Axiome du choix et lemme de Zorn – Problème corrigé MPSI/MP2I

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 / MP2I – Mathématiques
A. Troesch
Axiome du choix et lemme de Zorn
Durée : 3h
Difficulté : 5/5
Sources :
1. R. Peyre, Le lemme de Zorn
2. Wikipedia
Problème –Équivalence entre l’axiome du choix et le lemme de Zorn
Le but de ce problème est de montrer que l’axiome du choix est équivalent au lemme de Zorn. Cela prouve au passage
que le lemme de Zorn est indécidable, tout comme l’axiome du choix.
Dans tout le problème, Edésigne un ensemble ordonné. Nous notons ďla relation d’ordre large, et ăla relation
d’ordre stricte associée. Les notations ěet ądésignent comme d’habitude les relations duales de ďet ă.
Nous rappelons les définitions et résultats suivants :
‚L’axiome du choix stipule que pour toute famille pAiqiPId’ensembles non vides, il existe une fonction de choix
f:IÝÑ ď
iPI
Aitelle que pour tout iPI,fpiq P Ai. Ainsi, on peut choisir simultanément un élément dans
chacun des Ai.
‚On rappelle qu’un élément md’un ensemble ordonné Eest maximal s’il n’admet aucun majorant strict.
‚On appelle chaîne un sous-ensemble Cde Etel que la restriction à Cde l’ordre de Esoit un ordre total.
Autrement dit, une chaîne Cde Eest un sous-ensemble totalement ordonné de E.
‚On dit qu’un ensemble Eest inductif si toute chaîne de Eadmet un majorant.
‚Le lemme de Zorn stipule que tout ensemble inductif admet un élément maximal.
‚Étant donnés deux sous-ensembles Iet Ade E, nous dirons que Iest un segment initial de Asi IĂA,I‰A,
et si pour tout xPAzI,xest un majorant de I.
‚Enfin, pour tout xPE, nous noterons Jx“ tyPE|yăx.u.
Partie I – Préliminaire sur les bonnes chaînes
Dans cette partie, nous supposons l’axiome du choix. Nous nous donnons un ensemble ordonné E, supposé inductif,
dans le but de montrer qu’il admet un élément maximal (lemme de Zorn). Pour cela, nous notons Cl’ensemble des
chaînes de E. L’ensemble Eétant inductif, ces chaînes sont toutes majorées. On note C0l’ensemble des chaînes Cde
Eadmettant un majorant strict, donc Mmajorant C, avec MRC.
On définit une fonction m:C0ÝÑ E, en posant, pour tout Cde C0,mpCqun majorant strict de Cdans E. Ainsi,
pour tout Cde C0et tout xPC, on a xămpCq.
1. Soit CPC, et Iun segment initial de C. Montrer que IPC0.
On dit qu’une chaîne Cde Cest bonne si pour tout segment initial Ide C,mpIq P Cet mpIqest le plus petit élément
de C|I. On note Bl’ensemble des bonnes chaînes.
2. Soient C1et C2deux bonnes chaînes distinctes et xPC1XC2.
(a) Montrer que C1XJxest un segment initial de C1.
(b) On suppose que C1XJxest un segment initial de C2. Montrer que C1XJxPC0, que mpC1XJxq P C1XC2,
et que mpC1XJxq “ x.
(c) En déduire que si C1XJxest un segment initial de C2, alors C1XJx“C2XJx.
(d) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1

(i) C1XJxest un segment initial de C2
(ii) C2XJxest un segment initial de C1.
On note C˚“ txPC1XC2|C1XJxest un segment initial de C2.u. On a évidemment C˚ĂC1et C˚ĂC2. Les
chaînes C1et C2étant distinctes, une au moins de ces inclusions est stricte. On suppose dorénavant que C˚‰C1.
3. (a) Montrer que pour tout xPC˚, et tout zPC1, si zăx, alors C1XJzest un segment initial de C2.
(b) En déduire que C˚est un segment initial de C1.
4. En raisonnant par l’absurde, et en considérant mpC˚q, montrer que C˚“C2
Ainsi, on a montré qu’étant données deux bonnes chaînes C1et C2distinctes, l’une est segment initial de l’autre.
Partie II – L’axiome du choix implique le lemme de Zorn
On garde les hypothèses, la terminologie et les notations de la partie précédente. L’ensemble Bétant toujours l’ensemble
des bonnes chaînes, on note
C“ď
CPB
C,
l’union de toutes les bonnes chaînes. On pourra dans cette partie utiliser le résultat de la partie II, même si on n’est
pas parvenu à le démontrer : de deux bonnes chaînes, l’une est segment initial de l’autre, et en particulier, l’une est
incluse dans l’autre.
1. Montrer que Cest une chaîne, c’est-à-dire un sous-ensemble totalement ordonné de E.
2. Soit CPBune bonne chaîne distincte de C. Montrer que Cest un segment initial de C.
3. Réciproquement, soit Iun segment initial de C.
(a) Montrer l’existence d’une bonne chaîne C0telle que IĂC0.
