Rappels d`algèbre

Introduction à la théorie des nombres
csag’09
Rappels d’algèbre
... Groupes
Groupe
Un groupe G est un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne · : G × G → G et possédant un élément 1G ∈ G
tels que :
∀ a, b, c ∈ G, a · (b · c) = (a · b) · c
(associativité)
∀a ∈ G, a · 1G = 1G · a = a
(élément neutre)
∀ a ∈ G, ∃ a0 ∈ G t.q. a · a0 = a0 · a = 1G
(inverse).
Dans toute la suite, (G, ·) désigne un groupe.
Ordre d’un groupe
On dit que G est fini s’il ne contient qu’un nombre fini
d’éléments. Dans ce cas, on appelle ordre de G, et on note |G|,
le nombre de ses éléments.
Sous-groupe
Un sous-groupe H de G est un sous-ensemble de G tel que :
1G ∈ H
Indice
et
a · b−1 ∈ H pour tous a, b ∈ H.
Si H est un sous-groupe de G, on appelle classe à gauche d’un
élément a ∈ G modulo H le sous-emsemble :
aH := {ah , h ∈ H},
et on définit de même les classes à droite Ha. Les classes à
gauche forment une partition de G ; leur ensemble est noté
G/H. En général, ce n’est pas un groupe.
Si G est fini, le cardinal de G/H, noté (G : H), est appelé
l’indice de H dans G.
Sous-groupe engendré
Soit E un sous-ensemble de G. L’intersection de tous les sousgroupes de G contenant E est un sous-groupe de G ; c’est aussi
le plus petit sous-groupe de G (au sens de l’inclusion) contenant
le sous-ensemble E. On l’appelle le sous-groupe engendré par
E et on le note < E >.
Si H =< E >, on dit que les éléments de E sont des générateurs
de H.
Si a ∈ G, le sous-groupe engendré par {a} se note < a >. On
dit que c’est un groupe monogène : s’il est de plus fini, on dit
qu’il est cyclique.
Ordre d’un élément
Soit a ∈ G. Si le groupe < a > est fini, on définit l’ordre de a
comme l’ordre du groupe cyclique < a > : c’est le plus petit
entier naturel non nul n ≥ 0 tel que an = 1G . Sinon, on dit que
a est d’ordre infini.
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Introduction à la théorie des nombres
Théorème de Lagrange
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Si G est fini, l’ordre de tout sous-groupe H divise l’ordre de
G. Précisément, on a :
|G| = |H| · (G : H).
En particulier, l’ordre d’un élément a ∈ G divise l’ordre de G.
Groupes cycliques
Un groupe G fini est dit cyclique s’il existe a ∈ G tel que
G =< a >. L’élément a est appelé un générateur de G.
Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. De plus,
si d divise l’ordre d’un groupe cyclique, il existe un et un seul
sous-groupe d’ordre d.
Homomorphisme
Si (G, ·) et (G0 , ∗) sont deux groupes, on appelle homomorphisme de G dans G0 toute application f : G −→ G0 telle
que :
∀a, b ∈ G, f (a · b) = f (a) ∗ f (b).
Noyau
On appelle noyau de f l’ensemble :
Ker(f ) = {a ∈ G : f (a) = 1G } ;
c’est un sous-groupe de G.
Image
On appelle image de f l’ensemble :
Im(f ) = {f (a) ; a ∈ G} ;
c’est un sous-groupe de G0 .
Isomorphisme
Un homomorphisme f : G → G0 est injectif si et seulement si
Ker(f ) = {1G }.
Si f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme et alors,
l’application inverse f −1 : G0 → G est aussi un isomorphisme
de groupes.
S’il existe un isomorphisme entre deux groupes G et G0 , on
écrit G ' G0 .
Un homomorphisme f : G → G est appelé un endomorphisme
du groupe G. Si de plus f est bijectif, on parle d’automorphisme.
Sous-groupe distingué
Un sous-groupe H de G est dit distingué dans G si :
∀a ∈ G, ∀h ∈ H, aha−1 ∈ H,
ou, de façon équivalente, si aH = Ha pour tout a ∈ G, i.e. les
classes à droite et à gauche modulo H sont égales. On écrit
alors H C G.
