cd - IECL

CD - FONCTIONS PERIODIQUES
Préliminaires : sous-groupes additifs de R (Voir AK).
On sait qu’un sous-groupe additif de R non réduit à zéro, est, soit dense dans R, soit monogène,
c’est-à-dire de la forme T Z avec T réel strictement positif, (dans ce cas nous appellerons T le générateur de G). En particulier, un sous-groupe non réduit à zéro d’un groupe monogène est monogène, et
un sous-groupe contenant un sous-groupe dense est dense. Nous aurons besoin des propriétés suivantes :
Proposition 1 Soit G1 = T1 Z et G2 = T2 Z deux sous-groupes monogènes de R. Les propriétés
suivantes sont équivalentes
i) T1 /T2 est rationnel
ii) G1 ∩ G2 6= {0}
iii) G1 + G2 est monogène
et l’on peut caractériser les générateurs de la manière suivante :
si l’on a T1 /T2 = p1 /p2 avec p1 et p2 entiers premiers entre eux, alors
G1 ∩ G2 = T Z,
avec
T = p2 T1 = p1 T2 ,
G1 + G2 = T ′ Z,
avec
T′ =
T2
T1
=
.
p1
p2
En particulier, si T1 et T2 sont entiers, T = PPCM(T1 , T2 ), et T ′ = PGCD(T1 , T2 ).
1) Equivalence de i) et ii)
Supposons que le nombre T1 /T2 soit rationnel. On a donc
T1 /T2 = p1 /p2 ,
avec p1 et p2 premiers entre eux. Alors p2 T1 = p1 T2 et ce nombre, que nous noterons T , appartient à
la fois à G1 et à G2 donc à G1 ∩ G2 qui, par suite, contient T Z et n’est donc pas réduit à 0.
Réciproquement, si l’intersection n’est pas réduite à 0, soit x un de ses éléments non nul. Il appartient
à Gi donc s’écrit ai Ti avec ai entier. Alors l’égalité
a1 T1 = a2 T2
implique que le nombre
T1 /T2 = a2 /a1
est rationnel.
CD 2
Par ailleurs, on a à la fois,
T1 /T2 = a2 /a1
et T1 /T2 = p1 /p2
donc
a2 /a1 = p1 /p2 ,
et, comme p1 et p2 sont premiers entre eux, il existe un entier k tel que
a2 = kp1
et a1 = kp2 .
Alors
x = a1 T1 = kp2 T1 = kT .
Il en résulte que G1 ∩G2 est inclus dans T Z. On a donc en fait égalité, et T est le générateur de G1 ∩G2 .
Lorsque T1 et T2 sont entiers, T1 = δp1 et T2 = δp2 , où δ est le PGCD de T1 et de T2 . Alors
T = p1 T2 = δp1 p2 = PPCM(T1 , T2 ) .
2) Equivalence de i) et iii)
Supposons de nouveau que le nombre T1 /T2 soit rationnel. Alors,
T2
T1
=
.
p1
p2
Notons ce nombre T ′ . Si x appartient à G1 + G2 , on a alors
x = a1 T1 + a2 T2 = a1 p1 T ′ + a2 p2 T ′ = (a1 p1 + a2 p2 )T ′ ,
ce qui montre que x appartient T ′ Z qui contient donc G1 +G2 . Il en résulte que ce groupe est monogène.
Réciproquement, si le groupe G1 +G2 est monogène, et si l’on note T0 son générateur, comme le groupe
contient, T1 et T2 , il existe un entier bi tel que Ti = bi T0 , et donc le nombre
T1 /T2 = b1 /b2
est rationnel.
En utilisant le théorème de Bézout, il existe deux entiers r1 et r2 tels que
r1 p1 + r2 p2 = 1 .
On en déduit que
T ′ = r1 p1 T ′ + r2 p2 T ′ = r1 T1 + r2 T2
ce qui montre que T ′ appartient à G1 + G2 , qui contient donc T ′ Z. On a donc en fait égalité, et T ′ est
le générateur de G1 + G2 .
CD 3
Lorsque T1 et T2 sont entiers,
T′ =
T1
= δ = PGCD(T1 , T2 ) .
p1
Proposition 2 Soit G un sous-groupe additif de R, et λ un réel non nul. Alors l’ensemble
λG = {λx | x ∈ G} est un sous-groupe de même nature que G, et si G a pour générateur T , le
sous-groupe λG a pour générateur |λ|T .
L’application x → λx est clairement un morphisme bijectif de groupe. L’image de G est λG.
Fonctions périodiques
Si f est une fonction définie sur R, à valeurs réelles, on note G(f ) l’ensemble des réels T , tels que, pour
tout x réel
f (x + T ) = f (x) .
Proposition 3 L’ensemble G(f ) est un sous-groupe additif de R.
Si T1 et T2 sont dans G(f ), on a, pour tout x réel,
f (x + T1 + T2 ) = f ((x + T1 ) + T2 ) = f (x + T1 ) = f (x) ,
donc T1 + T2 appartient à G(f ).
Par ailleurs, si T1 appartient à G(f ) on a
f (x) = f ((x − T1 ) + T1 ) = f (x − T1 ) ,
donc −T1 appartient à G(f ) qui est bien un sous groupe additif de R.
Définition On dira qu’une fonction f est périodique, si G(f ) n’est pas réduit à 0. Un élément
T non nul de G(f ) est une période de f , et l’on dira que f est périodique de période T ou encore
qu’elle est T −périodique. L’ensemble G(f ) est alors appelé groupe des périodes de f .
Pour une fonction périodique f , on a donc deux possibilités : ou bien G(f ) est dense dans R, ou bien
il est monogène et engendré par son plus petit élément strictement positif.
