T ),T - Le Repaire des Sciences

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Satellites et planètes
Au fil de ce TP, nous nous intéressons au mouvement des satellites autour de leur attracteur, qu’il
s’agisse des planètes autour du Soleil ou des satellites artificiels autour de la Terre.
Nous allons essayer de préciser les caractéristiques de ce mouvement.
1 – Les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme
1.1 – Etude mécanique théorique
On considère le mouvement d’une planète autour du Soleil. Les interactions entre les planètes seront
négligées. Définir successivement
le système d’étude
le référentiel choisi
les forces s’exerçant sur le système
En ayant justifié que cela était possible, appliquer la 2ème loi de Newton au système. En déduire
l’expression de l’accélération a subie par la planète.
1.2 – Application au cas de quelques planètes du système solaire : expression de l’accélération
Ouvrir le fichier planetes.ods à l’aide du tableur Open Office Calc. On considère dans cette partie la
feuille « accélération ».
Les données orbitales des planètes sont des valeurs moyennes ; on supposera que le mouvement des astres
est circulaire et uniforme.
1. Compléter la colonne a(m/s²) donnant la valeur de l’accélération subie par la planète.
2. Tracer l’accélération a en fonction de la vitesse moyenne v et conjecturer une relation simple entre
les deux grandeurs en introduisant un coefficient de proportionnalité k.
3. Le coefficient k dépend vraisemblablement du rayon orbital moyen r: précisez cette dépendance
et proposez une expression simple de k en fonction de r. Vérifiez votre proposition dans le tableur.
4. Conclure sur l’expression de a en fonction de v et de r.
Remarque : accélération dans le repère de Frénet
Dans le cadre d’un mouvement circulaire, on utilise fréquemment un repère de
travail tournant appelé repère de Frénet
;
T N
u u
où les vecteurs unitaires
T
u
et
N
u
sont respectivement tangent et normal à la trajectoire ; les deux vecteurs sont
orthogonaux et l’angle
,
T N
u u
est dans sens direct. Dans ce repère, dans le cas
d’un mouvement circulaire, on montre que la vitesse peut s’écrire
T
v r u
et
que l’accélération se met sous la forme
2
T N
dv v
a u u
dt r
.
5. Conclure sur la nature uniforme du mouvement circulaire des planètes.
Remarque : Kepler a montré que le mouvement des planètes n’est pas circulaire mais elliptique ; dans ce
cadre plus réaliste, le mouvement n’est pas uniforme (la vitesse augmente à mesure que l’astre est plus
près du Soleil). Toutefois, le mouvement circulaire uniforme constitue une première approximation
intéressante.
1.3 – Application à l’orbitographie des satellites artificiels
Un satellite artificiel de masse m est mis en orbite circulaire autour de la Terre à
une altitude z (soit à une distance (RT + z) du géocentre). La masse de la Terre est
MT = 5,97.1024 kg ; son rayon moyen est RT = 6 378 km.
1. Donner l’expression de l’accélération a subie par le satellite en fonction de G, MT, RT et z par
application de la 2ème loi de Newton.
2. Donner l’expression de l’accélération a du satellite en fonction de v et de r d’après l’étude menée
au 1.2.
N
u
T
u
Terminale S – TP de Physique n°11

2
3. En déduire l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, MT, RT et z.
4. Donner l’expression de la période T de rotation du satellite autour de la Terre en fonction de G,
MT, RT et z.
On considère deux cas,
Cas A : un satellite de télécommunication en orbite circulaire à l’altitude z = 5 000 km
Cas B : un satellite « Météosat » en orbite géostationnaire
Dans ces deux cas, calculer la vitesse du satellite puis matérialiser sa trajectoire à l’aide du simulateur
Hatier. Utiliser le logiciel pour déterminer la durée d’une révolution du satellite, et la comparer à la valeur
théorique.
2 – La 3ème loi de Képler
2.1 – Constat empirique
On considère dans cette partie la feuille « Kepler » du fichier « planetes.ods ».
Tracer la période T en fonction du demi-grand axe a.
Modéliser (demander l’affichage de l’équation) et proposer une relation simple entre T et a, en tenant
compte de la précision des données planétaires.
Conclure.
2.2 – Etude théorique
Préciser la 3ème loi de Kepler en explicitant complètement la relation entre T et a en fonction des
paramètres G et MS. Vous pourrez vous référer à l’étude menée au 1.
2.3 – Application de la 3ème loi de Képler
Io est l’un des 4 satellites de Jupiter (qui en compte 63) découverts
par Galilée en 1610 alors qu’il vient de construire sa première
lunette. Ce satellite a eu une grande importance dans la longue
quête de la finitude de la vitesse de la lumière et de sa valeur ; en
1676, le danois Olaus Römer utilise des mesures de durées basées
sur le transit de Io derrière la planète géante et détermine la
première valeur – assez précise – de la vitesse de la lumière.
La période de rotation de Io est de 1,769 jours autour de Jupiter, à
une distance moyenne de 421 800 km de la géante.
Déterminer, en expliquant, la masse de Jupiter.
En 1892, par observation au télescope, l'américain Barnard
découvrit un cinquième satellite de Jupiter : Amalthée, de diamètre
moyen 190 km.
Sachant que la période de révolution sidérale d'Amalthée est de 0,498 j, calculer le rayon de son orbite
circulaire et sa vitesse orbitale.
Comment expliquer que Galilée ne l'ait pas vu avec sa lunette en 1610 ?
Peut-on déterminer, à l'aide de ces données, la masse de ces cinq satellites de Jupiter ?
3 − L’énergie mécanique de Mercure
L’énergie mécanique de Mercure dans le référentiel héliocentrique se calcule à partir de ses coordonnées
spatiotemporelles. Nous utiliserons celles calculées par l’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des
Ephémérides : http://www.imcce.fr .
3.1 – Mise en forme d’un fichier de données
Allez sur la page de l'IMCCE

