DM 04 Système du premier ordre

Système du premier ordre : comporteDM 04
ment thermique d’un habitat
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
à rendre le 28/11/2016
Travail demandé
- Individuellement ou en groupe (de trois au maximum), vous réfléchirez aux exercices proposés.
- Chaque étudiant rendra une copie. Si vous avez travaillé en groupe, inscrire explicitement sur chacune des copies avec
qui vous avez travaillé.
Problème inspiré de CCP PC 2010
Dans un réseau électrique, la notion de résistance électrique R traduit une relation de proportionnalité
entre la différence de potentiel u = V2 − V1 existant entre deux points et le courant i qui circule de l’un
à l’autre. Par analogie, dans un réseau thermique, la résistance thermique Rth traduit une relation de
proportionnalité entre la différence de température θ = T2 − T1 existant entre deux endroits et la puissance
thermique Φ (quantité d’énergie thermique par seconde) qui circule de l’un à l’autre.
Dans un réseau électrique, la notion de capacité électrique C traduit une relation de proportionnalité
du
entre la dérivée temporelle
et le courant i lié à la modification de la charge d’un condensateur. Par
dt
analogie, dans un réseau thermique, on définit la capacité thermique Cth d’un système en fonction de la
dθ
et de la puissance thermique Φ.
dérivée temporelle
dt
Le schéma électrique proposé (figure 1) est l’image d’un système thermique élémentaire qui permet de
fixer globalement les idées concernant le comportement thermique d’un habitat. L’ensemble des radiateurs,
alimenté par la chaudière, est assimilé à une source de courant idéale.
Pour simplifier, dans toutes les questions qui suivent, la température extérieure θe sera toujours supposée
constante. Ainsi le milieu extérieur sera assimilé à une source de tension continue. La température θ(t) de
l’habitat sera supposée uniforme dans tout son volume et la capacité thermique de celui-ci sera réduite à
Cth . Entre l’habitat et l’extérieur est représentée la résistance thermique Rth de l’isolation. La référence
de température sera prise ici égale à 0 ◦C. Par analogie avec une référence de potentiel nul, on pourra la
représenter par le symbole d’une « masse » dans un réseau électrique.
Habitat
•
Rth
Isolation
Chaudière + radiateurs
Φ0
symbole d’une source de chaleur
(par analogie avec une
source de courant)
θ
Cth
θe
Milieu extérieur
symbole d’un thermostat
(par analogie avec une source de tension)
Fig. 1 – Analogie électrique d’un système de chauffage.
1. Lorsque le régime permanent est atteint (c’est-à-dire pour une température de l’habitat égale une valeur
de consigne θc ), expliquer pourquoi l’on faire abstraction de Cth .
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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Maxime Champion
2. En déduire en fonction de θe , θc et Rth la puissance thermique Φ0 nécessaire au maintien de la température de consigne en régime permanent. Déterminer sa valeur numérique sachant que : θe = 5 ◦C,
θc = 5 ◦C et Rth = 2.5 mK.W−1 .
La température initiale de l’habitat étant supposée égale à la température extérieure, on met celui-ci
en chauffe à t = 0 en imposant un flux thermique égal à Φ0 . On pose τ0 = Rth Cth .
3. Déterminer l’équation différentielle (sous forme canonique) vérifiée par θ en fonction de τ0 et des données
de l’énoncé.
4. En établissant l’équation différentielle du circuit suivant, montrer que l’installation est équivalente à :
R0
θ0
Cth
θ
On exprimera θ0 et R0 en fonction des données de l’énoncé.
5. Déterminer θ(t) en fonction des θe , Rth , Φ0 , τ0 et t.
6. Tracer l’allure de θ(t).
7. Sachant que Cth = 3.0 MJ.K−1 , déterminer la valeur numérique du temps t1 nécessaire pour atteindre
la valeur de consigne θc à 1 % près.
Ce temps pouvant être jugé trop important, on peut accélérer la mise en température en augmentant
la puissance de chauffe au démarrage puis en la réduisant progressivement de manière à ne jamais dépasser
la consigne choisie. Ceci est rendu aisé grâce aux progrès de l’électronique numérique qui permettent la
programmation des sources de chaleur (sources électriques notamment) de manière à faire évoluer leur
puissance selon des lois dépendant du temps et de divers paramètres fixés (consignes) ou variables (températures existantes).
Dans la mesure où la chaudière est apte à fournir, par exemple, une puissance transitoire dix fois
supérieure au flux Φ0 qui s’impose en régime établi, on peut programmer une puissance de chauffe selon
la loi :
Φ1 (t) = Φ0 (1 + 9 e−t/τ )
8. Ecrire l’équation différentielle (sous forme canonique) régissant l’évolution de θ.
9. Sachant que la solution générale de cette équation est :
θ(t) = θc +
9(θc − θe ) −t/τ
e
+ A e−t/τ0
1 − ττ0
Déterminer la constante d’intégration A dans les mêmes conditions initiales que précédemment.
10. Montrer que l’on peut choisir, pour le paramètre τ , une valeur particulière qui permet d’annuler cette
constante.
11. En déduire, dans ces conditions, en fonction de θe , θc , τ et t, la loi θ(t) qui régit la mise en température.
12. Déterminer la valeur numérique du temps t2 maintenant nécessaire pour atteindre la température de
consigne à 1 % près.
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