Complexité topologique

Complexité topologique
Gabrielle Poirier
Thèse soumise à la
Faculté des études supérieures et postdoctorales
dans le cadre des exigences
du programme de maîtrise
Département de mathématiques et statistique
Faculté des Sciences
Université d’Ottawa
c
Gabrielle Poirier, Ottawa, Canada, 2014
1

Résumé
Il y a seulement une dizaine d’années que l’invariant de la complexité topologique a été défini.
Il y a encore beaucoup de travail à y consacrer. Ici nous comparons algébriquement les deux inva-
riants T C(XQ)et tc(X). En fait, ce qui nous motive, c’est la conjecture de leur égalité. Dans le but
d’appuyer cette conjecture, nous regardons les bornes inférieures et supérieures de chacun, pour
resserrer l’intervalle dans lequel ils se trouvent. Ceci nous a permis de trouver un nouveau résul-
tat : la borne supérieure 2·cat0(X)de T C(XQ)est aussi une borne supérieure de tc(X). Ensuite,
pour trois espaces nous avons calculé l’intervalle dans lequel se trouvent T C(XQ)et tc(X). Tous
nos résultats nous incitent à dire que ces deux invariants se comportent bien de la même façon.
2

Table des matières
1 Introduction 6
2 Préliminaires en topologie 10
2.1 Homotopie............................................ 10
2.2 Rationalisation.......................................... 11
2.3 Cohomologie .......................................... 11
2.3.1 Trois théorèmes importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 ProduitCup....................................... 12
2.4 FibrationsetCofibrations ................................... 13
2.4.1 Rappelsdesdéfinitions ................................ 13
2.4.2 Fibres et cofibres homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Joint................................................ 16
3 De la topologie à l’algèbre 18
3.1 Algèbres et cohomologie d’une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 ModèlesdeSullivan ...................................... 19
3.3 Modèles relatifs de Sullivan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Fibrations et longue suite exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Extensions semifree et modèle algébrique du joint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Typesd’espaces......................................... 31
3.5.1 Espacesformels..................................... 31
3.5.2 Espaceselliptiques................................... 32
3.5.3 Espaces homogènes et modèles purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 LS-catégorie 35
4.1 Définitionsgéométriques.................................... 35
3

Complexité topologique
4.2 La LS-catégorie pour des algèbres de Sullivan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 ThéorèmedeHess ................................... 40
5 Autres invariants homotopiques 44
5.1 Longueurcup .......................................... 44
5.2 Longueurencône........................................ 45
5.3 InvariantdeToomer ...................................... 46
5.4 ComplexitéTopologique.................................... 47
6 Relations entre invariants 51
6.1 La catégorie sectionnelle et la LS-catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Complexitétopologique .................................... 52
6.3 Analysedesmodèles...................................... 54
6.3.1 Types d’éléments primaires dans W......................... 54
7 Un théorème et des exemples 56
7.1 Borne supérieure pour tc .................................... 56
7.2 Modèle pur formel avec une puissance 4 à la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.1 Algèbre ΛQ/dγPet cohomologie de Xγ........................ 57
7.2.2 LS-catégorie de Xγ................................... 60
7.2.3 nil ker ∪Q........................................ 61
7.2.4 T C(Xγ)et tc(Xγ).................................... 61
7.3 Modèle de X=SU(2)3/T2,espacenon-formel........................ 61
7.3.1 Cohomologie de X................................... 62
7.3.2 LS-catégorie de X.................................... 63
7.3.3 nil ker µN........................................ 63
7.3.4 nil ker ∪Q........................................ 64
7.3.5 tc(X)........................................... 64
7.3.6 Complexité topologique : T C(XQ).......................... 76
7.4 Modèle pur avec des degrés pairs différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.1 Algèbre ΛQ/dP ..................................... 77
7.4.2 Cohomologie de X................................... 77
7.4.3 LS-catégorie de X.................................... 81
7.4.4 nil ker µN........................................ 81
4

Complexité topologique
7.4.5 nil ker ∪Q........................................ 82
7.4.6 tc(X)et T C(X)..................................... 82
8 Conclusion 83
Appendices 84
A Table de multiplication de H∗(Xγ)85
B Matrices des coefficients 87
5