CD 4
Définition Lorsque le groupe G(f ) est monogène, si T est la plus petite période strictement
positive de G(f ), on aura
G(f ) = T Z ,
et on dira que T est la période de f .
Proposition 4 Le groupe G(f ) est égal à R si et seulement si la fonction f est constante.
Si f est constante, on a, quels que soient x et T ,
f (x + T ) = f (x) .
Donc tout nombre réel appartient à G(f ).
Réciproquement, si G(f ) = R, soit x et y des réels distincts. Le nombre y − x est une période de f
donc, quels que soient x et y,
f (x) = f (x + (y − x)) = f (y)
et la fonction f est constante.
Proposition 5 Si f est périodique, ses translatées τa f : x → f (x + a) sont périodiques et
G(τa f ) = G(f ) .
Quel que soit x réel, si f est périodique et T appartient à G(f ),
τa f (x + T ) = f (x + T + a) = f (x + a) = τa f (x) ,
donc T appartient à G(τa f ).
Réciproquement, si T appartient à G(τa f ), elle appartient à G(τ−a (τa f )) = G(f ), d’où l’égalité.
Proposition 6 Si f est périodique, et si λ est un nombre non nul, la fonction fλ : x → f (x/λ)
est périodique et
G(fλ ) = λG(f ) .
De plus si T engendre G(f ), alors |λ|T engendre G(fλ ).
Si T appartient à G(f ), on a
fλ (x + λT ) = f (x/λ + T ) = f (x/λ) = fλ (x) ,
CD 5
donc λT appartient à G(fλ ), ce qui donne l’inclusion
λG(f ) ⊂ G(fλ ) .
Alors, en appliquant ce résultat à fλ et 1/λ, en remarquant que
(fλ )1/λ = f ,
on obtient
1
G(fλ ) ⊂ G(f ) ,
λ
d’où
G(fλ ) ⊂ λG(f ) ,
ce qui donne l’inclusion inverse. On a donc égalité. Si T est le générateur de G(f ), celui de λG(f ) n’est
autre que |λ| T .
Proposition 7 Quel que soit le sous-groupe additif G de R, le groupe des périodes de la fonction
indicatrice de G est le groupe G.
Si x et T sont dans G, il en est de même de x + T , et donc
1lG (x + T ) = 1lG (x) = 1 .
Si x n’est pas dans G, et si T est dans G, alors x + T n’est pas dans G, (sinon (x + T ) − T = x s’y
trouverait). Donc
1lG (x + T ) = 1lG (x) = 0 .
Il en résulte que G est inclus dans G(1lG ).
Réciproquement, si T appartient à G(1lG ), et si x est dans G, on a
1lG (x + T ) = 1lG (x) = 1
donc x + T est dans G, et T = (x + T ) − x également, d’où l’inclusion de G(1lG ) dans G. On a donc
bien égalité.
Proposition 8 Un morphisme non injectif f du groupe additif R dans lui-même est une fonction
périodique, dont le groupe des périodes est Ker f .
En effet, puisque
f (x + T ) = f (x) + f (T ) ,
l’égalité
f (x + T ) = f (x) ,
CD 6
équivaut à
f (T ) = 0 .
Donc T est une période de f si et seulement si T appartient Kerf , et comme f n’est pas injective, ce
noyau n’est pas réduit à 0.
Remarque : une application Q−linéaire de R dans lui-même, est un cas particulier de morphisme du
groupe additif R.
Proposition 9 Soit G un sous-groupe additif de R. L’ensemble A(G) des fonctions périodiques
telles que G(f ) contienne G est une sous-algèbre unitaire de l’algèbre des fonctions de R dans R.
De plus
a) Si f est dans A(G), et si h est une fonction définie sur f (R) à valeurs réelles, alors h ◦ f est dans
A(G).
b) Si f est dans A(G) et inversible, alors 1/f est dans A(G).
c) Si f est dans A(G) et dérivable, alors f ′ est dans A(G).
Si f et g sont dans A(G), et si T est un élément de G, il se trouve dans G(f ) et dans G(g), donc pour
tout x réel
f (x + T ) = f (x) et g(x + T ) = g(x) .
Il en résulte que
(λf + µg)(x + T ) = λf (x + T ) + µg(x + T )
= λf (x) + µg(x)
= (λf + µg)(x)
donc λf + µg appartient à A(G).
De même
(f g)(x + T ) = f (x + T )g(x + T ) = f (x)g(x) = (f g)(x) ,
et f g appartient à A(G).
Si f est constante, alors G(f ) = R et donc f appartient A(G), ce qui est en particulier le cas de la
fonction constante égale à 1. Il en résulte que A(G) est une algèbre unitaire. On a aussi
h ◦ f (x + T ) = h(f (x + T )) = h(f (x)) = h ◦ f (x) ,
et h ◦ f appartient à A(G). De même, si f est inversible
1
1
1
1
(x + T ) =
=
= (x) ,
f
f (x + T )
f (x)
f
donc 1/f est dans et A(G). Enfin si f est dérivable, la relation
f (x + T ) = f (x) ,
CD 7
valable pour tout nombre réel x, donne, en dérivant,
f ′ (x + T ) = f ′ (x) ,
et f ′ est dans A(G).
Lemme Soit A une partie de R dense dans R. Pour tout réel x, il existe une suite de A strictement
croissante (resp. strictement décroissante), qui converge vers x.
