Nombres premiers, divisibilité

Préparation à l'agrégation 2009/2010
Option Algèbre et Calcul Formel
Nombres premiers, divisibilité
1. Les nombres de Mersenne
On appelle 𝑛-ième nombre de Mersenne, le nombre 𝑀𝑛 = 2𝑛 − 1. On
remarque qu'une condition nécessaire pour que 𝑀𝑛 soit un nombre premier
est que 𝑛 soit lui-même premier.
Chercher ce qui concerne les nombres de Mersenne dans l'aide en ligne.
Ecrire un programme en Maple qui prend en entrée l'entier 𝑁 et calcule la liste
des entiers premiers de Mersenne compris entre 2 et 𝑁 .
Soit 𝑝 un nombre premier. Soit 𝑞 un diviseur premier de 𝑀𝑝 . Montrer que 𝑝
divise 𝑞 − 1. En utilisant cette propriété, écrire un programme qui trouve le plus
petit facteur de nombres de Mersenne, et tester son ecacité sur de très grands
nombres de Mersenne (par exemple, 𝑛 = 1009, 𝑛 = 3571, pour que l'exemple
soit probant, il faut que la taille du nombre ne permette pas l'utilisation de
ifactor ou divisors).
Chercher dans l'aide en ligne les diverses possibiltés pour calculer la puissance d'un entier modulo un autre. Pour tester 2𝑛 ≡ 1[𝑝], on utilise la commande
2&∧ 𝑛 mod 𝑝 qui permet d'eectuer tous les calculs modulo 𝑝, ce qui restreint
la taille des entiers considérés et permet de traiter de grandes valeurs de 𝑛.
2. Nombres parfaits
Soit 𝑁 un nombre entier. On dit que 𝑁 est parfait s'il vérie :
2𝑁 =
∑
𝑑.
𝑑∣𝑁
1. Ecrire une procédure qui teste si un nombre est parfait ou non : parfait
prend en entrée 𝑁 et renvoie 1 ou true si 𝑁 est parfait et 0 ou false
sinon. Regarder dans l'aide en ligne les commandes divisor et sigma.
2. Ecrire une procédure qui prend en entrée 𝑁 et renvoie la liste des entiers parfaits 𝑛 tels que 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 . Le faire tourner pour 𝑁 = 105 ,
éventuellement plus si cela tourne rapidement.
3. Factoriser les nombres parfaits obtenus. Etablir une conjecture.
4 La démontrer (un nombre pair 𝑁 est parfait si et seulement si il existe un
nombre de Mersenne 2𝑝 − 1 premier tel que 𝑁 = 2𝑝−1 (2𝑝 − 1)).
5 Etablir la liste des 10 premiers nombres parfaits pairs.
6 Déterminer un nombre parfait > 1075 .
C. Picaronny & J. Villard
1
E.N.S. de Cachan
Préparation à l'agrégation 2009/2010
Option Algèbre et Calcul Formel
3. Répartition des nombres premiers
Ecrire une procédure nombreDePremiers qui prend en entrée un réel positif
𝑥 et renvoie le nombre de nombres premiers ⩽ 𝑥.
Représenter les graphes de la fonction 𝑥 7→ nombreDePremiers(𝑥) et de la
fonction 𝑥 7→ 𝑥(𝑥) pour 𝑥 ∈ [1, 103 ] sur un même graphique.
ln
4. "Probabilité" pour que deux entiers tirés au hasard soient premiers
entre eux.
Soit 𝑛 un entier naturel non nuls. On dénit 𝑁 (𝑛) le nombre de couples d'entiers naturels non nuls (𝑙, 𝑚) tels que 1 ⩽ 𝑙 ⩽ 𝑛, 1 ⩽ 𝑚 ⩽ 𝑛 et
p.g.c.d.(𝑙, 𝑚) = 1.
1. Ecrire une procédure (ou une fonction) qui prend en entrée 𝑛 et renvoie
𝑁 (𝑛).
2. Faire le graphe de 𝑛 7→
𝑁 (𝑛)
𝑛2
sur l'intervalle [1, 103 ]. Que constatez vous ?
3. Quelle est la limite de cette fonction en +∞ ? ( 𝜋62 = (
∑
1 −1
𝑛2 )
).
5. Répartition des nombres premiers de Sophie Germain
Soit 𝑝 un nombre premier. On dit que 𝑝 est un
Germain si 2𝑝 + 1 est aussi un nombre premier
nombre premier de Sophie
Ecrire une procédure premiersGermain qui prend en entrée un entier naturel
𝑁 et renvoie renvoie 1 ou (true) si 𝑁 est un nombre premier de Sophie Germain
et 0 ou (false) sinon.
Ecrire une procédure nombreGermain qui prend en entrée un réel positif 𝑥 et
renvoie le nombre de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs ou égaux
à 𝑥.
Représenter les graphes de la fonction 𝑥 7→ nombreGermain(𝑥)
𝑥 ∈ [1, 103 ]. Que conjecturer?
2
ln
(𝑥)
𝑥
pour
Réciproquement, un nombre premier 𝑞 de la forme 𝑞 = 2𝑝 + 1 est dit nombre
Ils sont utilisés en cryptologie. Un nombre de Mersenne peut-il
être de Sophie Germain ? (exercice).
premier sûr.
C. Picaronny & J. Villard
2
E.N.S. de Cachan