Par exemple, si f : G → G0 est un homomorphisme de groupes,
le noyau Ker(f ) est un sous-groupe distingué de G.
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Introduction à la théorie des nombres
Groupe quotient
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Si H est un sous-groupe distingué de G, on peut définir sur l’ensemble
G/H une loi interne :
aH · bH = (a · b)H,
qui fait de G/H un groupe, dit groupe quotient de G par H.
La projection G → G/H est alors un homomorphisme de groupes
surjectif, de noyau H.
Si f : G → G0 est un morphisme de groupes, alors f induit un
'
isomorphisme de groupes G/Ker(f ) −
→ Im(f ).
... Groupes abéliens
Groupe abélien
Un groupe (G, ·) est dit abélien (ou commutatif), du nom du
mathématicien Abel, si :
∀a, b ∈ G, a · b = b · a.
En général, si G est abélien, on note + au lieu de · sa loi de
composition et 0 au lieu de 1G : c’est la notation additive.
Souvent, la notation réservée à un groupe rappelle sa loi sans
ambiguı̈té. Par exemple, les groupes Z, Q, R, C... sont notés additivement (la loi est l’addition +), tandis que les groupes Q× , R× ,
C× ... sont notés multiplicativement (la loi est la multiplication ·,
l’élément neutre est noté 1).
Somme directe
Si (G, +) et (G0 , +) sont deux groupes abéliens, on appelle somme
directe de G et G0 , et on note G ⊕ G0 , l’ensemble :
G ⊕ G0 = {(a, b) ; a ∈ G, b ∈ G0 };
c’est un groupe abélien pour l’addition composante par composante : (a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ).
On définit de même la somme directe G1 ⊕ ... ⊕ Gr d’un nombre
fini de groupes abéliens (G1 , +)...(Gn , +). En particulier, si tous
les Gi sont égaux à un même groupe G, on écrit Gr la somme
directe G ⊕ ... ⊕ G (r fois).
Groupe de type fini
Un groupe abélien (G, +) est dit de type fini (ou de génération
finie) s’il est engendré par un nombre fini d’éléments : en d’autres
termes s’il existe un nombre fini d’éléments g1 , ..., gs tels que tout
élément de G s’écrit comme somme finie des gi .
Groupe libre
Un groupe abélien (G, +) est dit libre s’il est isomorphe au groupe
(Zr , +), pour un certain entier r ≥ 0. L’entier r est alors appelé
le rang de G.
Groupe de torsion
Un groupe abélien (G, +) est dit de torsion, si pour tout élément
a ∈ G il existe un entier n ≥ 0 tel que n.a = 0. Un groupe de
torsion est fini.
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Introduction à la théorie des nombres
Théorème de structure
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Un groupe abélien (G, +) de type fini est isomorphe à la
somme directe d’un groupe abélien libre et d’un groupe fini.
Plus précisément, il existe deux entiers (r, s) ∈ N2 et des entiers d1 , ..., ds strictement positifs tels que di divise di+1 pour
1 ≤ i ≤ s − 1 et :
G ' Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ ... ⊕ Z/ds Z ⊕ Zr .
On note Gtors l’ensemble des éléments de torsion de G :
Gtors := {a ∈ G t.q. ∃n ≥ 0, n.a = 0} ;
c’est un sous-groupe fini de G, appelé sous-groupe de torsion
de G. Avec les notations précédentes, on a :
Gtors ' Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ ... ⊕ Z/ds Z.
En particulier, si G est fini, alors G est isomorphe à une somme
directe de groupes cycliques.
Suite exacte
Soient N , G et H trois groupes notés multiplicativement.
Soient ι : N → G et π : G → H deux morphismes de groupes.
On dit que l’on a une suite exacte (courte) que l’on écrit :
ι
π
1→N →G→H→1
si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
1. ι est injectif ;
2. π est surjectif ;
3. Im(ι) = Ker(π).
Si les groupes N , G et H sont abéliens et notés additivement,
alors sous les conditions précédentes, on écrit :
ι
π
0 → N → G → H → 0.
