Multiples, diviseurs et nombres premiers

Mathématiques en classe de 3ème au collège Haxo – S.Percot
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<=>0-.0%&'(&/(.'0)+#"()&(?:>"&+'%(.'&-#&'%(&"('&/)'&(+/&(?':>"#0/(#''=)+>"#1$&(2013(45@7(.(58A;!
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%)+)>3=.-9=46?)@-<-643,6)4.):80A,46)9,40-4,6)
)
;B)>3=.-9=46)4.)@-<-643,6)
C1D-:-.-8:)+!Un!entier!naturel!est!un!nombre!entier!positif!ou!nul.!
BC&-.$&(7(8,(5,(9,(D(%0/"()&%(&/"#&'%(/:"+'&$%E(
)
C1D-:-.-8:)+!Dire!que!l’entier!naturel!:!est!multiple!de!l’entier!naturel!1!signifie!qu’il!existe!un!entier!F!tel!que!
a)E)bFkG)On!dit!aussi!:!«1!est!un!diviseur!de!:!»!ou!«:!est!divisible!par!1»!
BC&-.$&(7(5GH(DIGE((5G(&%"(+/(-+$"#.$&()&(GE(4+"'&-&/"()#",(G(&%"(+/()#*#%&+'()&(5GE(
!
Remarques!:!!a)!Tout!nombre!est!multiple!de!1.!!
En!effet!:!Quel!que!soit!le!nombre!entier!naturel!7(:(×!1!=!:,(donc!1!est!diviseur!de!tout!nombre.!!
BC&-.$&(7(59(I(5(H(59!
!
b)!Tout!nombre!est!multiple!de!lui-même!donc!tout!nombre!est!divisible!par!lui-même.!
BC&-.$&(7(9J(H(9J(I(5((
)
AB)H80A,46)9,40-4,6)
C1D-:-.-8:)+!Un!nombre!premier!est!un!entier!naturel!qui!admet!exactement!deux!diviseurs!distincts,!1!et!lui-
même.!
<=1+"()&($:($#%"&()&%(/0-1'&%(.'&-#&'%(7(9,(D,(G,(J,(55,(5D,(5J,(5@,(9D,(9@,(D5(K( (
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)
7B)!,-.I,46)@4)@-<-6-A-=-.1)
• Un!nombre!est!divisible!par!2!s’il!est!pair,!donc!s’il!se!termine!par!0,!2,!4,!6!ou!8.!
BC&-.$&(7(((9JO(&%"()#*#%#1$&(.:'(9(-:#%(DJG(/&($M&%"(.:%E(
• Un!nombre!est!divisible!par!4!si!le!nombre!formé!par!ses!deux!derniers!chiffres!est!un!multiple!de!4.!
BC&-.$&(7(((JG9(&%"()#*#%#1$&(.:'(A(-:#%(59D(/&($M&%"(.:%E(
• Un!nombre!est!divisible!par!5!s’il!se!termine!par!!0!ou!5.!
BC&-.$&(7(((D@G(&%"()#*#%#1$&(.:'(G(-:#%(@95(/&($M&%"(.:%E(
• Un!nombre!est!divisible!par!3!si!la!somme!de!ses!chiffres!est!un!multiple!de!3.!
BC&-.$&(7(((GOA(&%"()#*#%#1$&(.:'(D(>:'(GPOPA(H(5G(N+#(&%"(+/(-+$"#.$&()&(DE(
• Un!nombre!est!divisible!par!9!si!la!somme!de!ses!chiffres!est!un!multiple!de!9.!
BC&-.$&(7(((JOG(&%"()#*#%#1$&(.:'(@(>:'(JPOPGH56(N+#(&%"(+/(-+$"#.$&()&(@E(
!
@B)C-<-643,6)78003:6)J)@43K):80A,46)4:.-4,6)
Définition+:(<#'&(N+M+/(/0-1'&()(&%"(+/()#*#%&+'(>0--+/()&()&+C(/0-1'&%(&/"#&'%(:(&"(1(%#Q/#?#&(N+&(:(&"(1(
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BC&-.$&(7(5,(9,(D(&"(O(%0/"($&%()#*#%&+'%(>0--+/%(R(59(&"(56E+
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Définition+:(<#'&(N+&()&+C(/0-1'&%(&/"#&'%(%0/"(premiers+entre+eux(%#Q/#?#&(N+&($&+'(%&+$()#*#%&+'(>0--+/(&%"(
5E(+

Exemple!:!!
Les!diviseurs!de!12!sont!:!1,!2,!3,!4,!6!et!12.! ! !
Les!diviseurs!de!35!sont!:!1,!5,!7,!35!
Le!seul!diviseur!commun!de!12!et!35!est!1.!Donc!12!et!35!sont!premiers!entre!eux.!
!
BC&'>#>&%()+(-:/+&$($#=%(R(>&""&(/0"#0/(7((
((((((BC&'>#>&%(5(R(9G(.:Q&(589(S(58D(
!
%%)+)C1780986-.-8:)4.)D,;7.-8:6)-,,[email protected]=46)
!
$,89,-1.1)+!On!peut!toujours!décomposer!un!nombre!non!premier!en!produit!de!plusieurs!facteurs!premiers.!
!
BC&-.$&(7(T/(.&+"()=>0-.0%&'(G66(&/(.'0)+#"()&(?:>"&+'%(.'&-#&'%(7(
!
588!!=!2!!!!×!!!294! !!
!
!!!!!!!!!!!!2!×!147!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!3!×!49!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!7!×!7!
!
Ainsi!588!=!2!×!2!×!3!×!7!×!7!=!22!×!3!×!72!
)
C1D-:-.-8:)+!Soit!:!et!1!deux!entiers.!On!dit!que!la!fraction! est!-,,[email protected]=4!lorsque!que!:!et(1!sont!premiers!
entre!eux.!
BC&-.$&(7(( &%"(+/&(?':>"#0/(#''=)+>"#1$&(>:'(G(&"(J(%0/"(.'&-#&'%(&/"'&(&+CE((
)
On!peut!simplifier!facilement!une!fraction!et!la!rendre!irréductible!en!décomposant!son!numérateur!et!son!
dénominateur!en!produits!de!facteurs!premiers.!
Exemple!:!on!veut!simplifier!la!fraction!!"#
!" !
120!=!23!×!3!×!5!
84!=!22!×!3!×!7!
120
84 =
2!×3×5
2!×3×7=
2×2×2×3×5
2×2×3×7=
2×5
7=
10
7!
!
!"
!!est!une!fraction!irréductible!
!
BC&'>#>&%()+(-:/+&$($#=%(R(>&""&(/0"#0/(7((
((((((BC&'>#>&%(5(R(5@(.:Q&(58A(S(58G(
!
a
b
5
7