SUR LES SOUS-GROUPES ALGEBRIQUES PRIMITIFS - IMJ-PRG

H. Umemura
Nagoya Math. J.
Vol. 79 (1980), 47-67
SUR LES SOUS-GROUPES ALGEBRIQUES PRIMITIFS
DU GROUPE DE CREMONA A TROIS VARIABLES
HIROSHI UMEMURA
Au 19e siecle le terme de geometrie algebrique designait exclusivement
la geometrie birationnelle. Aujourd'hui on n'accepterait pas cette defini-
tion, parce que Γobjet de la geometrie algebrique est celui des invariants
bireguliers plutόt que birationnels. Quelle que soit la definition adoptee,
il est interessant de connaitre la structure de groupes des automorphismes
birationnels. Mais celle-ci est tres peu connue (Mumford [10]). La ques-
tion suivante a ete posee depuis longtemps; determiner a conjugaison pres
tous les sous-groupes algebriques connexes et maximaux du groupe de
Cremona Crn. Le groupe Crn est, par definition, le groupe des automor-
phismes du corps des functions rationnelles a n indeterminees. Si n = 1.
(>! coincide avec le groupe des automorphismes de P1# Enriques a resolu
ce probleme pour n = 2 (Enriques [5]). On croit generalement (par exemple
Godeaux [8]) que Enriques et Fano Γont fait pour n = 3 (Enriques et Fano
[6]). Apres avoir collabore avec Enriques, G. Fano a travaille seul sur
ce probleme et il a laisse des resultats tres interessants dont la plupart
des demonstrations ne semble pas rigoureuse. Demazure [4] a etudie les;
sous-groupes algebriques de rang maximum n de Crn. II a demontre qu'il
y a une correspondence bijective entre les sous-groupes algebriques de rang
maximum n de Crn et les systemes dΈnriques. Puisque les derniers sont
de nature combinatoire, c'est un dictionaire geometrique-combinatoire.
Mais il y a des sous-groupes algebriques maximaux dans Crn dont les rang
sont < 72, par exemple (PSO59 quadrique c P4) dans O3 (voir la remarque
(3.15.2) et [14]).
Nous reprenons, dans cet article, le cas oύ n = 3 et G est primitif et
retrouvons le resultat de Enriques et Fano [6] et Fano [7]. Une operation
algebrique (G, X) est dite primitive si G ne laisse meme localement aucun
feullitage analytique invariant. Nous classifions birationnellement les
Received December 21, 1978.
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operations algebriques primitives (G, X) oύ X est une variete algebrique
rationnelle de dimension 3. Toute telle operation est birationnellement
isomorphe a une sous-operation algebrique de (PGL4, P3) et (PSO5, quadrique
C P4) (theoreme 3.4 et corollaire 3.14). En particulier, les operations
(PGLA, P3) et (PSO5, quadrique C P4) determinent des classes de conjugaison
maximales de sous-groupes algebriques connexes de Crz. On peut demontrer
directement la maximalite des operations algebriques (PGLi9 P3) et (PSO5,
quadrique C P5). D'ailleurs le theoreme 3.4 est indipensable quand on
etudie les sous-groupes algebriques imprimitifs de O3 (Umemura [14]).
Pour donner une demonstration au gout du jour, il faut distinguer les
notions locales et globales ainsi que les notions analytiques et algebriques.
Pour cette raison, aux premier et second paragraphes, nous rappelons les
definitions connues pour rendre claires les termes utilises. Notre classifi-
cation birationnelle repose sur le theoreme de Lie (Kapitel 7, § 36, Lie [9])
ainsi que la classification de Enriques et Fano [6]. D'abord, utilisant le
theoreme de Lie (la classification analytique locale), nous etablissons la
classification analytique globale. Puis nous demontrons que tout isomor-
phisme analytique global est algebrique.
