Chaînes de Markov et Génération Aléatoire

Chaînes de Markov et Génération
Aléatoire
Aléa 2006 - Deuxième partie
P. Duchon
LaBRI
Aléa 06 - Chaînes de Markov – p. 1/29

Couplages d’un graphe
Gun graphe (simple, non orienté, sans boucles, n
sommets) dont les arêtes ont des poids w(e),CGensemble
des couplages (matchings) de G.
w(m) = Y
e∈m
w(e)
π(m) = w(m)
Pm0∈CGw(m0)
On fabrique facilement une chaîne de Markov ergodique,
réversible, dont πsoit la distibution stationnaire/limite.
Aléa 06 - Chaînes de Markov – p. 2/29

Couplages: Chaîne de Markov
Algorithme de transition: dans l’état m:
Avec probabilité 1/2, ne rien faire (m0=m);
Choisir une arête e= (u, v)uniforme;
Déterminer un nouveau couplage m00 :
si e∈m,m00 =m−e
(↓-transition)
si uet vsont libres dans m,m00 =m+e
(↑-transition)
si un seul de uet vest libre dans m, et si l’autre est
incident à une arête e0,m00 =m−e0+e
(↔-transition)
sinon, m00 =m
m0=m00 avec probabilité min(1, w(m0)/w(m)), sinon
m0=m.
(algorithme de Metropolis)
Aléa 06 - Chaînes de Markov – p. 3/29

Couplages: Chaîne de Markov
Algorithme de transition: dans l’état m:
Avec probabilité 1/2, ne rien faire (m0=m);
Choisir une arête e= (u, v)uniforme;
Déterminer un nouveau couplage m00 :
si e∈m,m00 =m−e(↓-transition)
si uet vsont libres dans m,m00 =m+e
(↑-transition)
si un seul de uet vest libre dans m, et si l’autre est
incident à une arête e0,m00 =m−e0+e
(↔-transition)
sinon, m00 =m
m0=m00 avec probabilité min(1, w(m0)/w(m)), sinon
m0=m.
(algorithme de Metropolis)
Aléa 06 - Chaînes de Markov – p. 3/29

Couplages: Chaîne de Markov
Algorithme de transition: dans l’état m:
Avec probabilité 1/2, ne rien faire (m0=m);
Choisir une arête e= (u, v)uniforme;
Déterminer un nouveau couplage m00 :
si e∈m,m00 =m−e(↓-transition)
si uet vsont libres dans m,m00 =m+e(↑-transition)
si un seul de uet vest libre dans m, et si l’autre est
incident à une arête e0,m00 =m−e0+e
(↔-transition)
sinon, m00 =m
m0=m00 avec probabilité min(1, w(m0)/w(m)), sinon
m0=m.
(algorithme de Metropolis)
Aléa 06 - Chaînes de Markov – p. 3/29