cd - IECL

CD - FONCTIONS PERIODIQUES
Préliminaires : sous-groupes additifs de R(Voir AK).
On sait qu’un sous-groupe additif de Rnon réduit à zéro, est, soit dense dans R, soit monogène,
c’est-à-dire de la forme TZavec Tréel strictement positif, (dans ce cas nous appellerons Tle généra-
teur de G). En particulier, un sous-groupe non réduit à zéro d’un groupe monogène est monogène, et
un sous-groupe contenant un sous-groupe dense est dense. Nous aurons besoin des propriétés suivantes :
Proposition 1 Soit G1=T1Zet G2=T2Zdeux sous-groupes monogènes de R. Les propriétés
suivantes sont équivalentes
i) T1/T2est rationnel
ii) G1∩G26={0}
iii) G1+G2est monogène
et l’on peut caractériser les générateurs de la manière suivante :
si l’on a T1/T2=p1/p2avec p1et p2entiers premiers entre eux, alors
G1∩G2=TZ,avec T=p2T1=p1T2,
G1+G2=T′Z,avec T′=T1
p1
=T2
p2
.
En particulier, si T1et T2sont entiers, T=PPCM(T1, T2), et T′=PGCD(T1, T2).
1) Equivalence de i) et ii)
Supposons que le nombre T1/T2soit rationnel. On a donc
T1/T2=p1/p2,
avec p1et p2premiers entre eux. Alors p2T1=p1T2et ce nombre, que nous noterons T, appartient à
la fois à G1et à G2donc à G1∩G2qui, par suite, contient TZet n’est donc pas réduit à 0.
Réciproquement, si l’intersection n’est pas réduite à 0, soit xun de ses éléments non nul. Il appartient
àGidonc s’écrit aiTiavec aientier. Alors l’égalité
a1T1=a2T2
implique que le nombre
T1/T2=a2/a1
est rationnel.

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Par ailleurs, on a à la fois,
T1/T2=a2/a1et T1/T2=p1/p2
donc
a2/a1=p1/p2,
et, comme p1et p2sont premiers entre eux, il existe un entier ktel que
a2=kp1et a1=kp2.
Alors
x=a1T1=kp2T1=kT .
Il en résulte que G1∩G2est inclus dans TZ. On a donc en fait égalité, et Test le générateur de G1∩G2.
Lorsque T1et T2sont entiers, T1=δp1et T2=δp2, où δest le PGCD de T1et de T2. Alors
T=p1T2=δp1p2=PPCM(T1, T2).
2) Equivalence de i) et iii)
Supposons de nouveau que le nombre T1/T2soit rationnel. Alors,
T1
p1
=T2
p2
.
Notons ce nombre T′. Si xappartient à G1+G2, on a alors
x=a1T1+a2T2=a1p1T′+a2p2T′= (a1p1+a2p2)T′,
ce qui montre que xappartient T′Zqui contient donc G1+G2. Il en résulte que ce groupe est monogène.
Réciproquement, si le groupe G1+G2est monogène, et si l’on note T0son générateur, comme le groupe
contient, T1et T2, il existe un entier bitel que Ti=biT0, et donc le nombre
T1/T2=b1/b2
est rationnel.
En utilisant le théorème de Bézout, il existe deux entiers r1et r2tels que
r1p1+r2p2= 1 .
On en déduit que
T′=r1p1T′+r2p2T′=r1T1+r2T2
ce qui montre que T′appartient à G1+G2, qui contient donc T′Z. On a donc en fait égalité, et T′est
le générateur de G1+G2.

