Satellites et planètes (correction)

Terminale S – TP de Physique n°11
Satellites et planètes (correction)
Au fil de ce TP, nous nous intéressons au mouvement des satellites autour de leur attracteur, qu’il
s’agisse des planètes autour du Soleil ou des satellites artificiels autour de la Terre.
Nous allons essayer de préciser les caractéristiques de ce mouvement.
1 – Les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme
1.1 – Etude mécanique théorique
On considère le mouvement d’une planète autour du Soleil. Les interactions entre les planètes seront
négligées. Définir successivement
 le système d’étude
 le référentiel choisi
 les forces s’exerçant sur le système
En ayant justifié que cela était possible, appliquer la 2ème loi de Newton au système. En déduire
l’expression de l’accélération a subie par la planète.
Le système d’étude est la planète ; on travaillera dans un référentiel héliocentrique. La période de
révolution galactique étant d’environ 220 millions d’années (terrestres), on peut considérer que ce
référentiel est un excellent référentiel galiléen pour la plupart des études menées dans le système solaire
(période de Neptune : 60 000 jours soit plus de 1 700 ans).
Les planètes du système solaire sont soumises à l’attraction gravitationnelle solaire. Celle-ci est précisée
par la loi de gravitation universelle de Newton.
dSP

uSP
P
FS/P
S

G M S M P 
FS / P  
uSP
d SP 2
G = 6,67.10−11 N.m2.kg−2, constante
de gravitation universelle
Masses en kg, distance en m
MP
MS
Le référentiel héliocentrique pouvant être considéré comme galiléen, la 2ème loi de Newton donne, pour la
planète,


G M S M P 
F


u

M

a
 ext
SP
P
d SP 2
d’où

G M S 
a
uSP
d SP 2
1.2 – Application au cas de quelques planètes du système solaire : expression de l’accélération
Ouvrir le fichier planetes.ods à l’aide du tableur Open Office Calc. On considère dans cette partie la
feuille « accélération ».
Les données orbitales des planètes sont des valeurs moyennes ; on supposera que le mouvement des astres
est circulaire et uniforme.
1. Compléter la colonne a(m/s²) donnant la valeur de l’accélération subie par la planète.
Masse (kg)
Distance moyenne au
Soleil (m)
Vitesse orbitale
moyenne (m/s)
Mercure
3,30E+23
6,39E+10
Vénus
4,87E+24
Terre
5,97E+24
Planète
a (m/s²)
k = a/v²
1/k = v²/a
4,74E+04
3,25E-002
1,45E-011
6,90E+010
1,08E+11
3,50E+04
1,13E-002
9,24E-012
1,08E+011
1,50E+11
2,98E+04
5,93E-003
6,69E-012
1,50E+011
1
Mars
6,42E+23
2,28E+11
2,41E+04
2,56E-003
4,41E-012
2,27E+011
Jupiter
1,90E+27
7,78E+11
1,31E+04
2,19E-004
1,28E-012
7,78E+011
Saturne
5,68E+26
1,42E+12
9,65E+03
6,57E-005
7,06E-013
1,42E+012
2. Tracer l’accélération a en fonction de la vitesse moyenne v et conjecturer une relation simple entre
les deux grandeurs en introduisant un coefficient de proportionnalité k.
La courbe obtenue est parabolique (elle tend vers 0 en 0) : on peut donc conjecturer une relation du type
a  k  v2 .
3. Le coefficient k dépend vraisemblablement du rayon orbital moyen r : précisez cette dépendance
et proposez une expression simple de k en fonction de r. Vérifiez votre proposition dans le tableur.
a
Plus r est grand, plus l’accélération et la vitesse sont faibles. Par ailleurs, k  2 est une fonction
v
1
décroissante de r : on peut donc conjecturer une variation inverse de k en fonction de r, du type k  ; la
r
2
1 v
1
colonne 
s’assimile d’ailleurs à r : on peut donc poser que k  .
k a
r
4. Conclure sur l’expression de a en fonction de v et de r.
v2
On écrira par conséquent que a  .
r
Remarque : accélération dans le repère de Frénet
Dans le cadre d’un mouvement circulaire, on utilise fréquemment un repère de
 

travail tournant appelé repère de Frénet uT ; u N où les vecteurs unitaires uT et

u N sont respectivement tangent et normal à la trajectoire ; les deux vecteurs sont
 
orthogonaux et l’angle uT , u N est dans sens direct. Dans ce repère, dans le cas


d’un mouvement circulaire, on montre que la vitesse peut s’écrire v  r  uT et
 dv  v 2 
que l’accélération se met sous la forme a 
uT  u N .
dt
r




uT

uN

2
5. Conclure sur la nature uniforme du mouvement circulaire des planètes.
 
