Rappels d`algèbre

Introduction `a la th´eorie des nombres csag’09
Rappels d’alg`ebre
... Groupes
Groupe Un groupe Gest un ensemble non vide muni d’une loi de com-
position interne ·:G×G→Get poss´edant un ´el´ement 1G∈G
tels que :
∀a, b, c ∈G, a ·(b·c)=(a·b)·c(associativit´e)
∀a∈G, a ·1G= 1G·a=a(´el´ement neutre)
∀a∈G, ∃a0∈Gt.q. a·a0=a0·a= 1G(inverse).
Dans toute la suite, (G, ·) d´esigne un groupe.
Ordre d’un groupe On dit que Gest fini s’il ne contient qu’un nombre fini
d’´el´ements. Dans ce cas, on appelle ordre de G, et on note |G|,
le nombre de ses ´el´ements.
Sous-groupe Un sous-groupe Hde Gest un sous-ensemble de Gtel que :
1G∈Het a·b−1∈Hpour tous a, b ∈H.
Indice Si Hest un sous-groupe de G, on appelle classe `a gauche d’un
´el´ement a∈Gmodulo Hle sous-emsemble :
aH := {ah , h ∈H},
et on d´efinit de mˆeme les classes `a droite Ha. Les classes `a
gauche forment une partition de G; leur ensemble est not´e
G/H. En g´en´eral, ce n’est pas un groupe.
Si Gest fini, le cardinal de G/H, not´e (G:H), est appel´e
l’indice de Hdans G.
Sous-groupe engendr´e Soit Eun sous-ensemble de G. L’intersection de tous les sous-
groupes de Gcontenant Eest un sous-groupe de G; c’est aussi
le plus petit sous-groupe de G(au sens de l’inclusion) contenant
le sous-ensemble E. On l’appelle le sous-groupe engendr´e par
Eet on le note < E >.
Si H=< E >, on dit que les ´el´ements de Esont des g´en´erateurs
de H.
Si a∈G, le sous-groupe engendr´e par {a}se note <a>. On
dit que c’est un groupe monog`ene : s’il est de plus fini, on dit
qu’il est cyclique.
Ordre d’un ´el´ement Soit a∈G. Si le groupe < a > est fini, on d´efinit l’ordre de a
comme l’ordre du groupe cyclique <a>: c’est le plus petit
entier naturel non nul n≥0 tel que an= 1G. Sinon, on dit que
aest d’ordre infini.
1

Introduction `a la th´eorie des nombres csag’09
Th´eor`eme de Lagrange Si Gest fini, l’ordre de tout sous-groupe Hdivise l’ordre de
G. Pr´ecis´ement, on a :
|G|=|H| · (G:H).
En particulier, l’ordre d’un ´el´ement a∈Gdivise l’ordre de G.
Groupes cycliques Un groupe Gfini est dit cyclique s’il existe a∈Gtel que
G=<a>. L’´el´ement aest appel´e un g´en´erateur de G.
Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique. De plus,
si ddivise l’ordre d’un groupe cyclique, il existe un et un seul
sous-groupe d’ordre d.
Homomorphisme Si (G, ·) et (G0,∗) sont deux groupes, on appelle homomor-
phisme de Gdans G0toute application f:G−→ G0telle
que :
∀a, b ∈G, f (a·b) = f(a)∗f(b).
Noyau On appelle noyau de fl’ensemble :
Ker(f) = {a∈G:f(a)=1G};
c’est un sous-groupe de G.
Image On appelle image de fl’ensemble :
Im(f) = {f(a) ; a∈G};
c’est un sous-groupe de G0.
Isomorphisme Un homomorphisme f:G→G0est injectif si et seulement si
Ker(f) = {1G}.
Si fest bijectif, on dit que fest un isomorphisme et alors,
l’application inverse f−1:G0→Gest aussi un isomorphisme
de groupes.
S’il existe un isomorphisme entre deux groupes Get G0, on
´ecrit G'G0.
Un homomorphisme f:G→Gest appel´e un endomorphisme
du groupe G. Si de plus fest bijectif, on parle d’automor-
phisme.
Sous-groupe distingu´e Un sous-groupe Hde Gest dit distingu´e dans Gsi :
∀a∈G, ∀h∈H, aha−1∈H,
ou, de fa¸con ´equivalente, si aH =Ha pour tout a∈G, i.e. les
classes `a droite et `a gauche modulo Hsont ´egales. On ´ecrit
alors HCG.
Par exemple, si f:G→G0est un homomorphisme de groupes,
le noyau Ker(f) est un sous-groupe distingu´e de G.
2