Plus généralement, si {Ai }i est une famille de groupes, on
appelle suite exacte et on écrit :
fi−2
fi−1
fi
fi+1
... → Ai−1 → Ai → Ai+1 →
une suite d’homomorphismes fi : Ai → Ai+1 tels que :
∀i, Im(fi ) = Ker(fi+1 ).
Dans les notations précédentes, on a identifié 1 (resp. 0 pour
la notation additive) au groupe trivial {1} (resp. {0}).
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Introduction à la théorie des nombres
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... Anneaux
Anneau
Un anneau (unitaire) est la donnée d’un groupe abélien (A, +)
muni d’une seconde loi de composition · : A × A −→ A et contenant un élément 1 ∈ A, tels que :
∀a ∈ A, 1 · a = a · 1 = a
(élément neutre pour ·)
∀a, b, c ∈ A, a · (b · c) = (a · b) · c
(associativité)
∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = a · b + a · c (distributivité 1)
∀a, b, c ∈ A, (a + b) · c = a · c + b · c
(distributivité 2).
On écrit : (A, +, ·).
L’élément neutre pour + est souvent noté 0 (ou 0A ), l’élément
neutre pour · est 1 (ou 1A ). L’élément 1 ∈ A est aussi appelé
élément unité de A.
Enfin, on note A× := A\{0} .
Anneau commutatif
Un anneau (A, +, ·) est dit commutatif si la loi · est commutative :
∀a, b ∈ A, a · b = b · a.
Dans toute la suite, on considère uniquement des anneaux commutatifs.
Sous-anneau
Un sous-ensemble B ⊂ A est un sous-anenau de A si c’est un
sous-groupe de (A, +) qui contient 1 et tel que b · b0 ∈ B, pour
tous b, b0 ∈ B.
Unités
Les unités forment un groupe pour la multiplication, noté A∗ .
Corps
Un anneau A est un corps si tout élément non nul est inversible,
en d’autres termes si A∗ = A× . En général, on utilise la notation
(K, +, ·) pour un corps.
Diviseur de zéro
Un élement non nul a ∈ A× est un diviseur de zéro s’il existe
b ∈ A× tel que a · b = 0.
Anneau intègre
Un anneau A non nul est dit intègre s’il ne contient pas de diviseur
de zéro.
Idéal
Un idéal I de A est un sous-groupe additif de (A, +) tel que
a · x ∈ I pour tout a ∈ A et tout x ∈ I. Par exemple, A et {0}
sont des idéaux, appelés idéaux triviaux de A. Un anneau est un
corps si et seulement s’il ne contient pas d’idéal non trivial.
Somme d’idéaux
Si I et J sont deux idéaux de A, on note I + J l’ensemble des
sommes x + y avec x ∈ I et y ∈ J. C’est un idéal de A, appelé
somme de I et J. Si I + J = A, on dit que les idéaux I et J sont
premiers entre eux.
Produit d’idéaux
Si I et J sont deux
P idéaux A, on définit IJ comme l’ensemble des
sommes finies
xy avec x ∈ I et y ∈ J : c’est encore un idéal de
A. Si J = A, alors IA = I.
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Introduction à la théorie des nombres
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Idéal engendré
Si E est un sous-ensemble de A, l’intersection des idéaux de A contenant E est un idéal de A,PappeléP
idéal engendré par E.C’est l’ensemble des sommes finies
ab =
ba, avec a ∈ A et b ∈ E.
Idéal principal
Un idéal principal de A est un idéal engendré par un seul élément
b ∈ A : on le note bA ou encore (b).
Un anneau A est dit principal s’il est intègre et si tout idéal de A est
principal. Par exemple, les anneaux Z et K[X], si K est un corps,
sont des anneaux principaux.
Anneau quotient
Si I est un idéal de A, les classes modulo I, c’est-à-dire les ensembles
a + I, a ∈ A, forment un anneau, appelé quotient de A par I et noté
A/I.
Les idéaux de l’anneau quotient A/I sont de la forme J/I où J
parcourt l’ensemble des idéaux de A qui contiennent I.