Dans le repère de Frénet uT ; u N , l’accélération peut s’écrire


 dv 
  dt 
a 2 
v 
 
 r 
Dans ce repère, la force subie par la planète s’écrit
0

 

FS / P G M S M P 


r2


L’application de la 2ème loi de Newton fournit donc le système
dv

 M P dt  0

2
M v  G M S M P
 P r
r2
La première égalité suggère que la vitesse v est constante au cours du mouvement : il s’agit donc d’un
mouvement uniforme. La deuxième relation fournira des éléments intéressants que nous allons exploiter
dans le 1.3.
Remarque : Kepler a montré que le mouvement des planètes n’est pas circulaire mais elliptique ; dans ce
cadre plus réaliste, le mouvement n’est pas uniforme (la vitesse augmente à mesure que l’astre est plus
près du Soleil). Toutefois, le mouvement circulaire uniforme constitue une première approximation
intéressante.
1.3 – Application à l’orbitographie des satellites artificiels
Un satellite artificiel de masse m est mis en orbite circulaire autour de la Terre à
une altitude z (soit à une distance (RT + z) du géocentre). La masse de la Terre est
MT = 5,97.1024 kg ; son rayon moyen est RT = 6 378 km.
1. Donner l’expression de l’accélération a subie par le satellite en fonction de G, MT, RT et z par
application de la 2ème loi de Newton.
D’après le travail réalisé précédemment, il vient
G MT m
ma 
2
 RT  z 
Soit
G MT
a
2
 RT  z 
2. Donner l’expression de l’accélération a du satellite en fonction de v et de r d’après l’étude menée
au 1.2.
v2
a
r
3. En déduire l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, MT, RT et z.
La combinaison des deux relations précédentes permet d’écrire l’égalité
G MS
v2
a

2
 RT  z  RT  z
d’où l’on extrait
v
G MT
RT  z
3
4. Donner l’expression de la période T de rotation du satellite autour de la Terre en fonction de G,
MT, RT et z.
La période du satellite est la durée qu’il met pour parcourir son orbite (un tour). Ainsi,
périmètre orbital 2  RT  z 
T

v
v
En insérant l’expression de v, il vient
T
2  RT  z 
G MT
RT  z
 2  RT  z 
RT  z
 2
G MT
 RT  z 
3
G MT
On considère deux cas,
 Cas A : un satellite de télécommunication en orbite circulaire à l’altitude z = 5 000 km
 Cas B : un satellite « Météosat » en orbite géostationnaire
Dans ces deux cas, calculer la vitesse du satellite puis matérialiser sa trajectoire à l’aide du simulateur
Hatier. Utiliser le logiciel pour déterminer la durée d’une révolution du satellite, et la comparer à la valeur
théorique.
Dans le cas A,
vA 
G MT
6,67.1011  5,97.1024

 5,92.103 m.s 1
6
6
RT  z A
6,378.10  5, 000.10
TA  2
 RT  z A 
G MT
3
 2
 6,378.10
6
 5, 000.106 
3
6,67.1011  5,97.1024
 1, 21.104 s  3h 20 min
Dans le cas B,
 RT  zB 
TB  2
G MT
TB  4
2
3
2
 RT  zB  
 RT  z B 
3
G MT
3
TB 2G M T
4 2
1/3
 TB 2G M T 
zB  
  RT
2
 4

1/3
  24  3600  2  6,67.1011  5,97.10 24 
A.N. : z B  
  6,378.106  3,58.107 m  35 800 km
2