Introduction `a la th´eorie des nombres csag’09
Groupe quotient Si Hest un sous-groupe distingu´e de G, on peut d´efinir sur l’ensemble
G/H une loi interne :
aH ·bH = (a·b)H,
qui fait de G/H un groupe, dit groupe quotient de Gpar H.
La projection G→G/H est alors un homomorphisme de groupes
surjectif, de noyau H.
Si f:G→G0est un morphisme de groupes, alors finduit un
isomorphisme de groupes G/Ker(f)' −→ Im(f).
... Groupes ab´eliens
Groupe ab´elien Un groupe (G, ·) est dit ab´elien (ou commutatif), du nom du
math´ematicien Abel, si :
∀a, b ∈G, a ·b=b·a.
En g´en´eral, si Gest ab´elien, on note + au lieu de ·sa loi de
composition et 0 au lieu de 1G: c’est la notation additive.
Souvent, la notation r´eserv´ee `a un groupe rappelle sa loi sans
ambigu¨ıt´e. Par exemple, les groupes Z,Q,R,C... sont not´es ad-
ditivement (la loi est l’addition +), tandis que les groupes Q×,R×,
C×... sont not´es multiplicativement (la loi est la multiplication ·,
l’´el´ement neutre est not´e 1).
Somme directe Si (G, +) et (G0,+) sont deux groupes ab´eliens, on appelle somme
directe de Get G0, et on note G⊕G0, l’ensemble :
G⊕G0={(a, b) ; a∈G, b ∈G0};
c’est un groupe ab´elien pour l’addition composante par compo-
sante : (a, b)+(a0, b0)=(a+a0, b +b0).
On d´efinit de mˆeme la somme directe G1⊕... ⊕Grd’un nombre
fini de groupes ab´eliens (G1,+)...(Gn,+). En particulier, si tous
les Gisont ´egaux `a un mˆeme groupe G, on ´ecrit Grla somme
directe G⊕... ⊕G(rfois).
Groupe de type fini Un groupe ab´elien (G, +) est dit de type fini (ou de g´en´eration
finie) s’il est engendr´e par un nombre fini d’´el´ements : en d’autres
termes s’il existe un nombre fini d’´el´ements g1, ..., gstels que tout
´el´ement de Gs’´ecrit comme somme finie des gi.
Groupe libre Un groupe ab´elien (G, +) est dit libre s’il est isomorphe au groupe
(Zr,+), pour un certain entier r≥0. L’entier rest alors appel´e
le rang de G.
Groupe de torsion Un groupe ab´elien (G, +) est dit de torsion, si pour tout ´el´ement
a∈Gil existe un entier n≥0 tel que n.a = 0. Un groupe de
torsion est fini.
3