Idéal premier
Un idéal I de A est dit premier s’il satisfait la condition :
∀x, y ∈ A, x · y ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
En général, si I est un idéal premier, on le note P.
De façon équivalente, un idéal P est premier si et seulement si l’anneau quotient A/P est intègre.
Idéal maximal
Un idéal I de A est dit maximal s’il est maximal pour l’inclusion
dans parmi les idéaux non triviaux de A, c’est-à-dire si pour tout
idéal J ⊆ A, l’idéal I satisfait la condition :
I ⊆ J ⊆ A ⇒ J = I ou J = A.
En général, si I est un idéal maximal, on le note m.
De façon équivalente, un idéal m est maximal si et seulement si
l’anneau quotient A/m est un corps.
Homomorphisme
Soient A et A0 deux anneaux, d’éléments unités notés 1A et 1A0
respectivement. Un homomorphisme d’anneaux f : A → A0 est une
application telle que :
f (1A ) = 1A0
∀a, b ∈ A, f (a + b) = f (a) + f (b)
∀a, b ∈ A,
f (a · b) = f (a) · f (b).
On appelle noyau de f , et on note Ker(f ), l’image réciproque de
l’élément 0 ∈ A0 (neutre pour +) : c’est un idéal de A. On note
également Im(f ) l’image de f dans A0 : c’est un sous-anneau de A0 .
Isomorphisme
Un homomorphisme d’anneaux f : A → A0 est injectif si et seulement si son noyau est nul. S’il est bijectif, on parle d’isomorphisme
'
d’anneaux et on écrit f : A → A0 .
S’il existe un isomorphisme entre deux anneaux A et A0 , on dit qu’ils
sont isomorphes et on écrit A ' A0 .
Si f : A → A0 est un homomorphisme d’anneaux, alors f induit un
isomorphisme d’anneaux : A/Ker(f ) ' Im(f ).
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Introduction à la théorie des nombres
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Endomorphisme
Un homomorphisme f : A → A est appelé un endomorphisme de
l’anneau A, on parle d’automorphisme s’il est bijectif.
Somme directe
Si A et B sont deux anneaux, on appelle somme directe de A et B,
et on note A⊕B, l’anneau dont l’ensemble sous-jacent est formé des
couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B, et dont les lois sont l’addition
et la multiplication composante par composante. L’élément neutre
pour l’addition (resp. la multiplication) est l’élément (0A , 0B ) (resp.
(1A , 1B )).
Théorème chinois
Si I1 , ..., Ir sont des idéaux de A tels que Ii + Ij = A pour tous
i 6= j, on a un isomorphisme d’anneaux :
'
A/(I1 ...Ir ) −→ A/I1 ⊕ /I2 ⊕ ... ⊕ A/Ir
donné par x + (I1 ...Ir ) 7→ (x + I1 , ..., x + Ir ).
L’anneau (Z, +, ·)
L’anneau Z est principal, ses idéaux sont précisément les idéaux
principaux mZ lorsque m parcourt l’ensemble N des entiers positifs.
Un idéal mZ est premier si et seulement si m est un nombre premier,
et alors mZ est aussi maximal.
Deux idéaux non nuls mZ et nZ sont premiers entre eux si et seulement si les entiers m et n sont premiers entre eux.
Si m1 , ..., mr sont des entiers premiers entre eux, alors le théorème
Chinois fournit un isomorphisme d’anneaux :
'
Z/(m1 ...mr )Z −→ Z/m1 Z ⊕ ... ⊕ Z/mr Z.
Caractéristique
L’application ϕ : Z → A donnée par ϕ(n) = 1A + ... + 1A (n fois)
si n ≥ 0 et par ϕ(n) = ϕ(−n) si n ≤ 0, est un homomorphisme
d’anneaux.
Si ϕ est injectif, il induit un homomorphisme injectif de Z dans A :
on dit que A est de caractéristique 0.
Sinon, le noyau de ϕ est un idéal mZ, avec m > 0 : on dit que m
est la caractéristique de A.
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Introduction à la théorie des nombres
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Corps
Corps
Un corps est un anneau dans lequel tout élément non nul est
inversible. Si K est un corps pour les lois + et ·, on écrit aussi
(K, +, ·).