4


vB 
G MT
6,67.1011  5,97.1024

 3, 07.103 m.s 1
6
6
RT  z B
6,378.10  35,8.10
On vérifie bien, à l’aide du simulateur Hatier, que ces prévisions théoriques sont bel et bien correctes.
2 – La 3ème loi de Képler
2.1 – Constat empirique
On considère dans cette partie la feuille « Kepler » du fichier « planetes.ods ».
Tracer la période T en fonction du demi-grand axe a.
Modéliser (demander l’affichage de l’équation) et proposer une relation simple entre T et a, en tenant
compte de la précision des données planétaires.
Conclure.
4
Le résultat de la modélisation est T  k  a1,5 .
Ceci peut aussi s’écrire T  k  a 3/2 ; en passant au carré, on obtient T 2  k  a 3 et on retrouve la 3ème loi
de Képler,
T2
 constante
a3
2.2 – Etude théorique
Préciser la 3ème loi de Kepler en explicitant complètement la relation entre T et a en fonction des
paramètres G et MS. Vous pourrez vous référer à l’étude menée au 1.
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on aura a  r : le demi-grand axe s’assimile au rayon
de l’orbite. La relation déterminée au 1.3
T  2
 RT  z 
G MT
3
devient T  2
a3
G MT
a3
Passons au carré : T  4
G MT
Ainsi,
2
2
T2
4 2

a3 G M T
2.3 – Application de la 3ème loi de Képler
Io est l’un des 4 satellites de Jupiter (qui en compte 63) découverts
par Galilée en 1610 alors qu’il vient de construire sa première
lunette. Ce satellite a eu une grande importance dans la longue
quête de la finitude de la vitesse de la lumière et de sa valeur ; en
1676, le danois Olaus Römer utilise des mesures de durées basées
sur le transit de Io derrière la planète géante et détermine la
première valeur – assez précise – de la vitesse de la lumière.
La période de rotation de Io est de 1,769 jours autour de Jupiter, à
une distance moyenne de 421 800 km de la géante.
Déterminer, en expliquant, la masse de Jupiter.
4 2   4, 218.108 
4 2 r 3
MJ 

 1, 27.1017 kg
2
2
T
1, 769  24  3600 
3
5
En 1892, par observation au télescope, l'américain Barnard
découvrit un cinquième satellite de Jupiter : Amalthée, de diamètre
moyen 190 km.
Sachant que la période de révolution sidérale d'Amalthée est de 0,498 j, calculer le rayon de son orbite
circulaire et sa vitesse orbitale.
On utilise ici la 3ème loi de Kepler.
T2
4 2

r3 G M J
1/3
 G MJ 2 
T 
donne r  
2
 4

1/3
 6,67.1011  1, 90.1027
2
A.N. : r  
  0, 498  24  3600  
2
4


 1,81.108 m  181 000 km
G MJ
6,67.1011  1,90.1027

 2,65.104 m.s 1
r
1,81.108
Comment expliquer que Galilée ne l'ait pas vu avec sa lunette en 1610 ?
Amalthée a un diamètre moyen beaucoup plus petit que celui des lunes galiléennes de Jupiter (plusieurs
milliers de km : de 3 000 km pour Europe à 5 000 km pour Ganymède) ; il s’agit pourtant du plus gros
satellite de Jupiter en dehors des 4 galiléens, et sur les 63 connus à ce jour… mais l’instrument de Galilée,
qui n’a jamais dépassé un grossissement de 30, n’était pas assez pointu pour observer ce corps.
v
Peut-on déterminer, à l'aide de ces données, la masse de ces cinq satellites de Jupiter ?
4 2  1,81.108 
4 2 r 3
MJ 