Remarquons tout d’abord que A n’est bornée ni supérieurement, ni inférieurement, sinon il en serait
de même de son adhérence. Il existe donc un point x0 de A strictement inférieur à x. On va construire
par récurrence une suite (xn )n≥0 telle que, pour tout n,
1) x0 < x1 < . . .< xn < x ,
n
2) |xn − x| ≤ 43 |x − x0 | .
Supposons la suite construite jusqu’au rang n. Posons
ξn =
x + xn
.
2
On a xn < ξn < x. Comme A est dense dans R, il existe xn+1 dans A, tel que
|xn+1 − ξn | ≤
x − xn
.
4
Alors, on a encore,
xn < xn+1 < x ,
et aussi
|xn+1 − x| ≤ |xn+1 − ξn | + |ξn − x|
x − xn x − xn
+
≤
4
2
3
≤
|x − xn | .
4
On en déduit immédiatement que
n+1
3
|xn+1 − x| ≤
|x − x0 | .
4
La suite construite est croissante et converge vers x.
Théorème 1 Soit f une fonction périodique admettant en au moins un point a une limite à
gauche ou à droite ℓ, alors, si G(f ) est dense dans R, la fonction f est constante.
CD 8
Supposons que ℓ soit la limite à gauche de f en a. Soit x réel, et (Tn ) une suite strictement croissante
de G(f ) qui converge vers vers a − x. On a, pour tout n,
f (x + Tn ) = f (x) .
Mais la suite (x + Tn ) converge vers a en croissant, et donc la suite (f (x + Tn )) converge vers ℓ. On en
déduit que la fonction f est constante et égale à ℓ.
Corollaire 1 Si f est une fonction périodique, continue à gauche ou à droite en un point et non
constante, son groupe des périodes est monogène.
Définition On appelle fonction doublement périodique, une fonction possédant deux périodes
T1 et T2 dont le rapport n’est pas rationnel.
Corollaire 2 Une fonction doublement périodique admettant en un point une limite à gauche
ou à droite est constante
Pour une fonction doublement périodique, le groupe des périodes est dense dans R.
Proposition 10 Soit f une fonction non constante admettant en au moins un point a une limite
à gauche ou à droite ℓ.
On suppose qu’il existe trois nombres réels T1 6= 0, T2 6= 0 et C tels que, pour tout x réel,
f (x + T1 ) = f (x) + C
et f (x + T2 ) = f (x) .
Alors, le nombre T1 /T2 est rationnel, la constante C est nulle, et G(f ) contient T1 et T2 .
Remarque : d’après le théorème précédent, G(f ) est nécessairement monogène, puisque f n’est pas
constante.
On démontre par récurrence, que, quels que soient x réel et p entier positif,
f (x + pT1 ) = f (x) + pC ,
puis,
donc
f (x) = f ((x − pT1 ) + pT1 ) = f (x − pT1 ) + pC ,
f (x − pT1 ) = f (x) − pC .
CD 9
On a donc, quel que soit x réel, et p entier relatif
f (x + pT1 ) = f (x) + pC .
Si T1 /T2 n’est pas rationnel, l’ensemble H = {pT1 + qT2 | (p, q) ∈ Z2 } est dense dans R. Si la fonction
f admet une limite à gauche en a, soit (xn ) = (pn T1 + qn T2 ) une suite strictement croissante de H qui
converge vers a − x. Alors
f (x + xn ) = f (x + pn T1 + qn T2 ) = f (x + pn T1 ) = f (x) + pn C .
Donc
pn C = f (x + xn ) − f (x) .
Mais le membre de droite converge vers une limite finie ℓ − f (x). Si C n’était pas nulle, la suite (pn )
de nombres entiers serait stationnaire, mais alors on aurait
qn =
xn − pn T1
,
T2
et la suite (qn ) aurait une limite. Elle serait donc stationnaire également. Il en résulterait que (xn )
serait stationnaire, ce qui est faux puisqu’elle est strictement croissante. Donc C est nulle, et T1 et
T2 sont dans G(f ). Alors f est bipériodique. Il résulte du corollaire 2 que f est constante, d’où une
contradiction. Donc T1 /T2 est un nombre rationnel p1 /p2 , et
p2 T1 = p1 T2 .
Alors, pour tout x réel, on a
f (x + p2 T1 ) = f (x) + p2 C ,
et aussi
f (x + p2 T1 ) = f (x + p1 T2 ) = f (x) .
On en déduit que C est nulle, et que T1 et T2 appartiennent à G(f ).
Somme de fonctions périodiques
Proposition 11 Si f1 et f2 sont des fonctions périodiques et si G(f1 ) ∩ G(f2 ) n’est pas réduit à
zéro, alors la fonction f1 + f2 est périodique.
En effet, si T est un nombre non nul de G(f1 ) ∩ G(f2 ), on à la fois
f1 (x + T ) = f (x) et f2 (x + T ) = f (x) ,
donc
(f1 + f2 )(x + T ) = f1 (x + T ) + f2 (x + T ) = f1 (x) + f2 (x) = (f1 + f2 )(x) .
CD 10
Théorème 2 Soit f1 et f2 deux fonctions périodiques telles que
G(f1 ) = T1 Z ,
G(f2 ) = T2 Z et G(f1 + f2 ) = T Z ,
avec T1 /T2 , T /T1 et T /T2 rationnels.
En écrivant T1 /T2 = p1 /p2 où p1 et p2 sont des entiers premiers entre eux, et
p1 T /T1 = p2 T /T2 = p/q ,
avec p et q premiers entre eux, on a
p = p1 p2 ,
et q est premier avec p1 et p2 . De plus,
G(f1 ) ∩ G(f2 ) = G(f1 + f2 ) ∩ G(f1 ) = G(f1 + f2 ) ∩ G(f2 ) = T0 Z
où
T0 = p1 T2 = p2 T1 = qT .
