Eléments de statistique asymptotique

Éléments de
Statistique
Asymptotique
Marie-Claude VIANO et Charles SUQUET
Master 2 Recherche de Mathématiques année 2010–2011

Table des matières
Introduction 3
Chapitre 1. Rappels sur les notions de convergence 5
1. Distances entre mesures de probabilité 5
2. Convergence de variables aléatoires à valeurs dans des espaces métriques 10
Chapitre 2. Théorèmes classiques : rappels et compléments 15
1. Théorème de Glivenko-Cantelli. Ergodicité. Mesure empirique 15
2. Théorème central limite. Convergence du Processus empirique 26
Chapitre 3. Méthodes du maximum de vraisemblance et M-estimateurs 35
1. Introduction 35
2. Propriétés asymptotiques 37
3. Robustesse 48
4. Robustesse contre efficacité 51
Chapitre 4. Les delta-méthodes 55
1. Introduction 55
2. Notions de dérivabilité directionnelle 57
3. La delta-méthode fonctionnelle 59
4. Application aux M-estimateurs 59
Chapitre 5. Les quantiles 67
1. Définition 67
2. Quelques propriétés élémentaires 67
3. Propriétés asymptotiques des quantiles. 68
4. La fonction quantile 69
5. Une application : l’écart absolu médian 70
6. Une application : la moyenne α-tronquée 71
Annexe A. Solutions d’exercices 73
Bibliographie 81
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Introduction
Ce cours est d’abord une « visite guidée» de quelques points importants en statis-
tique asymptotique : le rôle de la mesure empirique pour estimer la loi des variables,
les δ-méthodes qui permettent d’obtenir les distributions limites d’estimateurs par des
développements limités de la mesure empirique autour de cette loi, les notions de robustesse
qui conduisent à la construction d’estimateurs non optimaux mais aux performances peu
fragiles, les notions de contiguïté et de normalité asymptotique locale qui, par des méth-
odes de géométrie différentielle, fournissent une explication à certains « comportements
invariants» en statistique classique comme la normalité asymptotique des estimateurs du
maximum de vraisemblance et la vitesse en √nobtenue dans la plupart des convergences
en loi.
Le deuxième objectif de ce cours est de quitter le domaine des variables indépendantes,
terrain de prédilection des statisticiens. Pour un statisticien, un «échantillon» est la réal-
isation d’un vecteur aléatoire à composantes indépendantes et de même loi. Depuis une
cinquantaine d’années, on s’est intéressé à ce qu’il advient des résultats limites bien connus
(loi des grands nombres, théorème central limite, loi du logarithme itéré, etc...) lorsque
les variables sont dépendantes. On est arrivé dans bien des cas à évaluer l’impact de la
perte d’indépendance. Dans la mesure du possible, chaque chapitre du cours consacre un
paragraphe à cette question.
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