Distances, tangentes et bissectrices

Distance tangente et bissectrices
Chapitre G3 du livre
I. Notion de distance
1.) Distance entre deux points
La distance entre deux points est la longueur du segment qui a pour extrémités ces
deux points.
La distance entre A et B est la longueur :
AB = d
Ici, d = 5 cm
2.) Distance d’un point à une droite
La distance d’un point à une droite est la plus petite distance entre ce point et un
point de la droite.
La distance d’un point P à une droite () est la longueur du segment qui a pour
extrémités le point P et le point d’intersection H de la perpendiculaire à () issue de P.
La distance entre P et () est la longueur :
PH = d
Ici, d = 2,8 cm
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PH < PA
PH < PB < PC
Remarques :

Si un point P appartient à la droite () alors la distance de P à () est égale à zéro.

Si un triangle est rectangle alors l’hypoténuse est son plus grand côté.
3.) Distance entre deux droites parallèles
La distance entre deux droites parallèles est la longueur du segment qui a pour
extrémités les points d’intersection d’une perpendiculaire aux deux droites.
La distance entre () et () est la longueur :
MN = d
Ici, d = 3 cm
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II. La tangente à un cercle
1.) Définition
La tangente à un cercle est une droite qui coupe le cercle en un seul point.
La droite () et le cercle C ont le seul point
T commun donc la droite () est tangente au
cercle C .
2.) Propriété :
La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon du cercle en ce point.
Si () est tangente au cercle C en T
alors, () est perpendiculaire au rayon (OT)
Remarque :
La distance du centre d’un cercle à une de ses
tangentes est égale à un rayon du cercle.
Positions relatives d'une droite et d'un cercle :
Si OH < OT, alors la droite () est sécante au
Si OH > OT, alors la droite () est extérieure
cercle C
au cercle C
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3.) Réciproque :
Si une droite est perpendiculaire à un rayon d'un cercle en son extrémité, alors,
elle est tangente au cercle.
Si () est perpendiculaire au rayon (OT) en T
alors, () est tangente au cercle C en T
4.) Construction d'une tangente au compas
Cela revient à construire la médiatrice du segment d'extrémité le centre du cercle
et de milieu le point de tangence.
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III. Bissectrices d’un angle et cercle inscrit
1.) Bissectrice d’un angle
a. Définition et construction
La bissectrice d’un angle est une demi-droite qui partage cet angle en deux angles de
même mesure.
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Pour construire cette bissectrice on peut utiliser un rapporteur et une règle
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b. Propriété et construction
Chaque point d’une bissectrice d’un angle est à égale distance des deux côtés de cet
angle.
Si P  (Oz)
Alors, PH = PK
Pour construire cette bissectrice on peut utiliser une règle graduée et une équerre.
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Pour construire cette bissectrice on peut utiliser un compas et une règle.
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2.) Cercle inscrit dans un triangle
Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un point qui est le centre du cercle
inscrit à ce triangle.
Un cercle est inscrit dans un triangle si ses trois côtés sont tangents à ce cercle.
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Si (AB), (BC) et (CA) sont tangentes à C,
alors, le cercle C est inscrit dans le triangle
ABC
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