. On a aussi OA = OB = OC = OD. A B O D C 196 1255942_ch10_ok.indd 196 24/03/10 14:36:15 Savoir/Savoir faire Application 5 : Comment construire un rectangle SYME de centre I tel que SE = 4 cm et SM = 6 cm ? Y S Réponse : 4 cm On réalise une figure à main levée avec les données. SYME est un rectangle, donc ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu qui est le point I. Donc IS = IY = IM = IE = 3 cm. 6 I cm M E S 3c S m m 3c S Y Y I I E E E M M On construit un segment On trace les demi-droites [EI) et [SI). On trace le rectangle SYME. [SE], puis on construit au compas le point I à 3 cm du point S et du point E. On obtient les points Y et M à 3 cm du point I. Pour s’entraîner exercices 65 à 68, page 204 b. Le losange Définition Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Propriétés héritées du parallélogramme ● ● ● Les côtés opposés d’un losange sont parallèles. Les angles opposés d’un losange ont la même mesure. Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu. B Propriété propre au losange Un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Exemple : Si ABCD est un losange, alors les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. A C D 6 cm Application 6 : MIKA est un losange de centre H tel que MK = 8 cm et IA = 6 cm. Comment déterminer la longueur HA sans utiliser d’instrument ? I Réponse : 8 cm On réalise une figure à main levée avec les données. M H MIKA est un losange, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, ici le point H. A Le point H est le milieu du segment [IA] ; donc HA = 3 cm. K Pour s’entraîner exercices 99 et 100, page 205 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 197 197 24/03/10 14:36:16 Savoir/Savoir faire c. Le carré Définition Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits. Le carré est aussi un losange particulier. Remarque : Le carré est un rectangle particulier. Propriétés héritées du parallélogramme ● Les côtés opposés d’un carré sont parallèles. ● Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu. Propriété héritée du losange Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. Propriété héritée du rectangle A B D C Les diagonales d’un carré ont la même longueur. Exemple : Si ABCD est un carré, alors les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et AC = BD. 5 Du parallélogramme aux rectangle, losange et carré L’organigramme suivant fait apparaître le rectangle, le losange et le carré comme un parallélogramme doté de propriétés particulières. roit gle d un an ou ales iagon eur des dme longu avec ê m de devient un rectangle avec deux c de m ôtés con sé ême longu cutifs eur des d ou perpe iagonale devient ndicu s laires un carré un parallélogramme avec deux c de m ôtés con sé ême longu cutifs eur des d ou perpe iagonale devient ndicu s laires un losange avec Application 7 : Julie a dessiné à main levée le parallélogramme ci-contre sur son cahier et elle a codé certains segments. Comment préciser la nature de ce parallélogramme ? roit gle d un an ou les a iagon eur des dme longu ê de m devient R U S T Réponse : Les côtés [RS] et [RU] sont consécutifs, et, d’après les codages, ils ont la même longueur. Donc le parallélogramme RSTU a deux côtés consécutifs de même longueur. D’après l’organigramme, le parallélogramme RSTU est un losange ; on ne peut rien en dire de plus. Pour s’entraîner exercices 102 à 107, page 206 198 1255942_ch10_ok.indd 198 24/03/10 14:36:16 Le rendez-vous des curieux Un parallélogramme pour reproduire, réduire ou agrandir : le pantographe Inventé en 1630 par l’astronome allemand Christophe Scheiner, cet instrument est composé de quatre bras articulés