On commence par changer de fonctions pour avoir des périodes entières : en posant
Ti x
φi (x) = fi
,
qpi
la fonction φi a comme période qpi d’après la proposition 6. Mais on a alors
Ti x
Tx
(φ1 + φ2 )(x) = (f1 + f2 )
= (f1 + f2 )
,
qpi
p
et cette fonction est de période p.
Il résulte alors des propriétés des intersections de sous-groupes de R, que G(φ1 ) ∩ G(φ2 ) a pour générateur
qp1 p2 = PPCM(qp1 , qp2 ) .
et, comme cette intersection est incluse dans G(φ1 + φ2 ), dont le générateur est p, il en résulte que
p divise qp1 p2 . Comme de plus les nombres p et q sont premiers entre eux, il en résulte que p divise p1 p2 .
On a, pour tout x réel,
(φ1 + φ2 )(x + p) = (φ1 + φ2 )(x) .
On en déduit que
φ1 (x + p) − φ1 (x) = φ2 (x) − φ2 (x + p) ,
et en notant φ(x) cette expression, on obtient une fonction φ, qui est à la fois de période qp1 et qp2 .
Donc G(φ) contient la somme qp1 Z + qp2 Z, et, comme p1 et p2 sont premiers entre eux, il résulte des
propriétés des sommes de sous-groupes de R, que
qp1 Z + qp2 Z = q Z .
CD 11
Alors, la fonction φ est de période q, et, pour tout x réel, on a
φ(x + q) = φ(x) .
Il en résulte que
φi (x + p + q) − φi (x + q) = φi (x + p) − φi (x) ,
soit
φi (x + p + q) + φi (x) − φi (x + p) − φi (x + q) = 0 .
En posant
un = φi (x + n) ,
on obtient, pour tout entier n,
un+p+q + un − un+p − un+q = 0 ,
et en particulier, en prenant n = kp + jq, avec k et j entiers, on a
u(k+1)p+(j+1)q + ukp+jq − u(k+1)p+jq − ukp+(j+1)q = 0 .
La somme suivante est donc nulle :
Σk =
p−1
X
(ukp+jq + u(k+1)p+(j+1)q − u(k+1)p+jq − ukp+(j+1)q ) .
j=0
En développant Σk , on trouve
Σk =
=
j=0
p−1
X
u(k+1)p+(j+1)q −
p−1
X
p
X
p−1
X
p−1
X
ukp+jq +
j=0
ukp+jq +
j=1
j=0
u(k+1)p+jq −
j=0
p−1
X
j=0
u(k+1)p+jq −
u(k+1)p+jq −
p
X
p−1
X
ukp+(j+1)q
j=0
ukp+jq
j=1
= ukp − ukp+pq + u(k+1)p+pq − u(k+1)p .
Alors en sommant de nouveau
q−1
X
Σk =
k=0
=
q−1
X
k=0
q−1
X
k=0
ukp −
ukp −
q−1
X
k=0
q−1
X
ukp+pq +
ukp+pq +
k=0
q−1
X
k=0
q
X
k=1
u(k+1)p+pq −
q−1
X
q
X
ukp
ukp+pq −
k=1
= u2pq − 2upq + u0 ,
et cette somme est toujours nulle. On obtient donc la relation
φi (x + 2pq) + φi (x) − 2φi (x + pq) = 0 .
k=0
u(k+1)p
CD 12
c’est-à-dire
φi (x + 2pq) − φi (x + pq) = φi (x + pq) − φi (x) .
Alors, pour tout entier k
φi (x + kpq) − φi (x + (k − 1)pq) = φi (x + (k − 2)pq + 2pq) − φi (x + (k − 2)pq + pq)
= φi (x + (k − 2)pq + pq) − φi (x + (k − 2)pq)
= φi (x + (k − 1)pq) − φi (x + (k − 2)pq) ,
et la suite (φi (x + kpq) − φi(x + (k − 1)pq))k≥1 est constante. Maintenant, en sommant, pour k variant
de 1 à m, les relations
φi (x + kpq) − φi (x + (k − 1)pq) = φi (x + pq) − φi (x) ,
on obtient
φi (x + mpq) − φi (x) = m(φi (x + pq) − φi (x)) .
Comme φi est de période qpi , en appliquant la relation précédente avec m = rpi , on en tire
0 = m(φi (x + pq) − φi (x)) ,
d’où l’on déduit
φi (x + pq) = φi (x) .
La fonction φi admet donc pq comme période, et il en résulte que qpi divise pq, et donc que pi divise
p. Alors, comme p1 et p2 sont premiers entre eux, le produit p1 p2 divise p, et finalement on obtient
l’égalité p1 p2 = p . Enfin, comme q est premier avec p, il est premier avec p1 et p2 . Alors les égalités
p1 p2
p2 T
p
p1 T
=
= =
T1
T2
q
q
impliquent que
qT = p2 T1 = p1 T2 .
En notant T0 ce nombre, il résulte de la proposition 1 que T0 est le générateur des trois groupes
G(f1 ) ∩ G(f2 ) ,
G(f1 + f2 ) ∩ G(f1 ) et G(f1 + f2 ) ∩ G(f2 ) ,
qui sont donc tous égaux à T0 Z.
Quelques remarques sur la somme de fonctions périodiques
Il faut remarquer que l’on n’a pas nécessairement
G(f1 + f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) .
Exemple 1 :
Soit f1 et f2 définies par
f1 (x) = max(sin x, 0)
et f2 (x) = − min(sin x, 0) .
CD 13
Ces fonctions sont telles que
G(f1 ) = G(f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) = 2π Z .
