MAt1720 X Unité0

MAt1720 X Unit´e0- Ch.1
Abdelkrim El basraoui
July 5, 2010
Contents
1 Revue du pr´ecalcul 3
1.1 Fonctions et mod`eles ....................... 3
1.2 Composition de fonctions ..................... 5
1.3 Graphes .............................. 6
1.4 Les intervalles de croissance et de d´ecroissance ......... 10
2 Fonctions principales 10
2.1 Droites ............................... 10
2.2 Les polynˆomes ........................... 11
2.3 Les fonctions puissances ..................... 11
2.4 Les fonctions rationneles ..................... 11
2.5 Le fonctions alg´ebriques ..................... 12

CONTENTS 2
2.6 Fonction exponentielle naturelle ................. 12
2.7 R´eciproque ............................ 13
2.8 Fonctions logarithmes ....................... 14
2.9 R`egles pour les logarithmes ................... 15
2.10 Les ´equations exponentielles et logarithmes ........... 16
2.11 Les fonctions trigonom´etriques .................. 17
2.12 R´eciproque des fonctions trigonom´etriques ........... 18

1 REVUE DU PR ´ ECALCUL 3
1 Revue du pr´ecalcul
1.1 Fonctions et mod`eles
D´efinition 1.1. Une fonction est une relation math´ematique entre deux
variables (soit la variable ind´ependante et la variable d´ependante) de telle
sorte que chaque valeur de la variable ind´ependante correspond `a une valeur
unique de la variable d´ependante.
Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles per-
mises de la variable ind´ependante.
L’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de la variable
d´ependante qui correspondent `a au moins une valeur de la variable ind´ependante
prise dans le domaine.
Souvent, les math´ematiciens utiliseront xpour d´enoter la variable ind´ependante,
ypour d´enoter la variable d´ependante, et fpour d´enoter la fonction tel que
y=f(x).
Alg`ebre des fonctions :
Soient fet gdeux fonctions sur leur domaines Dfet Dgrespectivement.
Alors, on definit les fonctions f±g, fg, f/g comme suit:
•(f±g)(x) = f(x)±g(x) et on a Df±g=DfTDg.
•(fg)(x) = f(x)g(x) et on a Dfg =DfTDg.
•(f/g)(x) = f(x)/g(x) et on a Df/g ={x∈DfTDg|g(x)6= 0}.
Quelques choses qu’il faut typiquement consid´erer lorsqu’on cherche le do-
maine d’une fonction.
Expression Alg´ebrique On a besoin que ...
1/A A 6= 0
√A A ≥0
ln A A > 0

1 REVUE DU PR ´ ECALCUL 4
Exemple 1.1.1. Le profit, P, de fabriquer xunit´es d’un produit est donn´e
par
P= 5x−√4x−100 −6000.
a) Quel est le domaine de cette fonction?
b) Quel est le profit lorsque 1000 unit´es sont fabriqu´ees?
Exemple 1.1.2. Trouvez le domaine de la fonction
f(x) = x2
x−1, x ≥0.

1 REVUE DU PR ´ ECALCUL 5
1.2 Composition de fonctions
´
Etant donn´e deux fonctions fet g, leur composition,f◦g, est une nouvelle
fonction `a qui les valeurs sont f(g(x)).
Exemple 1.2.1. Soit f(x) = 1 + x2et g(x)=2x−1. Trouvez f◦get g◦f.
Exemple 1.2.2. La vitesse, v(x), en fonction de la distance parcourue xest
v(x) = 5x−√4x−10.
La distance parcourue d´epend aussi du temps, ten secondes, et sont reli´es
par
x(t) = 50
t,
Trouvez ven fonction de t.
Calculez v(20s).