qui forment un parallélogramme. À l’extrémité de l’un des bras se trouve une pointe sèche que l’on déplace sur le dessin à copier. Un crayon placé au bout d’un autre bras reproduit la figure en modifiant ou en gardant l’échelle de l’original. Cet appareil est moins utile depuis l’invention de la photocopieuse avec agrandissement et réduction. Utilisation d’un panthographe. Histoire des mathématiques Pierre Varignon (1654 - 1722), brillant mathématicien, a démontré le célèbre théorème qui porte son nom : « En joignant les milieux des côtés d’un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme. Si le quadrilatère est un carré, on obtient un carré ; si c’est un rectangle, on obtient un losange ; si c’est un losange on obtient un rectangle. » B M A P N D O C CALCUL MENTAL 1 Calculer. 4 Calculer. a. 9 ⫻ 7 b. 8 ⫻ 6 c. 15 ⫻ 3 a. 45 – 19 b. 67 – 19 c. 135 – 19 d. 8 ⫻ 12 e. 49 ⫻ 2 f. 99 ⫻ 3 d. 283 – 19 e. 1 127 – 19 f. 3 008 – 19 2 Calculer. 5 Calculer. a. 3 + 9 ⫻ 2 b. 7 + 8 ⫻ 6 a. L’opposé de 5. c. 17 – 8 ⫻ 2 d. (30 + 2) ⫻ 3 c. (–8) + (–5) d. (–3) + (–7) e. 7 + (–8) e. (28 – 7) ⫻ 2 f. 3 ⫻ (9 + 2) f. 5 + (–9) g. (–11) – 9 h. –8 – 7 g. 7 + 9 쐦 3 h. 27 – 18 쐦 6 11 7 5 5 29 3 + e. 49 7 6 8 h. # 5 11 2 7 + 9 9 5 f. 1 + 11 8 8 i. # 9 7 6 Calculer. 3 Calculer le périmètre de ces polygones. 6 cm B 2,5 cm F C A D H 5 6 + 4 4 2 7 d. + 3 15 5 g. 2 7 a. E 4 cm b. L’opposé de –19. G 4,5 cm b. c. Une petite astuce : pour soustraire 19 à un nombre, on retranche 20 puis on ajoute 1. 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 199 199 24/03/10 14:36:17 Socle commun Vocabulaire et maîtrise de la langue Recopier et compléter les phrases des exercices 7 et 8 à l’aide des mots suivants (en accordant au pluriel s’il le faut) : diagonale ; milieu ; parallèle ; centre ; côté. 7 Des mots mathématiques… 1. Les …………… d’un parallélogramme se coupent en leur ……………. . 2. Le rectangle, le losange et le carré ont tous un …………… de symétrie. 3. Les …………… opposés d’un parallélogramme sont …………… . 8 … et des mots de tous les jours 1. Emma a mal compris l’énoncé de cet exercice, car elle l’a lu en ……………… . 2. La prolifération des algues inquiète les observateurs des …………… sous-marins. 3. Matthieu n’aime pas vraiment aller au cinéma : il a d’autres …………… d’intérêt. Les compétences du socle commun Pour chaque réponse, prépare une justification orale ! Pour chaque énoncé, répondre par vrai ou faux. 9 Pour terminer la construction du parallélogramme ABCD : a. il faut piquer la pointe du compas sur le point C et pas sur le point B ; A b. il faut reporter la longueur BC à partir du point A. Vrai Faux B C 10 Les diagonales d’un parallélogramme ont la même longueur. 11 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles. et le segment [EH] mesure 3 cm. 13 L’angle EFG mesure 125°. Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. 125° H 14 Le quadrilatère IJKL I est un parallélogramme. O L 115° P K F 3 cm G M J 15 Le quadrilatère MNOP est un parallélogramme. 4 cm E 12 Le segment [HG] mesure 4 cm N 116° O 16 Les diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires. 17 Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu. 18 Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. B 19 Le losange ABCD ci-contre est un carré. A C D 200 1255942_ch10_ok.indd 200 24/03/10 14:36:18 25 26 A L 20 1. Placer les points F, L et O comme ci-contre. 2. Construire le parallélogramme FLRI de centre O. Exercices 25 à 27 : construire en vraie grandeur les parallélogrammes. 