Satellites et planètes (correction)

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Satellites et planètes (correction)
Au fil de ce TP, nous nous intéressons au mouvement des satellites autour de leur attracteur, qu’il
s’agisse des planètes autour du Soleil ou des satellites artificiels autour de la Terre.
Nous allons essayer de préciser les caractéristiques de ce mouvement.
1 – Les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme
1.1 – Etude mécanique théorique
On considère le mouvement d’une planète autour du Soleil. Les interactions entre les planètes seront
négligées. Définir successivement
le système d’étude
le référentiel choisi
les forces s’exerçant sur le système
En ayant justifié que cela était possible, appliquer la 2ème loi de Newton au système. En déduire
l’expression de l’accélération a subie par la planète.
Le système d’étude est la planète ; on travaillera dans un référentiel héliocentrique. La période de
révolution galactique étant d’environ 220 millions d’années (terrestres), on peut considérer que ce
référentiel est un excellent référentiel galiléen pour la plupart des études menées dans le système solaire
(période de Neptune : 60 000 jours soit plus de 1 700 ans).
Les planètes du système solaire sont soumises à l’attraction gravitationnelle solaire. Celle-ci est précisée
par la loi de gravitation universelle de Newton.
Le référentiel héliocentrique pouvant être considéré comme galiléen, la 2ème loi de Newton donne, pour la
planète,
2
S P
ext SP P
SP
G M M
F u M a
d
d’où
2
S
SP
SP
G M
a u
d
1.2 – Application au cas de quelques planètes du système solaire : expression de l’accélération
Ouvrir le fichier planetes.ods à l’aide du tableur Open Office Calc. On considère dans cette partie la
feuille « accélération ».
Les données orbitales des planètes sont des valeurs moyennes ; on supposera que le mouvement des astres
est circulaire et uniforme.
1. Compléter la colonne a(m/s²) donnant la valeur de l’accélération subie par la planète.
Planète Masse (kg) Distance moyenne au
Soleil (m)
Vitesse orbitale
moyenne (m/s) a (m/s²) k = a/v² 1/k = v²/a
Mercure 3,30E+23 6,39E+10 4,74E+04 3,25E-002 1,45E-011 6,90E+010
Vénus 4,87E+24 1,08E+11 3,50E+04 1,13E-002 9,24E-012 1,08E+011
Terre 5,97E+24 1,50E+11 2,98E+04 5,93E-003 6,69E-012 1,50E+011
Terminale S – TP de Physique n°11
MS
MP S
P
dSP
FS/P
SP
u
/2
S P
S P SP
SP
G M M
F u
d
G = 6,67.10
−11
N.m
2
.kg
−2
, constante
de gravitation universelle
Masses en kg, distance en m

2
Mars 6,42E+23 2,28E+11 2,41E+04 2,56E-003 4,41E-012 2,27E+011
Jupiter 1,90E+27 7,78E+11 1,31E+04 2,19E-004 1,28E-012 7,78E+011
Saturne 5,68E+26 1,42E+12 9,65E+03 6,57E-005 7,06E-013 1,42E+012
2. Tracer l’accélération a en fonction de la vitesse moyenne v et conjecturer une relation simple entre
les deux grandeurs en introduisant un coefficient de proportionnalité k.
La courbe obtenue est parabolique (elle tend vers 0 en 0) : on peut donc conjecturer une relation du type
2
a k v
.
3. Le coefficient k dépend vraisemblablement du rayon orbital moyen r: précisez cette dépendance
et proposez une expression simple de k en fonction de r. Vérifiez votre proposition dans le tableur.
Plus r est grand, plus l’accélération et la vitesse sont faibles. Par ailleurs,
2
a
k
v
 est une fonction
décroissante de r : on peut donc conjecturer une variation inverse de k en fonction de r, du type
1
k
r
; la
colonne
2
1
v
k a
s’assimile d’ailleurs à r : on peut donc poser que
1
k
r
.
4. Conclure sur l’expression de a en fonction de v et de r.
On écrira par conséquent que
2
v
a
r
.
Remarque : accélération dans le repère de Frénet
Dans le cadre d’un mouvement circulaire, on utilise fréquemment un repère de
travail tournant appelé repère de Frénet
;
T N
u u
où les vecteurs unitaires
T
u
et
N
u
sont respectivement tangent et normal à la trajectoire ; les deux vecteurs sont
orthogonaux et l’angle
,
T N
u u
est dans sens direct. Dans ce repère, dans le cas
d’un mouvement circulaire, on montre que la vitesse peut s’écrire
T
v r u
et
que l’accélération se met sous la forme
2
T N
dv v
a u u
dt r
.
N
u
T
u