Par contre
f1 (x) + f2 (x) = | sin x| ,
et
G(f1 + f2 ) = π Z .
Exemple 2 :
on peut trouver des fonctions f1 et f2 telles que
G(f1 ) = 10 Z , G(f2 ) = 6 Z
et G(f1 + f2 ) = 15 Z ,
ce qui correspond au cas où p1 = 5, p2 = 3 et q = 2. Cherchons pour cela des fonctions constantes sur
les intervalles [n, n + 1[ où n est entier.
Posons f1 (x) = an et f2 (x) = bn dans [n, n + 1[,
15 relations :
a1 + b1
a2 + b2
a3 + b3
a4 + b4
a5 + b5
a6 + b6
a7 + b1
a8 + b2
a9 + b3
a10 + b4
a1 + b5
a2 + b6
a3 + b1
a4 + b2
a5 + b3
et exprimons que f1 + f2 est de période 15. On a les
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
a6
a7
a8
a9
a10
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
b4
b5
b6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
On transforme facilement ce système (par un pivot par exemple) en le système suivant
a1
a2
a3
a4
a5
b1
b2
Une solution de ce système est :
=
=
=
=
=
=
= −
a6
a7
a8
a9
a10
b3
b3
−
+
−
+
−
+
+
b3
b3
b3
b3
b3
b4
b5
+
−
+
−
+
−
+
b6
b6
b6
b6
b6
b6
b6
CD 14
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
= −1
=
2
= −2
=
1
=
0
=
0
=
1
= −1
=
0
=
1
et
b1
b2
b3
b4
b5
b6
=
=
=
=
=
=
2
0
1
1
1
0
a6
a7
a8
a9
a10
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
On a alors
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a1
a2
a3
a4
a5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b1
b2
b3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
b4
b5
b6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
=
1
=
2
= −1
=
2
=
1
=
0
=
3
= −1
=
1
=
2
=
0
=
2
=
0
=
1
=
1
Il ne faut pas croire non plus que la condition G(f1 ) ∩ G(f2 ) 6= {0} soit nécessaire pour que f1 + f2
soit périodique, même si les trois groupes sont monogènes, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 3 :
on considère R comme espace vectoriel sur Q. Soit H un supplémentaire de Q +
φ une fonction 1−périodique et bornée.
√
2 Q dans R, et soit
CD 15
√
Si x se décompose sous la forme a + b 2 + h, avec a et b dans Q, et h dans H, on pose
√
f1 (x) = a + φ(b) 2 + h ,
et
√
f2 (x) = −b − φ(a) 2 + h ,
donc
√
(f1 + f2 )(x) = (a − b) + (φ(b) − φ(a)) 2 + 2h .
√
√
Pour une période T , notons T = α + β 2 + ξ sa décomposition dans Q + 2 Q + H. On aura donc
√
x + T = (a + α) + (b + β) 2 + (h + ξ) .
a) Détermination de G(f1 ).
Soit T une période de f1 . On a
√
f1 (x + T ) = (a + α) + φ(b + β) 2 + (h + ξ) ,
et l’égalité f1 (x + T ) = f1 (x), équivaut au système

= a
 a+α
φ(b + β) = φ(b) .

h+ξ
= h
Donc T est une période de f1 si et seulement si α = ξ = 0, et β est une période de φ. On a donc
√
G(f1 ) = 2 Z .
b) Détermination de G(f2 ).
Soit T est une période de f2 On a
√
f2 (x + T ) = −(b + β) − φ(a + α) 2 + (h + ξ) ,
et l’égalité f2 (x + T ) = f2 (x), équivaut au système

= b
 b+β
φ(a + α) = φ(a) .

h+ξ
= h
Donc T est une période de f2 si et seulement si β = ξ = 0, et α est une période de φ. On a donc
G(f2 ) = Z .
c) Détermination de G(f1 + f2 ).
Soit T est une période de f1 + f2 . On a
√
(f1 + f2 )(x + T ) = (a + α − (b + β)) + (φ(b + β) − φ(a + α)) 2 + 2(h + ξ) ,
CD 16
et l’égalité (f1 + f2 )(x + T ) = (f1 + f2 )(x), équivaut au système

= a−b
 a + α − (b + β)
φ(b + β) − φ(a + α) = φ(b) − φ(a) .

h+ξ
= h
Donc T est une période de f1 + f2 si et seulement si α = β, ξ = 0, et, quels que soient a et b rationnels,
φ(a + α) − φ(a) = φ(b + β) − φ(b) .
On a alors
φ(a + α) − φ(a) = φ(b + α) − φ(b) ,
et la fonction a → φ(a + α) − φ(a) est constante sur Q. Si l’on note C cette constante, il en résulte par
récurrence que, quels que soient a rationnel, et n entier
φ(a + nα) = φ(a) + nC .
Comme le membre de gauche est borné lorsque a est fixé et lorsque n varie, alors nécessairement C est
nulle. Donc, quel que soit a
φ(a + α) = φ(a) ,
et α est une période de φ. Il en résulte que
T = α(1 +
√
2) ,
avec α entier, et l’on vérifie facilement que ces nombres sont bien des périodes de f1 + f2 . Il en résulte
que
√
G(f1 + f2 ) = (1 + 2) Z .
√
Les trois groupes sont donc monogènes, et comme 2 est irrationnel, G(f1 ) ∩ G(f2 ) est réduit à zéro.
On a cependant le résultat suivant.
