MAt1720 X Unité0

MAt1720 X Unité0- Ch.1
Abdelkrim El basraoui
July 5, 2010
Contents
1 Revue du précalcul
3
1.1
Fonctions et modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Les intervalles de croissance et de décroissance . . . . . . . . . 10
2 Fonctions principales
10
2.1
Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4
Les fonctions rationneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5
Le fonctions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
CONTENTS
2
2.6
Fonction exponentielle naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7
Réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8
Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9
Règles pour les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Les équations exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . 16
2.11 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.12 Réciproque des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . 18
1 REVUE DU PRÉCALCUL
1
3
Revue du précalcul
1.1
Fonctions et modèles
Définition 1.1. Une fonction est une relation mathématique entre deux
variables (soit la variable indépendante et la variable dépendante) de telle
sorte que chaque valeur de la variable indépendante correspond à une valeur
unique de la variable dépendante.
Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles permises de la variable indépendante.
L’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de la variable
dépendante qui correspondent à au moins une valeur de la variable indépendante
prise dans le domaine.
Souvent, les mathématiciens utiliseront x pour dénoter la variable indépendante,
y pour dénoter la variable dépendante, et f pour dénoter la fonction tel que
y = f (x).
Algèbre des fonctions :
Soient f et g deux fonctions sur leur domaines Df et Dg respectivement.
Alors, on definit les fonctions f ± g, f g, f /g comme suit:
• (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) et on a Df ±g = Df
T
• (f g)(x) = f (x)g(x) et on a Df g = Df Dg .
T
• (f /g)(x) = f (x)/g(x) et on a Df /g = {x ∈ Df
Dg .
T
Dg | g(x) 6= 0}.
Quelques choses qu’il faut typiquement considérer lorsqu’on cherche le domaine d’une fonction.
Expression Algébrique On a besoin que ...
1/A
A 6= 0
√
A
A≥0
ln A
A>0
1 REVUE DU PRÉCALCUL
4
Exemple 1.1.1. Le profit, P , de fabriquer x unités d’un produit est donné
par
√
P = 5x − 4x − 100 − 6000.
a) Quel est le domaine de cette fonction?
b) Quel est le profit lorsque 1000 unités sont fabriquées?
Exemple 1.1.2. Trouvez le domaine de la fonction
f (x) =
x2
, x ≥ 0.
x−1
1 REVUE DU PRÉCALCUL
1.2
5
Composition de fonctions
Étant donné deux fonctions f et g, leur composition, f ◦ g, est une nouvelle
fonction à qui les valeurs sont f (g(x)).
Exemple 1.2.1. Soit f (x) = 1 + x2 et g(x) = 2x − 1. Trouvez f ◦ g et g ◦ f .
Exemple 1.2.2. La vitesse, v(x), en fonction de la distance parcourue x est
√
v(x) = 5x − 4x − 10.
La distance parcourue dépend aussi du temps, t en secondes, et sont reliés
par
50
x(t) = ,
t
Trouvez v en fonction de t.
Calculez v(20s).
1 REVUE DU PRÉCALCUL
1.3
6
Graphes
Les graphes donnent une représentation graphique de la relation décrite par
une fonction. Vous devriez être familier avec les graphes de
1) fonctions linéaires : y = mx (droites)
2) fonctions quadratiques : y = x2 (paraboles)
3) fonctions cubiques : y = x3
4) fonctions racines carrées : y =
√
x
5) fonctions valeurs absolues : y = |x|
1 REVUE DU PRÉCALCUL
7
6) fonctions hyperboliques : y = 1/x
Transformations de graphes :
• Les translations :
– Si on remplace x avec x − a, ceci bouge le graphe de la fonction
initiale a unités vers la droite.
– Si on remplace y avec y − b, ceci bouge le graphe de la fonction
initiale b unités vers le haut.
• Les réflections :
– Si on remplace y avec −y, ceci cause une réflection à travers l’axe
des x.
– Si on remplace x avec −x, ceci cause une réflection à travers l’axe
des y.
• Les Étirements :
– Si on remplace y par cy, c 6= 0, ceci étire / comprime verticalement
le graphe de la fonction initiale d’unn facteur c.
– Si on remplace x par cx, c 6= 0, ceci étire / comprime horizontalement le graphe de la fonction initiale d’unn facteur c.
Exemple 1.3.1. (a) Tracez le graphe de y = |x − 3| − 4.
En réécrivant la relation comme y + 4 = |x − 3| nous observons que le graphe
ressemble à celui de y = |x| mais doit être déplacé 3 unités vers la droite et
4 unités vers le bas.
p
(b) Tracer le graphe de y = − (−x) pour x ≤ 0
1 REVUE DU PRÉCALCUL
8
p
En réécrivant la relation comme
(−y)
=
(−x) nous observons que le graphe
√
ressemble à celui de y = x mais doit être reflété à travers de l’axe des x et
ensuite l’axe des y.
