Stage Liesse 2017-4

Stage Liesse 2017-4
STAGE 4 (27-28 avril)
CHAINES DE MARKOV ET APPLICATIONS : MODELISATION DE
FILES D’ATTENTE ET SIMULATION DE PHENOMENES
ALEATOIRES
Pré-requis : notions de probabilités et de programmation avec Python
Mots-clés : Probabilités et statistiques, méthodes de Monte-Carlo, MCMC, processus aléatoires,
simulation informatique, Python.
Présentation
L'objectif de ces deux jours de formation est de proposer une introduction aux chaînes de Markov à
temps discret et à temps continu et à leur application à l'étude des phénomènes de files d'attente et
à la simulation des phénomènes aléatoires.
Les cours et le travail sur les implémentations seront imbriqués tout au long des deux jours de stage.
Programme
Probabilités et processus stochastiques
• Rappels de probabilité : loi exponentielle, processus de Poisson, formule de Bayes
• Chaînes de Markov à temps discret (et états discrets): propriété de Markov faible, diagramme de
transition d'états, matrice de transition, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire
• Chaînes de Markov à temps continu (et états discrets): définition, diagramme de transition d'état,
générateur infinitésimal, équations d'équilibrage de charge et distribution stationnaire
• Chaînes de Markov à temps discret et état continu : noyau de transition, caractérisation de la
distribution stationnaire
• Les chaînes de Markov cachées ou fonctions aléatoires d'une chaîne de Markov
Théorie des files d'attente (markoviennes)
Caractérisation des arrivées, des départs
Nombre de serveurs, buffer d'attente
Notation de Kendall

Un exemple simple, la file M/M/1 : caractérisation, distribution stationnaire, performances
moyennes (délai, taux d'utilisation du serveur)
Une file multi-serveurs avec blocage, la file M/M/C/C : caractérisation, distribution stationnaire,
probabilité de blocage (formule d'Erlang-B)
Simulation de phénomènes aléatoires et méthodes MCMC (Monte Carlo par Chaînes de
Markov)
Rappels sur les théorèmes limites : loi forte des grands nombres, théorème Central Limite
Estimation de probabilités par la Méthode de Monte Carlo
Méthodes directes de simulation de variables aléatoires : inversion de la fonction de répartition,
algorithme de Box Müller
Algorithme d'Acceptation-Rejet
Algorithmes de Hastings Metropolis et du Recuit Simulé
Algorithme d'échantillonnage de Gibbs
Mise en œuvre : programmation avec Python
Présentation l'environnement de travail et de quelques librairies scientifiques Python (Numpy,
Scipy, Matplotlib, Sympy, Mayavi)
Simulation d'une chaîne de Markov à temps discret, simulation d'une chaîne de Markov cachée
Simulation de la file M/M/1, évaluation empirique de la stabilité et des performances moyennes
Estimation de la valeur de la constante Pi par Monte Carlo
Simulation du modèle d'Ising par échantillonnage de Gibbs
Optimisation d'une fonction par recuit simulé
Compléments : MOOC “Understanding Queues” de l'Institut Mines-Télécom sur EDX, première session
massive en mai 2017.
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Publié le 26.01.2017
Source URL: http://www.imt-atlantique.fr/node/3777