120° O 5 cm 27 a. 1. Construire en vraie N 3 cm grandeur le triangle MON. 5 cm O 2. Construire le parallélogramme MNPR sachant 6 cm que les points M et N M sont des sommets et que le point O est le centre du parallélogramme. b. E 50° 2,5 cm 115° I B C 28 voir l’application 1, page 194 2,8 cm N 4,5 cm A D A 60° C D 3 cm C F 21 22 B 5,4 cm B Pour s’entraîner Construire grâce aux propriétés des parallélogrammes J 4 cm F 8 cm Construire un parallélogramme LBON tel que : BLN = 110°. LB = 4 cm ; LN = 5,2 cm et \ voir l’application 2, page 195 1. Reproduire la figure ci-dessous. A 29 B Reproduire la figure et placer le point F sachant que DEFG est un parallélogramme. D G E D 2. Placer le point C pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 30 23 31 1. Placer les points F, A et B comme ci-contre. 2. Construire le parallélogramme FABI. 24 F A B 1. Placer les A B points A, B, C et I comme ci-contre. 2. a. Placer le point D pour que I le quadrilatère C ABCD soit un parallélogramme. b. Placer le point J pour que le quadrilatère AICJ soit un parallélogramme. Construire un parallélogramme SNCF de centre % K tel que SC = 10 cm, NF = 8 cm et SKF = 50°. Construire un parallélogramme ABCD de centre I tel que : % AC = 7 cm ; BD = 5 cm et AIB = 125°. 32 Construire un parallélogramme IRST de centre H tel que : % IH = 5 cm ; RH = 3,5 cm et RHS = 60°. 33 1. Reproduire la figure ci-contre. 2. Construire deux parallélogrammes EAFB et ERFG dont [EF] est une diagonale. E F 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 201 201 24/03/10 14:36:18 Construire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous. T H G 5 cm V 7 cm 3,5 cm 36 % IJKL est un parallélogramme tel que IJK = 65°. % Quelle est la mesure de l’angle KLI ? Justifier la réponse. 44 L P R Construire un parallélogramme CTOU tel que : CT = 5 cm ; CU = 8 cm et UT = 9 cm. Construire un parallélogramme EFGH tel que : EF = 5 cm ; EG = 8 cm et FH = 9 cm. 37 Éric dit qu’il a construit un parallélogramme ABCD tel que AB = 6 cm, BC = 7 cm et CD = 9 cm. Que peut-on lui répondre ? 38 Construire en vraie grandeur les parallélogrammes ci-dessous. J U M 4 cm 40° 8,4 cm 7c 35° 5,8 cm L Y EFGH est un parallélogramme tel que EF = 8 cm. Quelle est la longueur du segment [GH] ? Justifier la réponse. voir l’application 3, page 195 cm 4 3, 40° S 35 43 2 cm Pour s’entraîner 34 % ABCD est un parallélogramme tel que ABC = 105°. % Quelle est la mesure de l’angle CDA ? Justifier la réponse. 45 Exercices 46 et 47 : ABCD est un parallélogramme de centre O. Quelles mesures peut-on trouver à l’aide des données ? Justifier la réponse. 46 a. b. A B 8 cm I 40 D C D C m L K 47 a. cm 2, 2 D Construire un parallélogramme MATH tel que : % AM = 5 cm ; AT = 4 cm et MAT = 60°. Justifier avec les propriétés du parallélogramme 41 EFGH est un parallélogramme de centre I tel que IE = 5 cm. Quelle est la longueur du segment [EG] ? Justifier la réponse. MNOP est un parallélogramme de centre K tel que NP = 9 cm. Quelle est la longueur du segment [KN] ? Justifier la réponse. b. A B B 7,4 Construire un parallélogramme PRLG tel que : % PR = 3,8 cm ; PL = 5,5 cm et RPL = 55°. 42 B 120° A 39 A O cm O C D 48 A ABCD est le parallélogramme ci-contre. 120° 1. Quelles sont les C 5 cm longueurs des côtés D [AB] et [AD] ? Justifier la réponse. % 2. Quelle est la mesure de l’angle DAB ? Justifier la réponse. 49 C B 3 cm DOMI est un parallélogramme tel que : % DO = 7 cm ; IDO = 110° et DI = 4 cm. 1. Quelles sont les longueurs des côtés [IM] et [MO] ? Justifier la réponse. % 2. Quelle est la mesure de l’angle OMI ? Justifier la réponse. 202 1255942_ch10_ok.indd 202 24/03/10 14:36:19 Reconnaître un parallélogramme Pour le quadrilatère EFGH, on sait que : EF = GH et EH = FG. EFGH est-il un parallélogramme ? Justifier la réponse. 