Introduction `a la th´eorie des nombres csag’09
Th´eor`eme de structure Un groupe ab´elien (G, +) de type fini est isomorphe `a la
somme directe d’un groupe ab´elien libre et d’un groupe fini.
Plus pr´ecis´ement, il existe deux entiers (r, s)∈N2et des en-
tiers d1, ..., dsstrictement positifs tels que didivise di+1 pour
1≤i≤s−1 et :
G'Z/d1Z⊕Z/d2Z⊕... ⊕Z/dsZ⊕Zr.
On note Gtors l’ensemble des ´el´ements de torsion de G:
Gtors := {a∈Gt.q. ∃n≥0, n.a = 0};
c’est un sous-groupe fini de G, appel´e sous-groupe de torsion
de G. Avec les notations pr´ec´edentes, on a :
Gtors 'Z/d1Z⊕Z/d2Z⊕... ⊕Z/dsZ.
En particulier, si Gest fini, alors Gest isomorphe `a une somme
directe de groupes cycliques.
Suite exacte Soient N,Get Htrois groupes not´es multiplicativement.
Soient ι:N→Get π:G→Hdeux morphismes de groupes.
On dit que l’on a une suite exacte (courte) que l’on ´ecrit :
1→Nι →Gπ →H→1
si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
1. ιest injectif ;
2. πest surjectif ;
3. Im(ι) = Ker(π).
Si les groupes N,Get Hsont ab´eliens et not´es additivement,
alors sous les conditions pr´ec´edentes, on ´ecrit :
0→Nι →Gπ →H→0.
Plus g´en´eralement, si {Ai}iest une famille de groupes, on
appelle suite exacte et on ´ecrit :
... fi−2 →Ai−1
fi−1
→Ai
fi
→Ai+1
fi+1
→
une suite d’homomorphismes fi:Ai→Ai+1 tels que :
∀i, Im(fi) = Ker(fi+1).
Dans les notations pr´ec´edentes, on a identifi´e 1 (resp. 0 pour
la notation additive) au groupe trivial {1}(resp. {0}).
4

Introduction `a la th´eorie des nombres csag’09
... Anneaux
Anneau Un anneau (unitaire) est la donn´ee d’un groupe ab´elien (A, +)
muni d’une seconde loi de composition ·:A×A−→ Aet conte-
nant un ´el´ement 1 ∈A, tels que :
∀a∈A, 1·a=a·1 = a(´el´ement neutre pour ·)
∀a, b, c ∈A, a ·(b·c)=(a·b)·c(associativit´e)
∀a, b, c ∈A, a ·(b+c) = a·b+a·c(distributivit´e 1)
∀a, b, c ∈A, (a+b)·c=a·c+b·c(distributivit´e 2).
On ´ecrit : (A, +,·).
L’´el´ement neutre pour + est souvent not´e 0 (ou 0A), l’´el´ement
neutre pour ·est 1 (ou 1A). L’´el´ement 1 ∈Aest aussi appel´e
´el´ement unit´e de A.
Enfin, on note A×:= A\{0}.
Anneau commutatif Un anneau (A, +,·) est dit commutatif si la loi ·est commutative :
∀a, b ∈A, a ·b=b·a.
Dans toute la suite, on consid`ere uniquement des an-
neaux commutatifs.
Sous-anneau Un sous-ensemble B⊂Aest un sous-anenau de Asi c’est un
sous-groupe de (A, +) qui contient 1 et tel que b·b0∈B, pour
tous b, b0∈B.
Unit´es Les unit´es forment un groupe pour la multiplication, not´e A∗.
Corps Un anneau Aest un corps si tout ´el´ement non nul est inversible,
en d’autres termes si A∗=A×. En g´en´eral, on utilise la notation
(K, +,·) pour un corps.
Diviseur de z´ero Un ´element non nul a∈A×est un diviseur de z´ero s’il existe
b∈A×tel que a·b= 0.
Anneau int`egre Un anneau A non nul est dit int`egre s’il ne contient pas de diviseur
de z´ero.
Id´eal Un id´eal Ide Aest un sous-groupe additif de (A, +) tel que
a·x∈Ipour tout a∈Aet tout x∈I. Par exemple, Aet {0}
sont des id´eaux, appel´es id´eaux triviaux de A. Un anneau est un
corps si et seulement s’il ne contient pas d’id´eal non trivial.
Somme d’id´eaux Si Iet Jsont deux id´eaux de A, on note I+Jl’ensemble des
sommes x+yavec x∈Iet y∈J. C’est un id´eal de A, appel´e
somme de Iet J. Si I+J=A, on dit que les id´eaux Iet Jsont
premiers entre eux.
Produit d’id´eaux Si Iet Jsont deux id´eaux A, on d´efinit IJ comme l’ensemble des
sommes finies Pxy avec x∈Iet y∈J: c’est encore un id´eal de
A. Si J=A, alors IA =I.
5