Théorème 3 Soit f1 et f2 deux fonctions périodiques. On suppose qu’une des deux fonctions a
une limite à gauche en tout point, ou une limite à droite en tout point. Alors f1 + f2 est périodique
si et seulement si G(f1 ) ∩ G(f2 ) 6= {0}, et dans ce cas
G(f1 + f2 ) ⊃ G(f1 ) ∩ G(f2 ) .
On a égalité dans l’inclusion précédente dès que l’un des groupes G(fi ) n’est pas monogène .
On sait déjà que si G(f1 ) ∩ G(f2 ) 6= {0} alors f1 + f2 est périodique, et que l’on a toujours l’inclusion
G(f1 + f2 ) ⊃ G(f1 ) ∩ G(f2 ) .
CD 17
Réciproquement, supposons que f1 + f2 soit périodique. Notons fi la fonction qui a, soit une limite à
gauche en tout point, soit une limite à droite en tout point, et montrons tout d’abord que si le groupe
G(f1 ) + G(f2 ) est dense dans R, alors
G(f1 + f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) .
Pour cela, prenons T dans G(f1 + f2 ). On a donc pour tout x réel
(f1 + f2 )(x + T ) = (f1 + f2 )(x) ,
c’est-à-dire
f1 (x + T ) − f1 (x) = f2 (x) − f2 (x + T ) .
Notons φ(x) le nombre ci-dessus. La fonction φ ainsi définie possède, soit une limite à gauche en tout
point, soit une limite à droite en tout point, puisqu’il en est ainsi de fi . Par ailleurs, toute période
de f1 et toute période de f2 est période de φ. Alors G(φ) contient G(f1 ) et G(f2 ), donc la somme
G(f1 ) + G(f2 ). Mais cette somme étant dense dans R, il en est de même de G(φ), et, d’après le
théorème 1, la fonction φ est constante. Il existe donc une constante C telle que, pour tout x réel, on
ait φ(x) = C. Soit Ti une période de fi . On a donc, pour tout x réel
fi (x + T ) = fi (x) + C
.
fi (x + Ti ) = fi (x)
Mais il résulte de la proposition 10 que C = 0, et φ est identiquement nulle. Ceci implique que, pour
tout x réel,
f1 (x + T ) = f1 (x)
,
f2 (x + T ) = f2 (x)
et T appartient à G(f1 ) ∩ G(f2 ). On a obtenu l’inclusion
G(f1 + f2 ) ⊂ G(f1 ) ∩ G(f2 ) ,
ce qui, avec l’inclusion inverse, donne l’égalité.
Il y a alors deux cas possibles :
1) Un des groupes G(f1 ) ou G(f2 ) est dense dans R. Alors G(f1 ) + G(f2 ) l’est aussi, et il résulte de ce
qui précède que
G(f1 + f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) .
Donc, puisque f1 + f2 est périodique, le groupe G(f1 ) ∩ G(f2 ) n’est pas réduit à zéro.
2) Les deux groupes G(f1 ) et G(f2 ) sont monogènes. Alors si G(f1 )∩G(f2 ) était réduit à zéro, il résulte
des propriétés des sous-groupes de R que G(f1 ) + G(f2 ) serait dense dans R, et donc que
G(f1 + f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) = {0} ,
et la fonction f1 + f2 ne serait pas périodique, d’où une contradiction.
CD 18
Remarque : ce théorème est intéressant dans deux cas :
1) Lorsque G(f1 ) est dense et que f2 possède la propriété de continuité mais n’est pas constante, alors
G(f1 + f2 ) = G(f1 ) ∩ G(f2 ) ,
et, si ce groupe n’est pas réduit à zéro, il est monogène puisque G(f2 ) est alors monogène.
2) Lorsque G(f1 ) et G(f2 ) sont monogènes et qu’une des deux fonctions f1 ou f2 a la propriété de
continuité, la fonction f1 + f2 est périodique si et seulement si G(f1 ) ∩ G(f2 ) n’est pas réduit à zéro.
L’exemple ci-dessus montre que la propriété de continuité ne peut être omise.
Primitive d’une fonction périodique
Proposition 12 Soit n un nombre entier positif et f une fonction vérifiant pour tout x réel
f (x + T ) = f (x) + Pn (x) ,
où T est non nul, et Pn un polynôme de degré n.
Alors f se décompose de manière unique sous la forme
f = g + Qn ,
où g est T −périodique, et Qn est un polynôme de degré n + 1 nul en zéro.
Montrons par récurrence l’existence de la décomposition. On initialise à n = −1 en posant P−1 = 0.
La propriété est vraie pour n = −1, en prenant g = f et Qn = 0.
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre n − 1 où n ≥ 0. Soit alors f vérifiant la relation,
f (x + T ) = f (x) + Pn (x) .
Notons αxn le terme de plus haut degré de Pn , et posons
γ(x) = f (x) − λxn+1 .
On a alors
γ(x + T ) = f (x + T ) − λ(x + T )n+1
= f (x) + Pn (x) − λ(x + T )n+1
= f (x) + αxn − λ(xn+1 + (n + 1)T xn ) + Pn−1 (x) ,
où Pn−1 est un polynôme de degré inférieur à n − 1. Alors, en choisissant
λ=
α
,
(n + 1)T
CD 19
on obtient
γ(x + T ) = γ(x) + Pn−1 (x) .
En utilisant l’hypothèse de récurrence, il existe un polynôme Qn−1 nul en zéro et de degré au plus n,
et une fonction T −périodique g tels que
γ = g + Qn−1 .
On en déduit
f (x) = g(x) + λxn+1 + Qn−1 (x) ,
et, en posant
Qn (x) = λxn+1 + Qn−1 (x) ,
on obtient bien un polynôme de degré n + 1 nul en zéro. La propriété est vraie à l’ordre n, donc pour
tout entier n.
