Corrigé maths : intervalles, encadrements et valeur absolue

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CORRECTION DES EXERCICES DE MATHÉMATIQUES
Intervalles • Encadrements • Valeur absolue
EXERCICE 1 — Les intervalles
1. Écrire sous forme d’inégalités
a) x ∈ ]−2 ; +∞[ ■ x > −2
b) x ∈ ]−3 ; 0] ■ −3 < x ≤ 0
Rappel : un crochet tourné vers l’extérieur exclut la borne ; un crochet fermé/inclusif signifie que la borne est comprise.
2. Écrire sous forme d’intervalles
a) −4 ≤ x ■ x ∈ [−4 ; +∞[
b) La lecture de cette inégalité sur la photo est incertaine. Si elle est bien −1 ≤ t ≤ −4, il n’y a aucune
solution, car les deux conditions sont incompatibles.
c) x < 9 ■ x ∈ ]−∞ ; 9[
3. Intersections et unions
a) ]−3 ; 2] ∩ ]−∞ ; 0[ = ]−3 ; 0[
b) [−1 ; +∞[ ∪ ]−∞ ; 4[ = ■
c) [−5 ; 1] ∩ [−2 ; +∞[ = [−2 ; 1]
∩ signifie « intersection » : on garde les nombres communs. ∪ signifie « union » : on réunit les nombres des deux
intervalles.
EXERCICE 2 — Les encadrements
1. Encadrer x
On donne : 5/4 ≤ 3x/2 + 5 ≤ 3/2.
On soustrait 5 aux trois membres : −15/4 ≤ 3x/2 ≤ −7/2.
On multiplie par 2/3 : −5/2 ≤ x ≤ −7/3.
2. Encadrer t
On donne : 1/3 ≤ (−2t + 3)/4 ≤ 5.
On multiplie par 4 : 4/3 ≤ −2t + 3 ≤ 20.
On soustrait 3 : −5/3 ≤ −2t ≤ 17.
On divise par −2 et on inverse le sens des inégalités : −17/2 ≤ t ≤ 5/6.
3. Encadrer (−4x + 1)/3
Lecture supposée de la photo : x ∈ ]1 ; 3].
À x = 3, l’expression vaut −11/3. À x = 1, elle vaut −1, mais 1 est exclu.
Donc : −11/3 ≤ (−4x + 1)/3 < −1.
4. Avec −3 < x < −1 et 2 ≤ y ≤ 4
a) Encadrer x + 3y : comme 6 ≤ 3y ≤ 12, on obtient 3 < x + 3y < 11.
b) Encadrer (4x − 7)/3 : −12 < 4x < −4, donc −19 < 4x − 7 < −11. Ainsi −19/3 < (4x − 7)/3 < −11/3.

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EXERCICE 3 — Valeur absolue
Rappel
|A| = A si A ≥ 0 ; et |A| = −A si A < 0.
A) A(x) = |−x + 5|
−x + 5 ≥ 0 lorsque x ≤ 5. Donc :
A(x) = −x + 5 si x ≤ 5 ; A(x) = x − 5 si x > 5.
B) B(x)
L’expression exacte est trop difficile à lire sur la photo. Il faut vérifier la ligne originale pour corriger cette
question sans risquer d’inventer l’expression.
C) C(x) = |2x − 4| + |7 − x|
Les expressions s’annulent en x = 2 et x = 7. On distingue donc trois cas :
• Si x < 2 : C(x) = −(2x − 4) + (7 − x) = 11 − 3x.
• Si 2 ≤ x < 7 : C(x) = (2x − 4) + (7 − x) = x + 3.
• Si x ≥ 7 : C(x) = (2x − 4) − (7 − x) = 3x − 11.
Réponse : C(x) = 11 − 3x si x < 2 ; C(x) = x + 3 si 2 ≤ x < 7 ; C(x) = 3x − 11 si x ≥ 7.
À vérifier sur la photo originale : quelques signes et une expression sont difficiles à déchiffrer. Les résultats concernés
sont indiqués comme lectures supposées.