50 1. Reproduire les quadrilatères suivants. A B 56 R E F S O O O U D C H Pour s’entraîner 55 G T 2. Construire les symétriques de tous ces quadrilatères par rapport au point O. 3. Quels quadrilatères sont des parallélogrammes ? Pourquoi ? 51 A Dans la figure ci-contre les segments de même couleur sont parallèles. H Nommer tous les parallélogrammes de cette figure en justifiant G les réponses. B I F C E D 57 Nommer tous les parallélogrammes de cette figure en justifiant les réponses. Je suis un quadrilatère et mes côtés opposés sont parallèles. Qui suis-je ? Justifier la réponse. M voir l’application 4, page 196 N P 52 Indiquer la nature des quadrilatères suivants en justifiant les réponses. a. b. H I R S T S R 58 U T K J 53 Pour chaque figure, indiquer si le codage permet de dire que le quadrilatère est un parallélogramme ou non. Justifier la réponse. a. b. A M R M I T B S 54 Voici deux figures codées tracées à main levée. Les quadrilatères PAUL et ERIC sont-ils des parallélogrammes ? Justifier les réponses. a. b. C U E A Dans le quadrilatère MNOP, on sait que les an% % gles MNO et OPM mesurent 125° et que les angles % % NMP et NOP mesurent 55°. MNOP est-il un parallélogramme ? Justifier la réponse. 59 1. Tracer un segment [AD] et placer un point O n’appartenant pas à la droite (AD). 2. Construire les points C et B symétriques respectifs de A et D par rapport au point O. 3. Tracer le quadrilatère ABCD. 4. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 60 1. Indiquer la nature du F 6,5 cm quadrilatère EFGH ci-contre 55° 3,5 cm en justifiant la réponse. E 2. Construire le quadrilatère G EFGH en vraie grandeur. H 61 L P R I Tracer un segment [AC] et son milieu O. Tracer un segment [BD] de milieu O. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 203 203 24/03/10 14:36:19 Pour s’entraîner Construire des rectangles 62 63 73 Construire en vraie grandeur le rectangle FLOR de centre K ci-dessous sachant que KF = 3,2 cm. F L Construire un rectangle EFGH tel que : EF = 5 cm et FG = 4 cm. 29° Construire un rectangle MNOP tel que : MN = 0,7 dm et MP = 45 mm. R 74 64 Construire en vraie grandeur le rectangle TYUK ci-contre. T Y m 8c 4 cm K 66 67 68 O Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD. B C 5 cm 50° U A voir l’application 5, page 197 65 K Construire un rectangle ABCD tel que : AB = 6 cm et AC = 8 cm. 75 D Construire un rectangle MATH tel que : % MT = 6 cm et MTH = 35°. 76 Construire un rectangle COUR de centre K tel % que OR = 10 cm et UKO = 50°. Construire un rectangle WXYZ tel que : XY = 4 cm et WY = 11 cm. Construire des losanges Construire un rectangle AMER tel que : AE = 6,4 cm et AM = 5,6 cm. Construire en vraie grandeur le rectangle ABCD. A B 77 Construire en vraie grandeur ces losanges. a. b. B A 6 cm M E 4 cm D C 7 cm D 130° 42° 3,5 cm C I R 69 Construire un rectangle UPMC de centre J tel que UP = 7 cm et UJ = 5 cm. 70 Construire un rectangle MIKL de centre H tel que MI = 5 cm et IH = 3,6 cm. 71 Construire en vraie grandeur le rectangle RECT ci-dessous sachant que RC = 7 cm. R E 100° 78 79 80 81 T C Construire en vraie grandeur le rectangle LMGH ci-contre. M 120° H Construire un losange ANGE tel que : % NG = 6 cm et ANG = 110°. Construire un losange AUDR tel que : AD = 10 cm et UR = 6 cm. Construire un losange JULI tel que : JL = 8,4 cm et UI = 6,8 cm. 82 L 72 Construire un losange LOSA tel que : % LO = 4 cm et LOS = 60°. 