Si l’on a deux décompositions
f = g + Q n = h + Rn ,
où g et h sont périodiques et Qn et Rn des polynômes de degré n + 1, on en tire
g − h = Rn − Q n .
En particulier, pour tout entier p, on a
g(0) − h(0) = g(pT ) − h(pT ) = Rn (pT ) − Qn (pT ) ,
La suite ainsi définie est donc constante. Mais alors le polynôme Rn (x) − Qn (x) − g(0) + h(0) possède
une infinité de racines. Il est donc nul, et le polynôme Rn − Qn est constant. Mais comme ce dernier
polynôme s’annule en zéro, c’est le polynôme nul, et on en déduit que Rn = Qn et g = h, d’où l’unicité
de la décomposition.
Proposition 13 Soit Pn (T ) l’ensemble des fonctions définies sur R, telles que la fonction qui à x
associe f (x+T )−f (x) soit une fonction polynomiale de degré au plus n. Alors on a la décomposition
en somme directe
Pn (T ) = A(T Z) ⊕ xRn [x] .
La proposition précédente montre l’inclusion
Pn (T ) ⊂ A(T Z) + xRn [x] .
Réciproquement, si l’on a
f = g + Qn
où g est T −périodique et Qn est un polynôme nul en zéro de degré au plus n + 1, alors
f (x + T ) − f (x) = Qn (x + T ) − Qn (x)
CD 20
est un polynôme de degré au plus n, ce qui donne l’inclusion
Pn (T ) ⊃ A(T Z) + xRn [x] .
Par ailleurs, les seuls polynômes périodiques sont les constantes. Il en résulte que
A(T Z) ∩ xRn [x] = {0} ,
et l’on a bien une somme directe.
Corollaire 3 La somme d’un polynôme Pn de degré n + 1 et d’une fonction T −périodique g
appartient à Pn (T ).
On écrit
g + Pn = (g + Pn (0)) + (Pn − Pn (0)) .
La fonction g + Pn (0) est T −périodique, et le polynôme Pn − Pn (0) est de degré n + 1 et nul en zéro.
Donc g + Pn appartient à A(T Z) ∩ xRn [x] c’est-à-dire à Pn (T ).
Proposition 14 Si f est une fonction continue appartenant à Pn (T ), alors toute primitive de f
appartient à Pn+1 (T ).
Soit f dans Pn (T ), et soit F une primitive de f . On a donc
F (x) =
Zx
f (t) dt + F (0) .
0
Par ailleurs
f (x + T ) − f (x) = Pn (x) ,
où Pn est un polynôme de degré n. Alors
F (x + T ) =
x+T
Z
f (t) dt + F (0)
0
=
ZT
0
f (t) dt +
x+T
Z
T
f (t) dt + F (0) ,
CD 21
et, en effectuant le changement de variable u = t − T ,
F (x + T ) =
ZT
=
ZT
f (t) dt +
Zx
f (t) dt +
Zx
0
f (u + T ) du + F (0)
0
0
= F (x) +
f (u) du +
0
Zx
Zx
Pn (u) du + F (0)
0
Pn (u) du +
0
ZT
f (t) dt .
ZT
f (t) dt ,
0
Si l’on pose
Pn+1 (x) =
Zx
Pn (u) du +
0
0
on obtient un polynôme de degré au plus n + 1, ce qui signifie que la fonction F appartient à Pn+1 (T ).
Proposition 15 Si f est T −périodique et continue, une primitive F de f est T −périodique si et
seulement si
ZT
f (t) dt = 0 .
0
En effet, en reprenant le calcul précédent avec Pn = 0, on obtient
F (x + T ) = F (x) +
ZT
f (t) dt ,
0
et le résultat est immédiat.
Fonctions périodiques dérivables
Théorème 4 Soit f une fonction continûment dérivable et périodique sur R. Alors G(f ) = G(f ′ ).
a) Si f ′ est constante, alors f est linéaire. Elle est donc périodique si et seulement si elle est elle même
constante. Donc
G(f ) = G(f ′ ) = R .
b) Si f ′ n’est pas constante, alors f ne l’est pas non plus. Comme les deux fonctions sont continues,
on a
G(f ) = T Z et G(f ′ ) = T ′ Z .
CD 22
Mais, puisque, pour tout x,
f (x + T ) = f (x) ,
on obtient en dérivant
f ′ (x + T ) = f ′ (x) .
Donc T appartient à G(f ′ ), et il existe n entier strictement positif, tel que T = nT ′ .
Par ailleurs
0 = f (T ) − f (0) =
Donc
f (T ′ )
ZT
′
f (t)dt = n
0
ZT ′
0
f ′ (t)dt = n(f (T ′ ) − f (0)) .
= f (0).
Mais la relation f ′ (x + T ′ ) = f ′ (x) implique que
f (x + T ′ ) = f (x) + C .
On en déduit que
C = f (T ′ ) − f (0) = 0 .
Donc T ′ appartient à G(f ), D’où l’égalité des deux groupes.
Fonctions presque-périodiques
Définition Nous dirons qu’une fonction f est presque-périodique, lorsque, pour tout x réel, il
existe un nombre Tx strictement positif, tel que, pour tout entier relatif n,
(1)
f (x + nTx ) = f (x) .
Une telle fonction est-elle nécessairement périodique ?
La réponse est non sans autre hypothèse sur f comme le montre l’exemple suivant.
Soit H un supplémentaire de Q dans R contenant π. Si un réel x se décompose sous la forme x = q + h,
où q est dans Q et h dans H, on pose
f (x) = sin(qh) .