§1. Definitions analytiques
DEFINITION 1.1 (Bourbaki [3]). On appelle groupuscule analytique un
systeme (G, e, θ, m) verifiant les conditions suivantes:
( i ) G est une variete analytique complexe;
(ii ) eeG;
(in) θ est une application analytique d'un voisinage de e dans G;
(iv) m est une application analytique d'une partie ouverte Ω de G
X G dans G;
( v ) pour tout g e G, on a (e, g) e Ω, (g, e) e Ω, m(e, g) = m(g, e) = g;
( vi ) pour tout g e G tel que θ(g) soit defini, on a (g9 θ(g)) e Ω, (θ(g), g)
e Ω9 m(g, θ(g)) = m(θ(g\ g) = e;
(vii) Si g, h, k sont des elements de G tels que
(g, h) e Ω , (Λ, k) e Ω , (m(g, ft), k) e Ω , (g, m(h, k)) e Ω ,
alors
m(m(g, h), k) = m(g, m(h, k)) .
L'element e s'appelle Γelement neutre de la groupuscule analytique.
On ecrit gh au lieu de m(g, h), et g'1 au lieu de θ(g).

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DEFINITION 1.2. Soient Gl9 G2 deux groupuscules analytiques, d'elements
neutres eu e2. Un morphisme de groupuscules analytiques / de Gί dans
G2 est une application analytique d'un sous-ensemble ouvert Ux contenant
βj dans G2 verifiant les conditions suivantes:
(i) f(e1) = et;
(ii) Si g, h dans Uί sont tels que gh soit defini et gh soit un element
de Ul9 alors f(g)f(h) est defini et egal a f(gh).
Le compose de deux morphismes de groupuscules analytiques est un
morphisme de groupuscules analytiques. L'ensemble des groupuscules
analytiques forme une categorie. Elle est equivalente a la categorie des
algebres de Lie de dimension fine.
DEFINITION 1.3. On dit que deux groupuscules analytiques Gl9 G2 sont
localement isomorphes s'il existe deux morphismes de groupuscules analy-
tiques /: Gί -+ G2 et /': G2 —> Gj tels que / et f sont des applications reci-
proques Γune de Γautre aux voisinages des elements neutres.
Soient (G, e, θ, m) un groupuscule analytique, X une variete complexe
connexe.
DEFINITION 1.4. On appelle morceau de loi d'operation analytique a
gauche de G dans X une application analytique ψ d'une partie ouverte Ω
de G X X contenant {e} X X dans X verifiant les proprietes suivantes:
(i) pour tout x e X, on a ψ(e, x) = x;
(ii) il existe un voisinage Ωx de {e} X {e} X X dans G X G X X tel
que, pour (g,g',x)eΩu les elements m(g,g'), ψ(g',x), ψ(m(g, g'\x%
Ψ(g, Ψ(g', x)) soient definis et ψ(g, ψ(g', x)) = ψ(m(g, g')9 x).
On ecrit gx au lieu de ψ(g, x).
Soit U Φ φ un sous-ensemble ouvert connexe de X. Alors (G, X) induit
sur (G, U) une structure de morceau de loi d'operation analytique.
DEFINITION 1.5. Un morceau de loi d'operation analytique a gauche
est dit operation analytique a gauche si G est un groupe analytique et ψ
est une application analytique de G X X dans X.
On ecrit gx au lieu de ψ(g, x). Bien que la definition d'un morceau
de loi d'operation depende de ψ, nous utiliserons la notation (G, X) sans
preciser -ψ . Puisque dans la suite on ne considere que des morceaux de
lois d'operation analytique a gauche, on les appelle simplement morceaux
de lois d'operation analytique.

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DEFINITION 1.6. Soient (G19 Xt)9 (G2, X2) deux morceaux de lois d'opera-
tion analytique. Un morphisme de morceaux de lois d'operation analytique
(ou un morphisme analytique local) (<p9 f) de (Gl9 Xt) dans (G2, X2) consiste
en un morphisme de groupuscules analytiques φ de Gλ dans G2 et une
application analytique / d'un sous-ensemble ouvert non vide de X1 dans X2
verifiant la condition suivante: si geG, xeXi tels que gx,φ(g), f(x),
φ{g)t{x) et f(gx) soient definis, alors f(gx) = φ(g)f(x).
On dit que (Gί9 XJ est isomorphe a (G2, X2) en tant que morceaux de
lois d'operation analytique s'il existe un morphisme local (/, φ) de (Gl9 Xt)
dans (G2, X2) tel que φ soit un isomorphisme local et / soit un isomorphisme
d'un ouvert de Xί sur un ouvert de X2.