6 cm G Construire en vraie grandeur le losange EFGH ci-contre sachant que OG = 3 cm et OH = 4 cm. H G O F E 204 1255942_ch10_ok.indd 204 24/03/10 14:36:20 Construire en vraie grandeur le losange EPOC ci-contre. E 6 cm Justifier avec les propriétés du rectangle, du losange et du carré C 3 cm P Pour s’entraîner 83 O 95 EFGH est un rectangle tel que EG = 8 cm. Marc : « Le segment [FH] mesure 8 cm. » Betty : « Le segment [GH] mesure 8 cm. » Qui a raison ? Justifier la réponse. Construire un losange LOSA tel que : SA = 4,5 cm et LS = 7 cm. 85 Construire en vraie grandeur le losange LSGR L ci-contre sachant que LG = 8 cm. S 37° I G R 86 Construire en vraie grandeur le losange OLIV O ci-contre sachant que OE = 3 cm. L 30° E RECT est le rectangle ci-contre. Quelles sont les longueurs des segments [RE], [EC] et [ET] ? Justifier la réponse. T cm C 8 cm ABCD est un losange de centre O. Quelles mesures peut-on trouver à l’aide des données ? Justifier la réponse. a. b. A A B B 120° 8 cm Construire un carré MNOP de côté 5 cm. D 89 E 10 97 Construire des carrés 88 R I V 87 96 6 cm 84 C D C Construire un carré JKLM de côté 0,8 dm. 98 Construire un carré CARE tel que CR = 6 cm. EFGH est un losange. Que peut-on dire des droites (EF) et (GH) ? Justifier la réponse. 90 Construire un carré EFGH dont les diagonales mesurent 8 cm. 91 Possible ou impossible ? Est-il possible de construire un carré WXYZ tel que : WY = 11 cm et XZ = 10 cm ? voir l’application 6, page 197 99 MNOP est un losange de centre K tel que MO = 7 cm. Quelle est la longueur du segment [KO] ? Justifier la réponse. 100 92 Construire le carré ABCD de centre O ci-contre en vraie grandeur. A B 3 cm O D C 93 Construire un carré JEAN de centre I tel que IJ = 5 cm. 94 Construire un carré PAUL de centre K tel que KA = 3,8 cm. ABCD est un losange de centre O tel que AC = 5,3 cm. Quelle est la longueur du segment [CO] ? Justifier la réponse. 101 FLOR est le carré ci-contre. 1. Quelles sont les longueurs des segments [RL] et [FO] ? Justifier la réponse. 2. Préciser la nature des triangles RIF, FIL, LIO, OIR et des triangles ROF, RFL, LOR et ORF. R F 4 cm I O 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 205 L 205 24/03/10 14:36:20 Pour s’entraîner Préciser la nature d’un parallélogramme 110 Je suis un parallélogramme et j’ai deux côtés consécutifs de même longueur. Qui suis-je ? Justifier la réponse. voir l’application 7, page 198 111 102 Quelle est la nature des parallélogrammes suivants ? Justifier les réponses. a. b. G T Y F H U I J 103 Quelle est la nature des parallélogrammes suivants ? Justifier les réponses. a. b. O Z P E O LGVE est un parallélogramme tel que LG = GV. Quelle est sa nature ? Justifier la réponse. % YMCA est un parallélogramme tel que YMC = 90°. Quelle est sa nature ? Justifier la réponse. 105 106 LGVE est un parallélogramme tel que LV = GE. Quelle est sa nature ? Justifier la réponse. 107 Dans le parallélogramme YMCA, les droites (YC) et (MA) sont perpendiculaires. Quelle est sa nature ? Justifier la réponse. 108 Recopier et compléter en utilisant l’un des mots suivants : rectangle ; losange ; carré. 1. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un ……… . 2. Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un ……… . 3. Un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur est un ……… . 113 1. Construire un rectangle OPEN de centre I tel % que IE = 6 cm et PIE = 90°. 2. Quelle est la particularité de ce rectangle ? Justifier la réponse. C cm 5 cm T % AB = 6 cm et ABC = 90°. 2. Quelle est la particularité de ce losange ? Justifier la réponse. 115 1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm. 2. Tracer deux diamètres [MT] et [AH]. 3. Quelle est la nature du quadrilatère MATH ? Justifier la réponse. 4. Refaire cette figure avec deux diamètres [MT] et [AH] perpendiculaires. Que peut-on dire alors sur le quadrilatère MATH ? 