(b) Montrer que Iest une bonne chaîne.
4. Montrer que Cest une bonne chaîne.
5. On suppose que CPC0, et on considère C1“CY tmpCqu. Montrer que C1est une bonne chaîne. En déduire
que CPCzC0.
6. En se souvenant que Eest inductif, en déduire que Cadmet un maximum M, et que Mest un élément maximal
de E.
7. Où dans cette preuve a-t-on utilisé l’axiome du choix ?
Partie III – Le lemme de Zorn implique l’axiome du choix
On suppose dans cette partie le lemme de Zorn. On se donne une famille pAiqiPId’ensembles non vides, et on cherche
à donner l’existence d’une fonction de choix f:IÑď
iPI
Ai, donc vérifiant fpiq P Ai, pour tout iPI. Pour cela, on
définit une fonction de choix partielle gcomme étant une fonction définie sur un sous-ensemble Jde I, à valeurs dans
ď
iPI
Ai, et vérifiant pour tout jPJ,gpjq P Aj. On note Cl’ensemble des fonctions de choix partielles. On définit une
relation ĺsur Cpar :
g1ĺg2ðñ #J1ĂJ2
g2|J1“g1,
où J1et J2sont les domaines respectifs de g1et g2.
1. Montrer que ĺest une relation d’ordre sur C.
2. Montrer que si gest un élément maximal de pC,ĺq, alors le domaine de gest I(on pourra démontrer la
contraposée).
3. Montrer que pC,ĺqest inductif.
4. En déduire l’axiome du choix.
2

F I N
Corrigé du problème –Équivalence entre l’axiome du choix et le lemme de Zorn
Partie I – Préliminaire sur les bonnes chaînes
1. ‚Iest un sous-ensemble d’un ensemble totalement ordonné C, donc il est aussi totalement ordonné. Ainsi, I
est une chaîne de E:IPC.
‚Iétant un segment initial de C,I‰C, donc il existe MPCzI. Par définitiond’un segment initial, Mest
un majorant de I. Puisque MRI, on peut conclure que IPC0.
2. Soient C1et C2deux bonnes chaînes distinctes et xPC1XC2.
(a) ‚Puisque xRJx, et xPC1, on a une inclusion stricte C1XJxĂC1.
‚Soit yPC1tel que yRC1XJx. Alors pour tout zPC1XJx, on a zďy. En effet, C1étant une chaîne,
donc totalement ordonné, si ce n’était pas le cas, on aurait yăz, et comme zăx, par transitivité,
yăx; cela contredit yRC1XJx. Ainsi yest un majorant de C1XJx
‚On peut donc conclure que C1XJxest un segment initial de C1.
(b) On suppose que C1XJxest un segment initial de C2.
‚On a alors C1XJxPC0d’après la question 1.
‚Comme C1XJxest segment initial de C2et que la chaîne C2est bonne, mpC1XJxq P C2. De
même, C1XJxest segment initial de C1(question 2a), qui est bonne, donc mpC1XJxq P C1. Ainsi,
mpC1XJxq P C1XC2.
‚Par définition d’une bonne chaîne, mpC1XJxqest le minimum de C1zpC1XJxq. Comme xPC1zpC1XJxq,
on a en particulier mpC1XJxq ď x.
Par ailleurs, si mpC1XJxq ă x, on aurait mpC1XJxq P C1XJx, ce qui contredit la définition de
mpC1XJxq(majorant strict de C1XJx).
Ainsi, mpC1XJxq “ x.
(c) Supposons que C1XJxsoit un segment initial de C2.
‚Alors, puisque C2est une bonne chaine, mpC1XJxqest le minimum de C2zpC1XJxq. Étant donné un
élément yPC2XJx, on a alors nécessairement yPC1. En effet, si ce n’était pas le cas, on aurait yPC2,
yRC1XJxet :
yăx“mpC1XJxq.
Ceci contredit la minimalité de mpC1XJxqdans C2zpC1XJxq, provenant du fait que C2est une bonne
chaîne.
On en déduit que C2XJxĂC1, puis C2XJxĂC1XJx.
‚L’inclusion réciproque est évidente, puisque le fait que C1XJxsoit segment initial de C2implique en
particulier l’inclusion C1XJxĂC2.
‚Les deux inclusions amènent l’égalité C1XJx“C2XJx.
(d) Les deux propriétés étant obtenues l’une de l’autre en échangeant le rôle de C1et C2, on peut se contenter
de montrer une implication. Supposons donc que C1XJxest un segment initial de C2. Alors, d’après la
question précédente, C1XJx“C2XJx. Or, C1XJxest un segment initial de C1(question 2a), donc C2XJx
est un segment initial de C1.
Ainsi, on a bien montré l’ équivalence entre (i) et (ii) .
3. (a) Soit xPC˚et zPC1tel que zăx. La question 2a a été résolue sous la seule hypothèse que C1était une
chaîne (onne s’était pas servi du fait que cette chaîne était bonne). Ainsi, on peut appliquer cette question
à la chaîne C1XJx:C1XJxXJzest segment initial de C1XJx. Or, l’inégalité zăxamène de façon
immédiate JzĂJx, donc C1XJxXJz“C1XJz.