Soient (Gl9 X^9 (G2, X2) deux operations analytiques. Un morphisme
d'operations analytiques (ou morphisme analytique global) (φ9f) est un
morphisme analytique local (φ9f) tel que φ soit morphisme de groupe
analytique, / soit une application holomorphe et f(gx) = φ(g)f(x) pour tout
g 6 Gί9 tout x e Xu
Puisque Γon ne peut pas toujours definir le compose de deux mor-
phismes analytiques locaux, Γensemble des morceaux de lois d'operation
analytique ne forme pas de categorie. Pour la meme raison, la notion
d'isomorphisme local ne definit pas de relation d'equivalence.
Soit (G, X) un morceau de loi d'operation analytique. Alors il induit
un morphisme de Γalgebre de Lie g de G dans Γalgebre de Lie des champs
de vecteurs holomorphes sur X et inversement un morphisme de g dans
Γalgebre de Lie des champs de vecteurs holomorphes sur X defini un
morceau de loi d'operation analytique (voir Bourbaki [3]).
DEFINITION 1.7. Un morceau de loi d'operation analytique (G, X) est
dit effectif si le morphisme de g dans Γalgebre de Lie des champs de
vecteurs holomorphes sur X est injectif.
PROPOSITION 1.8. Soit (G, X) un morceau de loi d'operation analytique.
II existe un morceau de loi d'operation analytique effectif (G\ X) et un
morphisme de morceaux de loi d'operation analytique de (G, X) dans (G', X).
C'est une consequence du theoreme 6 III, § 4 Bourbaki [3].
Soit (G, X) une operation analytique. Nous aurons besoin de la con-
dition suivante:
CONDITION 1.9. L'homomorphisme de G dans Aut X de groupes induit
par operation est injectif (cf. definition 1.7).

GROUPE DE CREMONA 51
PROPOSITION 1.10. Soit (G, X) une operation analytique. II existe une
operation analytique (G\ X) satisfaisant a la condition (1.9) et un morphisme
d'operatίons analytiques de (G, X) dans (G\ X).
II suffit de considerer (G/N, X) oύ N est le noyau de G -> Aut X (cf.
remarque (2.22).
DEFINITION 1.11. Soit (G, X) un morceau de loi d'operation analytique.
On dit que (G, X) est imprirnitif s'il existe un morceau de loi d'operation
analytique (H, Y) et un morphisme de morceaux lois d'operation analytique
(φ,f) de (G,X) dans (H, Y) satisfaisant aux conditions suivantes: (1) il
existe un point x e X tel que Γapplication / soit deίinie en x et la matrice
jacobienne de / ne s'annule pas en x. (2) dim X > dim Y > 0. On dit que
(G, X) est primitif lorsque (G, X) n'est pas imprimitif.
Par calcul, S. Lie [9] a classiίie tous les morceaux de lois d'operation
analytique eίfectif (G, X) a relation d'equivalence engendree par iso-
morphisme local pres, si la dimension de X < 2. C'est un des principaux
travaux de Lie. Lorsque la dimension de X est egale a 3, il a donne la
liste exhaustive des morceaux de lois d'operation primitifs. De plus, il a
etudie certains morceaux de lois d'operation imprimitifs de dimension 3.
THEOREME 1.12 (Lie [9]). Soit (G, X) un morceau de loi d'operation
analytique effectif. Si (G, X) est primitif et la dimension de X est 3, alors
(G, X) est localement ίsomorphe a un des morceaux de lois d'operation
analytique suivants:
(1) (PGLi9P3);
(2) (GTAZ,AZ);
(3) (SGTAS,A3);
(4)
(5)
(6) (GTEZ,A3);
(7) (GSZ,A3);
(8) (PSOs, {xl + x\ + x\ + x\ + x\ = 0} c P4).
On trouve ci-dessous la definition des groupes: GTAZ est le groupe
des transformations affines. Autrement dit, c'est le sous-groupe de PGL^
forme des matrices ί * ) oύ x e C\ A e GLZ. GTAZ est un sous-groupe
algebrique de PGL4. Ainsi GTAZ opere sur Pz laissant invariant le plan