116 La figure ci-contre est formée de deux cercles A de même centre O. Recopier et compléter le I P tableau suivant par oui S ou par non. C Le quadrilatère DECI est un… R 7 parallélogramme RECT ci-contre ? Justifier la réponse. 2. Construire RECT en vraie grandeur. MA = 5 cm et AT = 5 cm. 2. Quelle est la particularité de ce rectangle ? Justifier la réponse. 114 1. Construire un losange ABCD tel que : 104 109 1. Quelle est la nature du 112 1. Construire un rectangle MATE tel que : D S R Recopier en corrigeant les erreurs. a. Un losange qui a un angle droit est un rectangle. b. Un parallélogramme qui a un angle droit est un carré. E D T R O E B ADBC AEBI ATBS parallélogramme … … … … rectangle … … … … losange … … … … carré … … … … 206 1255942_ch10_ok.indd 206 24/03/10 16:50:04 123 C H 40° 4 cm 117 1. Construire en vraie grandeur le parallélogramme CHEF ci-contre. F 2. Calculer son périmètre. 6 cm Quelle est la nature du quadrilatère ci-dessous ? Justifier la réponse. T I 60° H E IE = 8 cm TR = 12 cm 118 Construire les deux parallélogrammes suivants en vraie grandeur. a. b. J 4 cm J I F 5,5 cm 7 cm 110° 75° M K 5 cm E K E R Pour s’entraîner Pêle-mêle Construire le quadrilatère TIRE en vraie grandeur. Avec un logiciel de géométrie 124 1. Tracer un quadrilatère ABCD. 2. Régler le nombre de décimales à 1. 119 Maths et langues vivantes 1. Chercher la traduction en anglais et en espagnol du mot losange. 2. Chercher la signification en vieux français du mot rhombe à l’aide d’un dictionnaire ou sur Internet. 3. Y a-t-il un rapport entre le vieux français et l’anglais ou l’espagnol ? 120 1. Construire un parallélogramme ABCD tel que : % AB = 7 cm ; BAD = 110° et AD = 4 cm. 2. Quelle est la longueur du segment [CD] ? Justifier la réponse. 121 ABCD est un parallélogramme de centre O. A 3 cm D B 110° O 1,9 cm C 1. Quelles sont les longueurs des segments [OA], [AC], [OB] et [BD] ? Justifier la réponse. % % 2. Quelles sont les mesures des angles DOC , BOC % et AOD ? Justifier la réponse. 122 1. Construire un triangle ABD tel que : AB = 7 cm ; BD = 4 cm et AD = 9 cm. 2. Construire les points L et P symétriques des points A et B par rapport à D. 3. Quelle est la nature du quadrilatère ABLP ? Justifier la réponse. 3. En observant les longueurs des côtés du quadrilatère, déplacer des points pour obtenir : a. un parallélogramme ; b. un losange. 125 European exercise Ashley : « Let LION be a rhomb wich side is 4 in. and its diagonal [LO] 3in. » (1 in. = 2,54 cm.) Petra : « Zeichne eine Raute ENTE mit 4 cm Seite, deren Diagonale [ET] 3 cm. » 126 Quelles sont les affirmations exactes ? Justifier les réponses. 1. Tous les parallélogrammes ont un centre de symétrie. 2. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle. 3. Un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est forcément un carré. 4. Tous les losanges sont des rectangles. 127 RSTU est un rectangle de centre I tel que IU = 6 cm. Quelle est la longueur du segment [SU] ? Justifier la réponse. 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 207 207 24/03/10 14:36:21 Bilan Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Trouve-les toutes ! Je sais… Réponse A Réponse B Réponse C Me souvenir des propriétés du parallélogramme et les utiliser A Pour les questions 128 à 130, on utilisera le parallélogramme ABCD de centre O ci-contre. B 6 cm O 75° 128 Le point O est… le milieu du segment [BD] D le milieu du segment [AC] C le centre de symétrie de ABCD 129 Quel segment mesure 6 cm ? le segment [AC] le segment [BC] le segment [CD] 130 Quels angles mesurent 75° ? % % BAD et