Caractéristique
La caractéristique d’un corps est soit 0 soit un nombre premier p.
Sous-corps
Soit (L, +, ·) un corps : un sous-corps de L est un sousensemble qui est un corps pour les opérations + et · induites
de L.
Extension
Si K est un sous-corps d’un corps L, on dit que L est une
extension de K et on écrit L/K.
Degré d’une extension
Si L/K est une extension, le corps L est muni d’une structure
de K-espace vectoriel, dont la dimension (finie ou infinie) sur
K est appelée le degré de l’extension L/K et notée [L : K].
Extension finie
Une extension L/K est dite finie si [L : K] < ∞.
Si L/M et M/K sont deux extensions finies de corps, alors
l’extension L/K est aussi finie et l’on a la relation :
[L : K] = [L : M ][M : K].
Eléments algébriques
Soit L/K une extension. Un élément α ∈ L est dit algébrique
sur K s’il existe un polynôme non nul f (x) ∈ K[x] tel que
f (α) = 0.
Parmi tous les polynômes annulateurs de α dans K[X], il
existe un unique polynôme de degré minimal et unitaire (càd
dont le coefficient du monôme de plus haut degré est 1) : ce
polynôme est irréductible, on l’appelle le polynôme minimal
de α sur K.
Une extension L/K est dite algébrique si tous les éléments
de L sont algébriques sur K.
K(α1 , α2 , . . . αn )
Soit L/K une extension. Soient α1 , α2 , . . . αn des éléments de
L. Il existe un plus petit sous-corps de L (pour l’inclusion)
qui contient K et tous les éléments α1 , α2 , . . . αn : ce corps
est noté K(α1 , α2 , . . . αn ).
Soit K un corps et soit P (X) ∈ K[X] un polynôme de degré
≥ 1 : il existe une extension algébrique L/K de la forme
L = K(α), avec P (α) = 0.
Corps de décomposition
Si P (X) ∈ K[X] est un polynôme unitaire de degré d ≥ 1, il
existe une extension L/K dans laquelle
Q le polynôme P (X) se
décompose sous la forme P (X) = di=1 (X − ai ) avec ai ∈ L,
et L = K(a1 , ..., ad ). On l’appelle corps de décomposition du
polynôme P sur K.
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Introduction à la théorie des nombres
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Corps algébriquement clos
Un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme
P (X) ∈ K[X] de degré ≥ 1 a une racine dans K.
Clôture algébrique
Pour tout corps K, il existe un corps L tel que :
– l’extension L/K est algébrique ;
– le corps L est algébriquement clos.
Un tel corps L est unique à isomorphisme de corps près : on
l’appelle la clôture algébrique de K et on écrit L = K alg .
Corps finis
Corps fini
Un corps fini est un corps qui possède un nombre fini d’éléments !
Les corps finis apparaissent comme une structure essentielle en
théorie algébrique des nombres et en géométrie arithmétique.
Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le grand
théorème de Fermat. Les corps finis sont fréquemment utilisés
en cryptographie ou en théorie des codes.
Caractéristique
La caractéristique d’un corps fini est un nombre premier p > 0.
Cardinal
Si F est un corps fini de caractéristique p, alors il existe un entier
n ≥ 1 tel que |F| = pn .
Unicité
Pour tout nombre premier p et pour tout entier n, il existe un
unique corps fini à pn éléments, à isomorphisme de corps près.
On le note Fpn ou parfois GF (pn ).
Sous-corps
Soient Fpm et Fpn deux corps finis : Fpm est un sous-corps de Fpn
si et seulement si m|n.
Réciproquement, tous les sous-corps de Fpn sont de la forme Fpm
avec m | n.
Groupe multiplicatif
Le groupe multiplicatif F×
pn de tout corps fini Fpn est cyclique.
Frobenius
Tout élément x ∈ Fpn satisfait la relation xp = x. L’application :
n
ϕ : Fp n
x
−→ Fpn
7→
xp
est un automorphisme du corps Fpn , appelé l’ automorphisme de
Frobenius.
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