 1, 26.1017 kg
2
2
T
 0, 498  24  3600 
3
3 − L’énergie mécanique de Mercure
L’énergie mécanique de Mercure dans le référentiel héliocentrique se calcule à partir de ses coordonnées
spatiotemporelles. Nous utiliserons celles calculées par l’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des
Ephémérides : http://www.imcce.fr .
3.1 – Mise en forme d’un fichier de données
Allez sur la page de l'IMCCE
Onglet
"Ephémérides",
Commande
"Générateur
d'éphémérides"
Choisir "Ephémérides générales de position des corps du
système solaire"
Compléter le "formulaire d'interrogation" pour obtenir
l'éphéméride de Mercure dans le référentiel
héliocentrique, en coordonnées cartésiennes
("rectangulaires") par rapport au plan de
l'écliptique, pour une soixantaine de jours par
pas de 1 jour.
Sélectionner à la souris le tableau de données et le copier-coller dans le fichier « modele.csv » à ouvrir
avec le Bloc-Notes de Windows.
Pour les 60 dates calculées, revenir à la ligne à chaque jour.
Enregistrer le fichier au format .csv en lui donnant le nom « ephemeride.csv ».
Ouvrir ce fichier avec le tableur Calc d’Open Office. Vous importerez les données en prenant soin
d’indiquer que les séparateurs sont l’espace (il faudra fusionner les séparateurs).
On rappelle que "u.a" signifie unité astronomique : 1 u.a = 149,6 millions de kilomètres.
6
3.2 – Exploitation des données
1. Calculer les coordonnées x et y de Mercure en u.S.I.
2. Créer une colonne des temps t en secondes (on prendra la première date comme origine des temps).
3. Visualiser la trajectoire de Mercure dans le référentiel héliocentrique (imposer un repère
orthonormé).
« Cercle » de 9,27 cm
sur 9,46 cm à la
construction…
4. Comment voit-on, au premier coup d'œil, que la trajectoire n'est pas circulaire ?
Le repère choisi est centré sur le Soleil (référentiel héliocentrique) : on peut voir ici que l’orbite de
Mercure n’est pas centrée géométriquement sur le Soleil, mais que ce dernier semble plutôt constituer le
foyer d’une orbite elliptique.
5. Calculer l'énergie cinétique Ec de Mercure dans le référentiel héliocentrique pour chaque date. On
donne la masse de Mercure, MM = 3,29.1023 kg.
1
Ec  M M v 2
2
Mercure n'a pas d'énergie potentielle de pesanteur à proprement parler, mais une énergie potentielle de
gravitation qu’on définit par
G MS MM
E p , grav  
d SM
30
où MS est la masse du Soleil soit MS = 1,99. 10 kg, G est la constante de gravitation universelle et dSM
est la distance entre les centres d'inertie du Soleil et de Mercure. Cette surprenante expression n'est pas
exigible en Terminale S, mais essayons de comprendre.
7
Les élèves de Term S que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur
E pp  mgh s’écrit, en
explicitant g, et pour Mercure autour du Soleil,
 G MS 
G MM MS
" E pp "  M M 
d 
2  SM
d SM
 d SM 
L’origine du signe « − » dans Ep,grav est conventionnelle : on admet qu’il faut fournir un travail positif
pour extraire une masse d’un champ gravitationnel (la gravitation est toujours attractive, les masses
sont toujours positives). La démonstration n’est pas très rigoureuse ici, mais on s’en contentera – en
attendant d’en savoir plus en maths !
6. Calculer l'énergie potentielle Epg de gravitation de Mercure pour chaque date.
7. En déduire l'énergie mécanique Em de Mercure dans le référentiel héliocentrique.
8. L'énergie mécanique de Mercure est-elle constante ? Que peut-on en déduire ?
Tracée seule, l’énergie mécanique ne paraît pas constante ; toutefois, il faut nuancer ses variations :
tracée avec les énergies cinétique et potentielle de gravitation, on voit plus clairement que l’énergie
mécanique peut être raisonnablement considérée comme constante. Cela signifie que la planète n’est
soumise qu’à des forces conservatives – forces gravitationnelles.
Le cas « Mercure » est toutefois très particulier à bien des égards.
L'orbite de Mercure est très excentrique: son périhélie ne se situe qu'à 46 million de km du Soleil alors
que son aphélie est à 70 millions de km. Les astronomes du 19ème siècle firent des observations
minutieuses de l'orbite de Mercure mais ils ne purent expliquer son excentricité avec la mécanique
Newtonienne. Les minuscules différences entre les données observées et celle déduites de la théorie
furent un problème mineur mais persistant pendant des dizaines d'années. Certains ont même émis
l'éventualité d'une planète qu'ils appelèrent Vulcain orbitant entre Mercure et le Soleil et qui aurait pu
expliquer l'excentricité de Mercure. Cependant, la vraie raison était beaucoup plus spectaculaire: La
Théorie de la Relativité Générale d'Einstein ! Ce fut d'ailleurs la preuve irréfutable de la valeur de cette
théorie.
Jusqu'en 1962 les astronomes pensaient que le "jour" (la période de rotation) de Mercure était le même
que son "année" (la période de révolution). On pensait donc que Mercure présentait toujours la même face
au Soleil comme la Lune le fait avec la Terre. Mais en 1965, des observations effectuées par radar
8
doppler révélèrent que la période de rotation de Mercure est en fait égale aux deux tiers de sa période de
révolution autour du Soleil.
Cette très lente rotation est due à la forme allongée de l'orbite de Mercure autour du Soleil. Proche du
Soleil, la force de marée augmente et accélère la rotation mais à ce moment, l'interaction
rotation/révolution ralentit la course sur l'orbite et rétablit le rapport initial de deux tiers. Ce phénomène
est appelé "effet de résonance". Cet effet produit un évènement unique dans le système solaire: le jour
solaire mercurien dure deux années mercuriennes.
4 – Critique raisonnée d’une BD
Game Over de Midam, Adam & Augustin (album No Problemo, chez Dupuis)
La satellisation de la flèche fatale est-elle crédible ?
9
Proposer une réponse argumentée, c'est à dire basée sur une modélisation de la situation.
A cet effet, préciser les hypothèses et les approximations simplificatrices faites et définir
clairement les grandeurs physiques utilisées.
Si l’on se replace par rapport à la Terre, la satellisation semble bien improbable. On se situe en effet dans
le problème dit du canon de Newton.
L’Astronomie populaire, de Camille Flammarion (XIXème siècle)
« Ainsi, si un boulet de canon était tiré horizontalement du haut
d'une montagne, avec une vitesse capable de lui faire parcourir
un espace de deux lieues avant de retomber sur la terre : avec une
vitesse double, il n'y retomberait qu'après avoir parcouru à peu
près quatre lieues, et avec une vitesse décuple, il irait dix fois plus
loin (pourvu qu'on ait point d'égard à la résistance de l'air), et en
augmentant la vitesse de ce corps, on augmenterait à volonté le
chemin qu'il parcourrait avant de retomber sur la terre, et on
diminuerait la courbure de la ligne qu'il décrirait ; en sorte qu'il
pourrait ne retomber sur la terre qu'à la distance de 10, de 30, ou
de 90 degrés ; ou qu'enfin il pourrait circuler autour, sans y
retomber jamais, et même s'en aller en ligne droite à l'infini dans
le ciel. »
Isaac Newton, « Principes mathématiques de la philosophie naturelle », Définition V, traduction Marquise
du Châtelet, 1759 – ce paragraphe ne figurait pas dans la première édition en latin de 1687.
Les phénomènes gravitationnels observés dépendent nécessairement de la planète où se situe l’action.
Si le personnage est un ado « standard » (1,50 m pour 50 kg), il est 5 fois plus petit que sa planète, qui
aurait donc un diamètre de 7,5 m… Avec une densité rocheuse, de l’ordre de 5,5.103 kg/m3, la planète
4
3
aura une masse de M  5, 5.103      3, 75   1200 t . La vitesse de satellisation est alors
3
GM
6,67.1011  1, 2.106

