Suite de nombres réels

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Suite de nombres réels - Informellement
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
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Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
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Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R
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Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R,
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement
N0 → R,
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement
N0 → R, voire plus généralement N \ {0, 1, 2, . . . , j} → R pour un certain
entier j.
On note une suite :
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Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement
N0 → R, voire plus généralement N \ {0, 1, 2, . . . , j} → R pour un certain
entier j.
On note une suite : (an )n∈N
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement
N0 → R, voire plus généralement N \ {0, 1, 2, . . . , j} → R pour un certain
entier j.
On note une suite : (an )n∈N (en remplaçant l’ensemble N par ce qui est
approprié).
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Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement
N0 → R, voire plus généralement N \ {0, 1, 2, . . . , j} → R pour un certain
entier j.
On note une suite : (an )n∈N (en remplaçant l’ensemble N par ce qui est
approprié). an est donc l’élément de R associé à n.
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Exemple
Voici quelques exemples de suites :
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Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) :
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Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) :
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .)
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) :
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) :
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1,
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) :
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Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) :
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) : ses éléments sont (1,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) : ses éléments sont (1, 12 ,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) : ses éléments sont (1, 12 , 13 ,
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) : ses éléments sont (1, 12 , 13 , 14 , . . .).
2/14
Suites
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ;
an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une
suite constante ;
an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ;
an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ;
an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ;
an =
1
n
(n ≥ 1) : ses éléments sont (1, 12 , 13 , 14 , . . .).
2/14
Suites
Exemple
Notons an la valeur de
√
2,
3/14
Suites
Exemple
Notons an la valeur de
√
2, tronquée à n décimales exactes :
3/14
Suites
Exemple
Notons an la valeur de
a0 = 1;
√
2, tronquée à n décimales exactes :
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
2+x
1+x
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
2+x
1+x
et a0 = 1.
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
3
a1 = ;
2
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
3
a1 = ; a 2 = ;
5
2
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ;
5
12
2
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore,
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1 = 1.5;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1 = 1.5; a2 = 1.4;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1 = 1.5; a2 = 1.4; a3 = 1.41666;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1 = 1.5; a2 = 1.4; a3 = 1.41666; a4 = 1.41379;
3/14
Suites
Exemple
√
Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes :
a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . .
Soit f (x ) =
de suite.
2+x
1+x
et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi
7
17
41
3
a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . .
5
12
29
2
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1 = 1.5; a2 = 1.4; a3 = 1.41666; a4 = 1.41379; a5 = 1.41428; . . .
3/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1;
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2;
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3;
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5;
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8;
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
Cette suite porte le nom de
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
Cette suite porte le nom de suite de Fibonacci,
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
Cette suite porte le nom de suite de Fibonacci, et est en fait liée au
nombre d’or
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
Cette suite porte le √nom de suite de Fibonacci, et est en fait liée au
nombre d’or ϕ = 1+2 5 ,
4/14
Suites
Exemple
Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante :
an = an−1 + an−2 n ≥ 2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · ·
Cette suite porte le √nom de suite de Fibonacci, et est en fait liée au
nombre d’or ϕ = 1+2 5 , la solution positive de l’équation du second degré :
ϕ2 = ϕ + 1
4/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles (ou « suites réelles » en abrégé)
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles (ou « suites réelles » en abrégé), ou éventuellement à valeurs
complexes.
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles (ou « suites réelles » en abrégé), ou éventuellement à valeurs
complexes. Parfois également à valeurs dans Rp pour un certain p > 1.
5/14
Suites
Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une
application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles (ou « suites réelles » en abrégé), ou éventuellement à valeurs
complexes. Parfois également à valeurs dans Rp pour un certain p > 1.
5/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) :
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) :
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) :
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1, 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1, 1, 1,
6/14
Suites
Exemple
Quelques exemples de suites à valeurs complexe :
an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ;
an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ;
an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .).
6/14
Suites
Représentations d’une suite
Graphe d’une suite
Etant donnée une suite (an )n∈N ,
7/14
Suites
Représentations d’une suite
Graphe d’une suite
Etant donnée une suite (an )n∈N , on peut représenter dans le plan
l’ensemble {(n, an ) t.q. n ∈ N}.
7/14
Suites
Représentations d’une suite
Graphe d’une suite
Etant donnée une suite (an )n∈N , on peut représenter dans le plan
l’ensemble {(n, an ) t.q. n ∈ N}. C’est le graphe de la suite.
7/14
Suites
Représentations d’une suite
Graphe d’une suite
Etant donnée une suite (an )n∈N , on peut représenter dans le plan
l’ensemble {(n, an ) t.q. n ∈ N}. C’est le graphe de la suite. Par exemple :
y
an = n
x
7/14
Suites
Représentations d’une suite
Graphe d’une suite
Etant donnée une suite (an )n∈N , on peut représenter dans le plan
l’ensemble {(n, an ) t.q. n ∈ N}. C’est le graphe de la suite. Par exemple :
y
y
an = 2n
an = n
x
x
7/14
Suites
Représentations d’une suite
y
an = (−1)n
x
8/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N ,
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}.