3
5. Conclure sur la nature uniforme du mouvement circulaire des planètes.
Dans le repère de Frénet
;
T N
u u
, l’accélération peut s’écrire
2
dv
dt
a
v
r
Dans ce repère, la force subie par la planète s’écrit
/
2
0
S P S P
FG M M
r
L’application de la 2ème loi de Newton fournit donc le système
2
2
0
P
S P
P
dv
Mdt
G M M
v
Mr r
La première égalité suggère que la vitesse v est constante au cours du mouvement : il s’agit donc d’un
mouvement uniforme. La deuxième relation fournira des éléments intéressants que nous allons exploiter
dans le 1.3.
Remarque : Kepler a montré que le mouvement des planètes n’est pas circulaire mais elliptique ; dans ce
cadre plus réaliste, le mouvement n’est pas uniforme (la vitesse augmente à mesure que l’astre est plus
près du Soleil). Toutefois, le mouvement circulaire uniforme constitue une première approximation
intéressante.
1.3 – Application à l’orbitographie des satellites artificiels
Un satellite artificiel de masse m est mis en orbite circulaire autour de la Terre à
une altitude z (soit à une distance (RT + z) du géocentre). La masse de la Terre est
MT = 5,97.1024 kg ; son rayon moyen est RT = 6 378 km.
1. Donner l’expression de l’accélération a subie par le satellite en fonction de G, MT, RT et z par
application de la 2ème loi de Newton.
D’après le travail réalisé précédemment, il vient
2
T
T
G M m
m a
R z
Soit
2
T
T
G M
a
R z
2. Donner l’expression de l’accélération a du satellite en fonction de v et de r d’après l’étude menée
au 1.2.
2
v
a
r
3. En déduire l’expression de la vitesse v du satellite en fonction de G, MT, RT et z.
La combinaison des deux relations précédentes permet d’écrire l’égalité
2
2
S
T
T
G M
v
a
R z
R z
d’où l’on extrait
T
T
G M
v
R z

4
4. Donner l’expression de la période T de rotation du satellite autour de la Terre en fonction de G,
MT, RT et z.
La période du satellite est la durée qu’il met pour parcourir son orbite (un tour). Ainsi,
2T
R z
périmètre orbital
T
v v
En insérant l’expression de v, il vient
3
22 2
T T
T
T
T T
T
T
R z R z
R z
T R z G M G M
G M
R z
On considère deux cas,
Cas A : un satellite de télécommunication en orbite circulaire à l’altitude z = 5 000 km
Cas B : un satellite « Météosat » en orbite géostationnaire
Dans ces deux cas, calculer la vitesse du satellite puis matérialiser sa trajectoire à l’aide du simulateur
Hatier. Utiliser le logiciel pour déterminer la durée d’une révolution du satellite, et la comparer à la valeur
théorique.
Dans le cas A,
11 24
3 1
6 6
6,67.10 5,97.10
5,92.10 .
6,378.10 5,000.10
T
A
T A
G M
v m s
R z
3
36 6
4
11 24
6,378.10 5,000.10
2 2 1, 21.10 3 20 min
6,67.10 5,97.10
T A
A
T
R z
T s h
G M
Dans le cas B,
3
2T B
B
T
R z
TG M
3
2 2
4T B
B
T
R z
TG M
2
3
2
4
B T
T B
T G M
R z
1/3
2
2
4
B T
B T
T G M
z R
A.N. :
1/3
211 24
6 7
2
24 3600 6,67.10 5,97.10
6,378.10 3,58.10 35 800
4
B
z m km
11 24
3 1
6 6
6,67.10 5,97.10
3, 07.10 .
6,378.10 35,8.10
T
B
T B
G M
v m s
R z
On vérifie bien, à l’aide du simulateur Hatier, que ces prévisions théoriques sont bel et bien correctes.
2 – La 3ème loi de Képler
2.1 – Constat empirique
On considère dans cette partie la feuille « Kepler » du fichier « planetes.ods ».
Tracer la période T en fonction du demi-grand axe a.
Modéliser (demander l’affichage de l’équation) et proposer une relation simple entre T et a, en tenant
compte de la précision des données planétaires.
Conclure.

5
Le résultat de la modélisation est
1,5
T k a
  .
Ceci peut aussi s’écrire
3/2
T k a
  ; en passant au carré, on obtient
2 3
T k a
et on retrouve la 3ème loi
de Képler,
2
3
constante
T
a
2.2 – Etude théorique
Préciser la 3ème loi de Kepler en explicitant complètement la relation entre T et a en fonction des
paramètres G et MS. Vous pourrez vous référer à l’étude menée au 1.
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, on aura
a r
: le demi-grand axe s’assimile au rayon
de l’orbite. La relation déterminée au 1.3
3
2T
T
R z
TG M
 devient
3
2
T
a
T
G M
Passons au carré :
3
2 2
4
T
a
T
G M
Ainsi,
2 2
3
4
T
T
a G M
2.3 – Application de la 3ème loi de Képler
Io est l’un des 4 satellites de Jupiter (qui en compte 63) découverts
par Galilée en 1610 alors qu’il vient de construire sa première
lunette. Ce satellite a eu une grande importance dans la longue
quête de la finitude de la vitesse de la lumière et de sa valeur ; en
1676, le danois Olaus Römer utilise des mesures de durées basées
sur le transit de Io derrière la planète géante et détermine la
première valeur – assez précise – de la vitesse de la lumière.
La période de rotation de Io est de 1,769 jours autour de Jupiter, à
une distance moyenne de 421 800 km de la géante.
Déterminer, en expliquant, la masse de Jupiter.
3
2 8
2 3
17
2
2
4 4,218.10
41, 27.10
1,769 24 3600
J
r
M kg
T