transparents - Jérôme Buzzi`s

Introduction Classification Orbites denses
Syst`emes Dynamiques et Applications
En g´eom´etrie et en th´eorie des nombres
MAT 551
J´erˆome Buzzi (CNRS & Universit´e Paris-Sud)
http://jbuzzi.wordpress.com/teaching
[email protected]
Amphi 2
Dynamique topologique
21 septembre 2011
Ecole polytechnique

Introduction Classification Orbites denses
Syst`emes dynamiques topologiques
D´efinition
(X,T, φ)(ou simplement φ)syst`eme dynamique topologique:
•X espace m´etrique compact
•T semi-groupe topologique
•φ:T×X→X application continue
Exemples
1. Rα:R/Z→R/Z, x 7→ x+α(α∈R/Z)
2. TN:R/Z→R/Z, x 7→ Nx (N ∈N∗)
3. A:G→G, x 7→ g.α(x)avec G groupe m´etrique compact,
g∈G et α∈Aut(G)
4. tout flot pr´eservant une partie compacte d’une vari´et´e
5. mais pas l’application de Gauss, mˆeme sur R/Z
Remarque: pour nous T=R,Zou N

Introduction Classification Orbites denses
Conjugaison topologique
D´efinition
(X,T, φ)et (Y,T, ψ)syst`emes dynamiques topologiques sont:
•topologiquement conjugu´es s’il existe h :X→Y :
•h hom´eomorphisme
•h◦φ(t,x) = ψ(t,h(x)) pour tout (t,x)∈T×X
•topologiquement semi-conjugu´es s’il existe h :X→Y :
•h continue et surjective (X extension, Y facteur)
•h◦φ(t,x) = ψ(t,h(x)) pour tout (t,x)∈T×X
Remarques
•conjugaison = ´equivalence
•semi-conjugaison = pr´e-ordre (mais ´equivalence faible 6=
conjugaison!)

Introduction Classification Orbites denses
Classification topologique
I:C → X, avec Cclasse de syst`emes dynamiques topologiques
D´efinition
Iinvariant topologique dans Csi:
∀φ, ψ ∈ C φ≡ψ=⇒ I(φ) = I(ψ)
Iinvariant topologique complet dans Csi:
∀φ, ψ ∈ C φ≡ψ⇐⇒ I(φ) = I(ψ)
Exemples
•spectre topologique:
σtop(φ) = {λ∈C:∃f∈C0(X)f◦φt=eλtf6= 0}
C:= {Rα:α∈R},I(Rα) := {k±α:k∈Z}
•spectre p´eriodique: σper (φ) := {t∈T:∃x∈Xφt(x) = x}
C:= {TN:N≥1},I(T) := #Fix(T)

Introduction Classification Orbites denses
Semi-conjugaison topologique
f:R/Z→R/ZC0avec f(0) = 0
∃!F:R→RC0telle que F(0) = 0, π(F(x)) = f(π(x))
Exercice
f est une extension topologique de D :R/Z→R/Z
D(x) = (deg f)x avec deg f:= F(1) −F(0)
Montrer que cette extension peut ˆetre non-triviale
Indication
Consid´erer
F(h) = D−1(Id + h)F−Id
sur C0
per (R) muni de khk:= supx|h(x)|.
Exercice
Le degr´e est-il un invariant topologique complet parmi les
f:R/Z→R/ZC0avec f (0) = 0?