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite.
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite. Par exemple :
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite. Par exemple :
an = n
0 1 2 3 4
x
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite. Par exemple :
an = n
x
0 1 2 3 4
an = 2n
12 4
8
16
x
9/14
Suites
Représentations d’une suite
Image d’une suite
Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite
réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite. Par exemple :
an = n
x
0 1 2 3 4
an = 2n
12 4
8
an = (−1)n
−1
1
16
x
x
9/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C)
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L,
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0,
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N∈N
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de )
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N,
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
|an − L| < .
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Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
|an − L| < .
Dans cette situation, on écrit :
10/14
Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
|an − L| < .
Dans cette situation, on écrit :
lim an = L ou simplement lim an = L ou encore (an ) → L.
n→∞
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Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
|an − L| < .
Dans cette situation, on écrit :
lim an = L ou simplement lim an = L ou encore (an ) → L.
n→∞
On dit que L est la limite de la suite (an ).
On dit aussi dans ce cas que la suite (an ) est convergente.
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Suites
Limite de suite
Définition (Suite convergente / limite d’une suite)
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C).
On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe
N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait :
|an − L| < .
Dans cette situation, on écrit :
lim an = L ou simplement lim an = L ou encore (an ) → L.
n→∞
On dit que L est la limite de la suite (an ).
On dit aussi dans ce cas que la suite (an ) est convergente.
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 .
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
11/14
Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0.
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
(un tel entier existe clairement).
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N,
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > ,
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > , dès lors
1
n < .
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > , dès lors
1
n < . Comme an est positif, on a donc bien
|an − 0| < dès que n ≥ N pour ce choix de N.
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > , dès lors
1
n < . Comme an est positif, on a donc bien
|an − 0| < dès que n ≥ N pour ce choix de N.
Dans cet exemple on a montré directement à partir de la définition que la
suite (an ) = (1/n) convergeait vers 0.
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Suites
Limite de suite
Exemple
Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit.
Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que
1
1
(un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > , dès lors
1
n < . Comme an est positif, on a donc bien
|an − 0| < dès que n ≥ N pour ce choix de N.
Dans cet exemple on a montré directement à partir de la définition que la
suite (an ) = (1/n) convergeait vers 0.
On verra que l’on peut utiliser des règles de calcul comme pour les limites
de fonctions, permettant de se ramener à des cas simples comme la suite
(1/n).
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Suites
Exemple
Si (an ) est la suite des troncatures de
Limite de suite
√
2
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Suites
Exemple
Si (an ) est la suite des troncatures de
Limite de suite
√
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc.
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Suites
Exemple
Si (an ) est la suite destroncatures
de
√ an − 2
Limite de suite
√
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an <
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4,
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ an − 2
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ √
an − 2 = 2 − an <
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n+1
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n+1 .
Remarque
Pour fixé,
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Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n+1 .
Remarque
Pour fixé, si une valeur de N « fonctionne »
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Si (an ) est la suite destroncatures
de
2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n
Il suffit de prendre N > log10
1
, pour avoir 10−n < dès que n ≥ N.
Remarque
Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire
√ √
an − 2 = 2 − an < 10−n+1 .
Remarque
Pour fixé, si une valeur de N « fonctionne », alors toute valeur plus
grande « fonctionne » aussi.
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles.
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M.
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M.
On dit par ailleurs que (an ) tend vers −∞ si
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M.
On dit par ailleurs que (an ) tend vers −∞ si
∀M ∈ R, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≤ M.
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M.
On dit par ailleurs que (an ) tend vers −∞ si
∀M ∈ R, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≤ M.
Dans cette situation, la suite ne converge pas
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Suites
Limite de suite
Définition
Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si
∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M.
On dit par ailleurs que (an ) tend vers −∞ si
∀M ∈ R, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≤ M.
Dans cette situation, la suite ne converge pas, mais est dite “avoir une
limite” (infinie).
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Suites
Exemple
Soit an =
√
Limite de suite
n
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Suites
Exemple
Soit an =
√
Limite de suite
n. Fixons nous M ∈ R.
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N,
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 ,
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif.
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M
aussi grand que l’on veut)
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M
aussi grand que l’on veut) on puisse trouver un moment dans la suite
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M
aussi grand que l’on veut) on puisse trouver un moment dans la suite
(c-à-d “il existe un certain N”)
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M
aussi grand que l’on veut) on puisse trouver un moment dans la suite
(c-à-d “il existe un certain N”) tel qu’à partir de ce moment
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Suites
Limite de suite
Exemple
√
Soit an = n. Fixons nous M ∈ R.
Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n.
Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 ,
alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M.
Remarque
Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même
seulement les M plus grand que 3 milliards.
Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M
aussi grand que l’on veut) on puisse trouver un moment dans la suite
(c-à-d “il existe un certain N”) tel qu’à partir de ce moment (c-à-d “pour
n ≥ N”) on ait an ≥ M.
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