3
Onglet "Ephémérides", Commande "Générateur
d'éphémérides"
Choisir "Ephémérides générales de position des corps du
système solaire"
Compléter le "formulaire d'interrogation" pour obtenir
l'éphéméride de Mercure dans le référentiel
héliocentrique, en coordonnées cartésiennes
("rectangulaires") par rapport au plan de
l'écliptique, pour une soixantaine de jours par
pas de 1 jour.
Sélectionner à la souris le tableau de données et le copier-coller dans le fichier « modele.csv » à ouvrir
avec le Bloc-Notes de Windows.
Pour les 60 dates calculées, revenir à la ligne à chaque jour.
Enregistrer le fichier au format .csv en lui donnant le nom « ephemeride.csv ».
Ouvrir ce fichier avec le tableur Calc d’Open Office. Vous importerez les données en prenant soin
d’indiquer que les séparateurs sont l’espace (il faudra fusionner les séparateurs).
On rappelle que "u.a" signifie unité astronomique : 1 u.a = 149,6 millions de kilomètres.
3.2 – Exploitation des données
1. Calculer les coordonnées x et y de Mercure en u.S.I.
2. Créer une colonne des temps t en secondes (on prendra la première date comme origine des temps).
3. Visualiser la trajectoire de Mercure dans le référentiel héliocentrique (imposer un repère
orthonormé).
4. Comment voit-on, au premier coup d'œil, que la trajectoire n'est pas circulaire ?
5. Calculer l'énergie cinétique Ec de Mercure dans le référentiel héliocentrique pour chaque date. On
donne la masse de Mercure, MM= 3,29.1023 kg.
2
1
2
c M
E M v
Mercure n'a pas d'énergie potentielle de pesanteur à proprement parler, mais une énergie potentielle de
gravitation qu’on définit par
,
S M
p grav
SM
G M M
Ed
où MSest la masse du Soleil soit MS = 1,99. 1030 kg, G est la constante de gravitation universelle et dSM
est la distance entre les centres d'inertie du Soleil et de Mercure. Cette surprenante expression n'est pas
exigible en Terminale S, mais essayons de comprendre.
Les élèves de Term S que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur pp
E mgh
 s’écrit, en
explicitant g, et pour Mercure autour du Soleil,
2
" "
S M S
pp M SM
SM SM
G M G M M
E M d
d d
L’origine du signe « −» dans Ep,grav est conventionnelle : on admet qu’il faut fournir un travail positif
pour extraire une masse d’un champ gravitationnel (la gravitation est toujours attractive, les masses
sont toujours positives). La démonstration n’est pas très rigoureuse ici, mais on s’en contentera – en
attendant d’en savoir plus en maths !
6. Calculer l'énergie potentielle Epg de gravitation de Mercure pour chaque date.
7. En déduire l'énergie mécanique Em de Mercure dans le référentiel héliocentrique.
8. L'énergie mécanique de Mercure est-elle constante ? Que peut-on en déduire ?

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4 – Critique raisonnée d’une BD
Game Over de Midam, Adam & Augustin (album No Problemo, chez Dupuis)
La satellisation de la flèche fatale est-elle crédible ?
Proposer une réponse argumentée, c'est à dire basée sur une modélisation de la situation.
A cet effet, préciser les hypothèses et les approximations simplificatrices faites et définir
clairement les grandeurs physiques utilisées.