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Lorsque T1et T2sont entiers,
T′=T1
p1
=δ=PGCD(T1, T2).
Proposition 2 Soit Gun sous-groupe additif de R, et λun réel non nul. Alors l’ensemble
λG ={λx |x∈G}est un sous-groupe de même nature que G, et si Ga pour générateur T, le
sous-groupe λG a pour générateur |λ|T.
L’application x→λx est clairement un morphisme bijectif de groupe. L’image de Gest λG.
Fonctions périodiques
Si fest une fonction définie sur R, à valeurs réelles, on note G(f)l’ensemble des réels T, tels que, pour
tout xréel
f(x+T) = f(x).
Proposition 3 L’ensemble G(f)est un sous-groupe additif de R.
Si T1et T2sont dans G(f), on a, pour tout xréel,
f(x+T1+T2) = f((x+T1) + T2) = f(x+T1) = f(x),
donc T1+T2appartient à G(f).
Par ailleurs, si T1appartient à G(f)on a
f(x) = f((x−T1) + T1) = f(x−T1),
donc −T1appartient à G(f)qui est bien un sous groupe additif de R.
Définition On dira qu’une fonction fest périodique, si G(f)n’est pas réduit à 0. Un élément
Tnon nul de G(f)est une période de f, et l’on dira que fest périodique de période Tou encore
qu’elle est T−périodique. L’ensemble G(f)est alors appelé groupe des périodes de f.
Pour une fonction périodique f, on a donc deux possibilités : ou bien G(f)est dense dans R, ou bien
il est monogène et engendré par son plus petit élément strictement positif.

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Définition Lorsque le groupe G(f)est monogène, si Test la plus petite période strictement
positive de G(f), on aura
G(f) = TZ,
et on dira que Test la période de f.
Proposition 4 Le groupe G(f)est égal à Rsi et seulement si la fonction fest constante.
Si fest constante, on a, quels que soient xet T,
f(x+T) = f(x).
Donc tout nombre réel appartient à G(f).
Réciproquement, si G(f) = R, soit xet ydes réels distincts. Le nombre y−xest une période de f
donc, quels que soient xet y,
f(x) = f(x+ (y−x)) = f(y)
et la fonction fest constante.
Proposition 5 Si fest périodique, ses translatées τaf:x→f(x+a)sont périodiques et
G(τaf) = G(f).
Quel que soit xréel, si fest périodique et Tappartient à G(f),
τaf(x+T) = f(x+T+a) = f(x+a) = τaf(x),
donc Tappartient à G(τaf).
Réciproquement, si Tappartient à G(τaf), elle appartient à G(τ−a(τaf)) = G(f), d’où l’égalité.
Proposition 6 Si fest périodique, et si λest un nombre non nul, la fonction fλ:x→f(x/λ)
est périodique et
G(fλ) = λG(f).
De plus si Tengendre G(f), alors |λ|Tengendre G(fλ).
Si Tappartient à G(f), on a
fλ(x+λT ) = f(x/λ +T) = f(x/λ) = fλ(x),

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donc λT appartient à G(fλ), ce qui donne l’inclusion
λG(f)⊂G(fλ).
Alors, en appliquant ce résultat à fλet 1/λ, en remarquant que
(fλ)1/λ =f ,
on obtient 1
λG(fλ)⊂G(f),
d’où
G(fλ)⊂λG(f),
ce qui donne l’inclusion inverse. On a donc égalité. Si Test le générateur de G(f), celui de λG(f)n’est
autre que |λ|T.
Proposition 7 Quel que soit le sous-groupe additif Gde R, le groupe des périodes de la fonction
indicatrice de Gest le groupe G.
Si xet Tsont dans G, il en est de même de x+T, et donc
1lG(x+T) = 1lG(x) = 1 .
Si xn’est pas dans G, et si Test dans G, alors x+Tn’est pas dans G, (sinon (x+T)−T=xs’y
trouverait). Donc
1lG(x+T) = 1lG(x) = 0 .
Il en résulte que Gest inclus dans G(1lG).
Réciproquement, si Tappartient à G(1lG), et si xest dans G, on a
1lG(x+T) = 1lG(x) = 1
donc x+Test dans G, et T= (x+T)−xégalement, d’où l’inclusion de G(1lG)dans G. On a donc
bien égalité.
Proposition 8 Un morphisme non injectif fdu groupe additif Rdans lui-même est une fonction
périodique, dont le groupe des périodes est Ker f.
En effet, puisque
f(x+T) = f(x) + f(T),
l’égalité
f(x+T) = f(x),