 3,3 mm.s 1
R
7,5
C’est donc tout à fait envisageable… mais notons que la gravité à la surface de la planète, de
GM 6,67.1011 1, 2.106
g 2 
 1, 4.106 N .kg 1 est bien trop faible pour permettre l’existence d’une
2
R
7,5
atmosphère (la Lune, g = 1,6 N.kg−1, n’y est même pas parvenue !!). D’où une difficulté pour évoluer sur
cette planète de « Petit Prince » en l’absence d’air respirable !
v
10
Dans le cas de la BD, les personnages sont disproportionnés par rapport à la planète. La flèche est tirée à
une hauteur du sol 9,5 fois plus petite que le diamètre de la planète. Ramené à la Terre, cela ferait lancer
le projectile à une altitude de 1 350 km environ. A cette altitude, il faut une vitesse initiale de près de
6 900 m.s−1 (soit près de 25 000 km/h) pour satelliser la flèche…
Et l’on pourrait aller encore plus loin… !
La situation reste caricaturale et amusante parce que, justement, pas du tout plausible scientifiquement.
Qui a dit que les scientifiques n’avaient pas d’humour ? C’est en ne prenant pas les situations au pied de
la lettre qu’on les enrichit de drôlerie. Si nous coupions court à toute discussion avec des arguments
scientifiques, cela serait vite pénible…
11