La fonction f est nulle sur Q ∪ H.
Soit q = a/b avec a et b premiers entre eux, et b > 0. Posons
Tx = 2bπ .
CD 23
Alors, si n est entier, le nombre h + nTx appartient à H, et l’on a
f (x + nTx ) = f (q + h + 2bnπ)
= sin(q(h + 2bnπ))
= sin(qh + 2bnqπ)
= sin(qh)
= f (x) .
Donc f vérifie la condition voulue.
Soit T un nombre réel vérifiant, pour tout x réel,
f (x + T ) = f (x) .
On décompose la période sous la forme T = q0 + h0 , avec q0 dans Q et h0 dans H. Prenons x = 1/n
où n est un entier strictement positif, le nombre f (x) est nul, et l’on a
x+T =
1
+ q0 + h0 ,
n
donc,
f (x + T ) = sin
1
+ q0 h0 .
n
L’égalité
f (x + T ) = f (x) ,
se traduit par
sin
Il existe donc un entier rn tel que
1
+ q0 h0 = 0 .
n
1
+ q0 h0 = rn π .
n
Lorsque n tend vers l’infini, la suite (rn ) est une suite d’entiers qui a une limite finie q0 h0 /π. Elle est
donc stationnaire, et, à partir d’un certain rang,
rn =
Alors
q0 h0
.
π
1
q0 h0
+ q0 h0 =
π.
n
π
Il en résulte que h0 est nul et T = q0 . Alors, si l’on prend x = π/n dans H,
π
q0 π
+ q0 = sin
,
f
n
n
et l’égalité
f (x + T ) = f (x) ,
CD 24
se traduit par
sin
q0 π
= 0.
n
Par suite, il existe un entier sn tel que
q0 π
= sn π .
n
On en déduit que q0 = nsn . Le nombre q0 est divisible par tout entier n. Il est nécessairement nul et
T est nulle. Donc G(f ) est réduit à zéro et f n’est pas périodique.
Proposition 16 Une fonction f vérifiant pour tout x réel la relation
(2)
f (x + f (x)) = f (x)
est presque-périodique.
Soit f vérifiant la relation (2). L’égalité
y = x + f (x) ,
est équivalente à
x = y − f (x)
et puisque
f (x) = f (y)
elle est encore équivalente à
x = y − f (y) .
Donc, pour tout y réel, l’équation
y = x + f (x)
possède une solution unique, et l’on a encore, pour tout y réel, la relation
f (y − f (y)) = f (y) .
On montre alors par récurrence, que, pour tout entier n, et pour tout réel x, on a
f (x + εnf (x)) = f (x) ,
où ε désigne 1 ou −1. C’est vrai à l’ordre 1. Si l’on suppose la propriété vraie à l’ordre n, alors
f (x + ε(n + 1)f (x)) = f (x + εf (x) + nεf (x))
= f (x + εf (x) + nεf (x + εx)) .
Mais, en utilisant l’hypothèse de récurrence, on obtient
f (x + εf (x) + nεf (x + εx)) = f (x + εf (x)) = f (x) ,
CD 25
donc
f (x + ε(n + 1)f (x)) = f (x) ,
ce qui donne la relation à l’ordre n + 1.
Proposition 17 Soit f une fonction presque-périodique et continue. Notons
τ (x) = inf{T > 0 | (∀n ∈ Z)(f (x + nT ) = f (x))} .
Alors, pour tout x réel et tout entier relatif n, on a
f (x + nτ (x)) = f (x) .
De plus, si τ s’annule en un point, la fonction f est constante. Dans le cas contraire
τ (x + τ x) ≤ τ (x) .
Notons
E (x) = {T > 0 | (∀n ∈ Z)(f (x + nT ) = f (x))} .
Soit une suite (Tp ) de E (x) qui converge vers τ (x). Alors
f (x + nTp ) = f (x) ,
donc, par passage à la limite, lorsque p tend vers l’infini, et puisque f est continue,
f (x + nτ (x)) = f (x) .
Si τ (a) est nul, il existe une suite (Tp ) de E (a) qui converge vers 0, avec, pour tout entier n, l’égalité
f (a + nTp ) = f (a) .
Soit y réel. Posons
np = E
y−a
Tp
.
On a donc
np Tp ≤ y − a ≤ (np + 1)Tp ,
d’où
|y − a − np Tp | ≤ Tp .
Il en résulte que la suite (np Tp + a) converge vers y, et par continuité, la suite (f (np Tp + a)) converge
vers f (y). Mais comme cette suite est constante, on en déduit que
f (a) = f (y) ,
CD 26
et la fonction f est constante.
Lorsque f n’est pas constante, pour tout réel x, on a donc τ (x) > 0. Alors
f ((x + τ (x)) + nτ (x)) = f (x + (n + 1)τ (x)) = f (x) = f (x + τ (x)) .
Donc τ (x) appartient à E (x + τ (x)) et il en résulte que
τ (x + τ (x)) ≤ τ (x) .
Proposition 18 Soit f une fonction presque-périodique et uniformément continue. Soit T dans
E (x) et S dans E (y). Si S/T n’est pas rationnel, alors f (x) = f (y).
Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que |u − v| < η implique
|f (u) − f (v)| < ε .
Comme T /S n’est pas rationnel, le groupe engendré par S et T est dense dans R. Il existe deux entiers
n et p tels que
|(x − y) − (nT + pS)| < η .
Posons alors
u = x − nT
et v = y + pS .
On a
|u − v| = |x − y − (nT + pS)| < η ,
donc
|f (x) − f (y)| = |f (x − nT ) − f (y + pS)| < ε .
On en déduit que f (x) − f (y) est nul.