BCD % % DCA et ADC % % ABC et ADC Reconnaître un parallélogramme A 131 Quelle figure représente un A C A B B parallélogramme ABCD ? B D D 132 Sur quelle figure, J J D C C J K I le quadrilatère IJKL est-il un parallélogramme ? I K K L L I L Me souvenir des propriétés des parallélogrammes particuliers et les utiliser Pour les questions 133 à 135, on utilisera le rectangle ABCD, le losange EFGH et le carré IJKL. I A B F O E D S M G H C J L K 133 Le triangle AOB est… rectangle en O isocèle en O équilatéral 134 Les diagonales [FH] et [EG]… se coupent en leur milieu ont la même longueur sont perpendiculaires 135 Le triangle MLK est… rectangle en M isocèle en M équilatéral un carré un losange un rectangle un carré un losange un rectangle Reconnaître un parallélogramme particulier A 136 Ce parallélogramme ABCD est… D B C 137 Un parallélogramme qui a des diagonales de même longueur est… Réponses en fin de manuel, page 267 208 1255942_ch10_ok.indd 208 24/03/10 14:36:22 Construire en vraie grandeur les parallélogrammes IMPO et GOKU. a. b. M 4 cm O I G 25° 3cm cm 7c 8 110° m K P U O 139 1. Construire un triangle RST tel que : RS = 6 cm ; RT = 5 cm et ST = 4 cm. 2. Construire : a. le point U pour que RSTU soit un parallélogramme ; b. le point V pour que RSVT soit un parallélogramme ; c. le point W pour que RTSW soit un parallélogramme. 1. Tracer un repère orthogonal sur une feuille quadrillée en prenant un côté de carreau comme unité de longueur sur chaque axe. 2. Placer les points A(–3 ; 1), B(1 ; 3) et C(5 ; 1). 3. Placer le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un losange. 4. Quelles sont les coordonnées du point D ? 5. Quelles sont les coordonnées du centre de symétrie de ce losange ? 145 ERBT est un parallélogramme. R E 110° 70° 140 Pour chaque question, dessiner une figure à main levée codée puis construire en vraie grandeur un parallélogramme ABCD tel que : % % a. AB = 4 cm, BAC = 35° et ADC = 125° ; b. CD = 4 cm, AC = 7 cm et BC = 5 cm. S T B BTE ? 1. Quelle est la mesure de l’angle % Justifier la réponse. 2. Les points B, T et S sont-ils alignés ? Avec un logiciel de géométrie 141 1. Construire un triangle BUS tel que : BU = 3,6 cm ; BS = 4,8 cm et US = 6 cm. 2. Placer le milieu H du segment [BS]. 3. Construire le point E symétrique de U par rapport au point H. 4. Quelle est la nature du quadrilatère BUSE ? Justifier la réponse. 5. Calculer le périmètre de BUSE. 142 144 Dans un repère Pour approfondir 138 146 1. a. Construire un triangle DEF et placer I le milieu du côté [EF]. b. Construire le point G symétrique du point D par rapport au point I. 2. a. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère DEGF ? b. Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? ABCD est un parallélogramme de centre O. F A B O D C E Quelle est la nature du quadrilatère AECF ? Justifier la réponse. 143 Reproduire la figure ci-contre et placer le point B pour que ABCD soit un parallélogramme. A D O C 3. Déplacer le point D pour que le triangle DEF devienne isocèle en D. Quelle est alors la nature du parallélogramme DEGF ? % 4. a. Faire afficher la mesure de l’angle FDE . b. Déplacer le point D pour que le triangle DEF devienne rectangle en D. Quelle est alors la nature du parallélogramme DEGF ? 5. Déplacer le point D pour que le triangle DEF devienne isocèle rectangle en D. Quelle est alors la nature du parallélogramme DEGF ? 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 209 209 24/03/10 14:36:23 Pour approfondir 147 1. Construire un parallélogramme IJKL tel que : % % IK = 7 cm ; KIJ = 41° et IKJ = 49°. 2. Calculer la mesure de l’angle % IJK . 