Fonctions Paires et impaires:
Définition 1.2. Une fonction f est dite paire s’elle satisfait la relation
f (−x) = f (x) pour tout x (et −x) dans son domaine Df .
Elle est dite impaire s’elle satisfait f (−x) = −f (x) pour tout x dans son
domaine.
Exemple 1.3.2.
• f (x) = x2 est
• f (x) = x1/3 est
• f (x) = 2x4 − x3 est
Importance des fonctions paires et impaires
• Si f est paire alors le graphe est symétrique par rapport à l’axe Oy.
• Si f est impaire alors le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
Dans les deux cas on peut étudier f juste sur Df
T
[0, ∞).
1 REVUE DU PRÉCALCUL
Information importante pour tracer le graphe:
Les abscisses à l’origine : points où le graphe touchent l’axe des x.
→ nous les trouvons en résolvant f (x) = 0.
L’ordonnée à l’origine : point où le graphe touche l’axe des y.
→ Nous les trouvons en remplaçant x = 0.
Exemple 1.3.3. Trouvez les abscisses et l’ordonnée à l’origine de
y = |x − 3| − 4.
9
2 FONCTIONS PRINCIPALES
1.4
10
Les intervalles de croissance et de décroissance
Définition 1.3. Une fonction, f (x), est croissante sur l’intervalle (a, b) si
pour tout x1 , x2 ∈ (a, b) où x1 < x2 nous avons
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Une fonction, f (x), est décroissante sur l’intervalle (a, b) si pour tout x1 , x2 ∈
(a, b) où x1 < x2 nous avons
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Si on a une inégalité stricte dans l’un des cas précédents alors on dira strictement croissante (respectivement strictement décroissante).
Exemple 1.4.1.
• f (x) =
1
x
est décroissante sur (−∞, 0) et (0, −∞)
• f (x) = x2 est décroissante sur (−∞, 0) et croissante sur (0, ∞)
• f (x) = ln(x) est croissante sur (0, ∞)
2
2.1
Fonctions principales
Droites
Une équation linéaire est une équation qui peut être écrite sous la forme
y = mx + b (format pente-ordonnée à l’origine) où m est la pente de la droite
et b est l’ordonnée à l’origine.
Étant donné deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ), nous pouvons calculer la pente,
m, de la droite qui passe par ces points
m=
y2 − y1
x2 − x 1
La pente représente de combien change y pour chaque incrément de 1 unité
sur x.
2 FONCTIONS PRINCIPALES
11
Étant donné un point (x1 , y1 ) sur la droite de pente m, nous pouvons trouver
son équation linéaire en utilisant la formule
y − y1 = m(x − x1 ).
2.2
Les polynômes
Définition 2.1. Soit x une variable et n un entier positif. Un Polynôme
P (x) en la variable x est une expression algébrique de la forme:
2
n
P (x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x =
n
X
ak x k ,
k=0
où les ak , k = 0 · · · n, sont des constantes.
L’entier n s’appelle le degré de P (X), noté deg P ; par convention toutes les
constantes non nulles sont des Polynômes de degré 0 et 0 est de degré −∞.
La constante a0 s’appelle le terme constant de P .
Si P (r) = 0 pour un certain r ∈ R, r est dit racine de de P .
2.3
Les fonctions puissances
Ce sont des fonctions du type f (x) = xn , où n est une constante.
Exemple 2.3.1.
• xn pour n un entier.
• x1/n pour n un entier naturel positif.
2.4
Les fonctions rationneles
Une fonction rationnelle est une fonction de la sorte f (x) =
Q deux polynômes, Q(x) 6= 0.
Exemple 2.4.1.
f (x) =
x2
1
.
+1
P (x)
avec P et
Q(x)
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.5
12
Le fonctions algébriques
Cette classe est formée de toutes les fonctions formées à partir d’une relation
algébrique n’impliquant que les classes mentionnées au paravant.
Exemple 2.5.1.
f (x) = x4 −
2.6
√
x2 − 1 −
1
√ .
x+ x
Fonction exponentielle naturelle
Définition 2.2. f (x) = ex est la fonction exponentielle naturelle. Son domaine est tous les nombres réels. Graphe :
La formule P = P0 ekt sert à modèliser la loi de la croissance exponentielle d’une population. La variable P0 représente la valeur initial de la
population et k représente le taux de croissance de la population, en prenant
pour acquit que k > 0.
