Multiples, diviseurs et nombres premiers

Mathématiques en classe de 3ème au collège Haxo – S.Percot
CHAPITRE2:Arithmétique
Lescompétencestravaillées:
Utiliserdesdiviseurs,desmultiples,desnombrespremiers(objA18:p102dumanuel)
Décomposerenproduitdefacteurspremiersetrendreunefractionirréductible(objA19:p104)
I:Multiples,diviseursetnombrespremiers
a)Multiplesetdiviseurs
Définition:Unentiernaturelestunnombreentierpositifounul.
Exemple:0,1,2,3sontdesentiersnaturels.
Définition:Direquel’entiernaturelaestmultipledel’entiernaturelbsignifiequ’ilexisteunentierktelque
a=b×k.Onditaussi:«bestundiviseurdea»ou«aestdivisibleparb»
Exemple:15=3×5.15estunmultiplede5.Autrementdit,5estundiviseurde15.
Remarques:a)Toutnombreestmultiplede1.
Eneffet:Quelquesoitlenombreentiernaturel:a×1=a,donc1estdiviseurdetoutnombre.
Exemple:12×1=12
b)Toutnombreestmultipledelui-mêmedonctoutnombreestdivisibleparlui-même.
Exemple:27=27×1
b)Nombrespremiers
Définition:Unnombrepremierestunentiernaturelquiadmetexactementdeuxdiviseursdistincts,1etluimême.
Débutdelalistedesnombrespremiers:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31… Mais1n’estpaspremiercariln’aqu’unseuldiviseur.
c)Critèresdedivisibilité
• Unnombreestdivisiblepar2s’ilestpair,doncs’ilseterminepar0,2,4,6ou8.
Exemple:276estdivisiblepar2mais375nel’estpas.
• Unnombreestdivisiblepar4silenombreforméparsesdeuxdernierschiffresestunmultiplede4.
Exemple:752estdivisiblepar4mais123nel’estpas.
• Unnombreestdivisiblepar5s’ilseterminepar0ou5.
Exemple:395estdivisiblepar5mais921nel’estpas.
• Unnombreestdivisiblepar3silasommedeseschiffresestunmultiplede3.
Exemple:564estdivisiblepar3car5+6+4=15quiestunmultiplede3.
• Unnombreestdivisiblepar9silasommedeseschiffresestunmultiplede9.
Exemple:765estdivisiblepar9car7+6+5=18quiestunmultiplede9.
d)Diviseurscommunsàdeuxnombresentiers
Définition:Direqu’unnombredestundiviseurcommundedeuxnombresentiersaetbsignifiequeaetb
sontdivisiblespard.
Exemple:1,2,3et6sontlesdiviseurscommunsà12et18.
Définition:Direquedeuxnombresentierssontpremiersentreeuxsignifiequeleurseuldiviseurcommunest
1.
Exemple:
Lesdiviseursde12sont:1,2,3,4,6et12. Lesdiviseursde35sont:1,5,7,35
Leseuldiviseurcommunde12et35est1.Donc12et35sontpremiersentreeux.
Exercicesdumanuelliésàcettenotion:
Exercices1à25page102-103
II:Décompositionetfractionsirréductibles
Propriété:Onpeuttoujoursdécomposerunnombrenonpremierenproduitdeplusieursfacteurspremiers.
Exemple:Onpeutdécomposer588enproduitdefacteurspremiers:
588=2×294
2×147
3×49
7×7
Ainsi588=2×2×3×7×7=22×3×72
a
Définition:Soitaetbdeuxentiers.Onditquelafraction estirréductiblelorsquequeaetbsontpremiers
b
entreeux.
5
Exemple: estunefractionirréductiblecar5et7sontpremiersentreeux.
7
Onpeutsimplifierfacilementunefractionetlarendreirréductibleendécomposantsonnumérateuretson
dénominateurenproduitsdefacteurspremiers.
!"#
Exemple:onveutsimplifierlafraction !" 120=23×3×5
84=22×3×7
120 2! ×3×5 2×2×2×3×5 2×5 10
= !
=
=
= 84
2 ×3×7
2×2×3×7
7
7
!"
estunefractionirréductible
!
Exercicesdumanuelliésàcettenotion:
Exercices1à19page104-105