3. Quelle est la nature du parallélogramme IJKL ? Justifier la réponse. W 151 Léa est sûre que WXYZ est un carré. A-t-elle raison ? Justifier la réponse. Z X Y 152 Diagonales clés 148 Maths et français On a représenté les diagonales de quatre quadrilatères. Quelle est la nature de chaque quadrilatère ? Justifier les réponses. 1 M 2 I P J L 1. Chercher le mot lauze dans le dictionnaire. 2. Quelle semble être la forme des tuiles qui recouvrent ce toit ? 3. À quelle figure du chapitre peut-on lier le mot lauze ? G K H 3 E 4 M O A Y A 149 Reconstituer une démonstration En classant les étiquettes dans le bon ordre, démontrer que ZERO est un carré. Z E L R Avec un logiciel de géométrie 153 1. Tracer un quadrilatère ABCD. O 2. Placer les milieux E, F, G et H des côtés de ABCD et tracer le quadrilatère EFGH. 3. Quelle semble être la nature de EFGH ? Pour le vérifier, faire afficher la longueur des côtés. 4. Si on déplace un des sommets de ABCD, la nature de EFGH semble-t-elle modifiée ? 5. Faire afficher les aires des deux quadrilatères et comparer. Que peut-on en déduire ? 6. En déplaçant les points A, B, C et D, transformer le quadrilatère ABCD successivement en rectangle, en losange et en carré. Observer à chaque fois ce que devient le quadrilatère EFGH. R ZERO est un losange qui possède un angle droit. ZERO est un losange. % L’angle EZO est un angle droit. Les quatre côtés du quadrilatère ZERO sont de la même longueur. ZERO est donc un carré. 150 Quelle est la nature du quadrilatère FGHJ ci-contre ? Justifier la réponse. G F J H 210 1255942_ch10_ok.indd 210 24/03/10 14:36:24 tel que FH = 3,9 cm et GH = 6,7 cm. 2. Construire les points I et J pour que le quadrilatère FGIJ soit un losange de centre H. 3. Calculer les longueurs des diagonales du losange FGIJ. 155 EFGH et GHJK sont deux parallélogrammes. E F J 157 1. a. Construire un parallélogramme ABGF % tel que BG = 4 cm ; BGF = 130° et GF = 6 cm. b. Quelle est la longueur du segment [AB] ? Justifier la réponse. c. Quelle est la mesure de l’angle % FAB ? Justifier la réponse. 3. Observer la figure à main levée ci-dessous. A F G E K Pourquoi peut-on affirmer que : a. les longueurs EF et JK sont égales ? b. les droites (EF) et (JK) sont parallèles ? 156 Quels angles faut-il calculer pour pouvoir construire un parallélogramme MNOP tel que : % % MO = 7 cm ; NOM = 42° et MPO = 115° ? B 130° G H Pour approfondir Exercice de synthèse 154 1. Construire un triangle FGH rectangle en H C D a. Quelle est la nature du quadrilatère EDGF ? Justifier la réponse. b. Quelle est la nature du quadrilatère BCDG ? Justifier la réponse. c. Que peut-on dire des diagonales du quadrilatère BCDG ? Justifier la réponse. 4. Construire la figure complète en vraie grandeur. Jeux et défis mathématiques 158 Casse-tête constructif ! Fais plusieurs essais ! Peut-on construire un parallélogramme ABCD dont le périmètre vaut 24 cm et tel que la longueur AB vaut le double de la longueur BC ? 159 Étonnant ! La figure ci-contre représente un cercle de centre O et deux de ses diamètres perpendiculaires. OIAJ et OKBL sont deux rectangles. Comparer les longueurs des segments [IJ] et [KL]. M Q K O B 160 Une figure hypnotique A J P I L N 1. Construire un parallélogramme dont les côtés mesurent 20 cm et 16 cm. 2. Placer le milieu de chaque côté et relier ces quatre milieux pour former un nouveau quadrilatère. 3. Placer le milieu de chaque côté du nouveau quadrilatère et relier ces quatre milieux pour former encore un nouveau quadrilatère. 4. Répéter trois fois la consigne de la question 3 et colorier la figure obtenue. 10• Parallélogrammes 1255942_ch10_ok.indd 211 211 24/03/10 14:36:25