Exemple 2.6.1. Une colonie de moustiques croit selon la formule P (t) =
500e0.04t , où t est le temps en jours. Combien de moustiques est-ce qu’il y
aura après deux semaines?
Exemple 2.6.2. La demi-vie du strondium-90, 90 Sr, est de 25 as. Donnez une formule m(t) pour une masse de 24 mg après t années et calculez
m(40 ans).
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.7
13
Réciproque
Définition 2.3. Une fonction est dite injective s’elle ne prend jamais deux
fois la même valeur; autrement dit
f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ x1 = x2 .
Remarque 2.1. Étant donné le graphe d’une fonction on peut toujours
utiliser le test de droite horizontale pour savoir si une fonction est injective
ou non.
Définition 2.4. Soit f une fonction injective sur son domaine Df et soit If
sont image. Alors, sa fonction réciproque a If comme domaine et Df comme
image et défini par
f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y
Pour tout y ∈ If .
Deux fonctions f et g sont inverse si f (g(x)) = x et g(f (x)) = x pour tout
x dans le domaine de g et f respectivement.
(En gros, f −1 défait ce que f a fait à x.)
Exemple 2.7.1. f (x) = x3 et g(x) = x1/3 sont inverse car injective.
f (x) = x2 n’a pas d’inverse
car non injective sur R. Mais f (x) = x2 , x ≥ 0
√
−1
en a une f (x) = x.
Nous pouvons trouver l’inverse d’une fonction en résolvant pour la variable
indépendante et ensuite en renommant de façon appropriée les variables.
Ex : Trouvez l’inverse de f (x) =
2x−1
.
x+7
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.8
14
Fonctions logarithmes
Définition 2.5. On définit
f (x) = ln(x),
qu’on appelle la fonction logarithme naturelle, à être la fonction inverse de
la fonction exponentielle naturelle. Alors
ln(ex ) = x ⇔ eln(x) = x.
Le graphe de f (x) = ln(x) est
Le domaine est (0, ∞).
Mais, qu’est-ce que ln(x)?
De l’équation eln(x) = x nous observons que ln(x) est l’exposant qu’on doit
donner au nombre e pour obtenir x.
e.g.) e2 = 7.3891 alors ln(7.3891) = 2.
En général, pour n’importe quel nombre réel positif a nous pouvons définir
loga (x) comme l’exposant qu’on doit donner au nombre a pour obtenir x.
e.g.) log2 (32) = 5
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.9
15
Règles pour les logarithmes
Soit a et b deux nombres réels positifs. Soit c un nombre réel quelconque.
1. ln(1) = 0
2. ln(e) = 1
3. eln(a) = a
4. ln(ec ) = c
5. ln(ac ) = c ln(a)
6. ln(ab) = ln(a) + ln(b)
7. ln( ab ) = ln(a) − ln(b)
8. loga (b) =
ln(a)
ln(b)
Exemple 2.9.1. Simplifiez
log3 (
5x2
).
7x + 1
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.10
16
Les équations exponentielles et logarithmes
Étant donné n’importe quelle équation, nous pouvons appliquer le logarithme
naturel sur chacun de ses côtés pour essayer de trouver une solution!
Exemple 2.10.1. Résolvez pour x.
ln(x) + ln(x + 2) = ln(15)
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.11
17
Les fonctions trigonométriques
Elle occupent une large place dans les cours de calculs. Les exemples suivants
sont les plus utilisés (car toutes les autres peuvent s’obtenir à partir de ceux
là). En conviendra a ce que l’unité de mesure est le radian.
Définition 2.6. Une fonction f est dite périodique de période T (une constante non nulle) si f (x + T ) = f (x) pour tout x du domaine.
Exemple 2.11.1.
• La fonction sin(x) et ces propriétés. Domain:
Image:
• La fonction cos(x) et ces propriétés. Domain:
Image:
• La fonction tan(x) et ces propriétés. Domain:
Image:
2 FONCTIONS PRINCIPALES
2.12
18
Réciproque des fonctions trigonométriques
Comme vu dans la sous-section précécedente, les fonctions cos, sin, tan sont
ds fonctions périodiques. Donc sur tout intervalle de longeure plus que la
période, ces fonctions ne sont pas injectives et par la suite n’admettent pas
de fonctions réciproques. D’où le fait de ne les étudier que sur un intervalle
de longuerue égale à la période.
Exemple 2.12.1.
• La fonction arcsin et ces propriétés. Domain:
Image:
• La fonction arccos et ces propriétés. Domain:
Image:
• La fonction arctan et ces propriétés. Domain:
Image:
2 FONCTIONS PRINCIPALES
19
Exercice 2.12.1. Étudiez les exemples du Chapitre 1 ainsi que ceux de
l’Annexe C.