3

Ainsi, C1XJzest segment initial de C1XJx, lui-même segment initial de C2. On utilise pour terminer le
lemme suivant, assez évident, mais que nous démontrons tout de même :
Lemme : Si Iest segment initial de Jet Jest segment initial de K, alors Iest segment initial de K
(autrement dit, la relation « être segment initial de » est transitive ; il s’agit même d’une relation d’ordre
stricte).
Démonstration : Soit Iun segment initial de J, lui-même segment initial de K. Alors IĂJĂK, chacune
de ces inclusions étant stricte. On en déduit que IĂK, l’inclusion étant stricte. Par ailleurs, étant donné
yPKzI, si yPJ, comme Iest segment initial de J,ymajore J. Sinon, yPKzJ, et comme Jest segment
initial de K,ymajore J, et donc aussi I, puisque IĂJ. On en déduit le lemme.
On peut donc conlure que sous les hypothèses de la question C1XJxest un segment initial de C2.
(b) Par définition, on a une inclusion stricte C˚ĂC1. Par ailleurs, étant donné zPC1zC˚, on montre par
l’absurde que zmajore C˚. Si ce n’est pas le cas, il existe xPC˚tel que zăx, et la question 3a montre
qu’alors C1XJzest un segment initial de C2. Par ailleurs, puisque zăx,zPJx, puis zPC1XJx. Ce
dernier ensemble est un segment initial de C2, car xPC˚. On en déduit que zPC2. Ainsi, zPC1XC2,et
C1XJzest un segment initial de C2. Cela prouve que zPC˚, d’où une contradiction.
Par conséquent, tout zPC1zC˚est un majorant de C˚. Cela prouve bien que C˚est un segment initial de C1.
4. Supposons que C˚‰C2. Commençons par montrer que C˚est un segment initial de C2. Si ce n’est pas le cas,
il existe yPC2zC˚et zPC˚tel que yăz. Or par définition de C˚,C1XJzest un segment initial de C2, et
donc, d’après 2d, C2XJzest un segment initial de C1. En particulier, yPC2XJz, donc yPC1. On a donc
yPC1XC2, et d’après l’argument utilisé en 3(a), l’inégalité yăzpermet de montrer que C1XJyest aussi un
segment initial de C1. Ainsi, yPC˚, d’où une contradiction.
Puisque C˚est un segment initial de la bonne chaîne C2, on a mpC˚q P C2. De même, C˚étant un segment initial
de la bonne chaîne C1, on a mpC˚q P C1. Donc mpC˚q P C1XC2. Par ailleurs, C˚“C1XJmpC˚q(l’inclusion
directe est immédiate, et si elle n’est pas une égalité, on peut trouver un élément dans C1, strictement plus petit
que mpC˚q, qui majore C˚, ce qui contredit la définition de mpC˚q). Ainsi, C1XJmpC˚qest un segment initial
de C2, d’après la première partie de la preuve. Par définition, cela signifie que mpC˚q P C˚, ce qui contredit la
définition de mpC˚q(qui doit être un majorant strict de C˚).
Ainsi, l’hypothèse initiale est fausse. Nous avons donc C˚“C2.
Ainsi, on a montré qu’étant données deux bonnes chaînes C1et C2distinctes, l’une est segment initial de l’autre.
Remarquez que l’argument qu’on a donné cache quelque part le fait que deux bonnes chaînes non vides ne sont jamais
disjointes. En effet, mp∅qappartient aux deux chaînes. Cet argument apparaît de façon détournée dans la question 4
(avec la possibilité que C˚“∅, qui nous fait alors considérer mp∅q).
Partie II – L’axiome du choix implique le lemme de Zorn
1. Soient xet ydans C. Alors il existe deux bonnes chaînes C1et C2telles que xPC1et yPC2. D’après la partie
I, on a soit C1ĂC2, soit C2ĂC1. On a alors soit px, yq P C2
2, soit px, yq P C2 1. Comme C1et C2sont des
ensembles totalement ordonnés, xet ysont comparables. Ainsi, Cest totalement ordonné .
2. Soit CPB,C‰C. Si Cn’est pas un segment initial de C, il existe xPCet yPCzCtel que yăx. Soit D
une bonne chaîne telle que yPD, et soit B“CYD, égal soit à Csoit à D(car de ces bonnes chaînes, l’une
est incluse dans l’autre). Ainsi, Best une bonne chaîne soit égale à C, soit contenant Ccomme segment initial.
Ainsi, C1“CXJxétant segment initial de C(I-2a), il est aussi segment initial de B(soit directement, soit
par utilisation du lemme donné en I-3a).
Comme Cest une bonne chaîne, mpC1q P C, et mpC1qest le minimum de CzC1. Ainsi, mpC1q “ x(voir argument
donné en I-2b). Mais Bétant aussi une bonne chaîne, mpC1qest aussi le minimum de BzC1. Ceci contredit le
fait que
yPBzC1et yăx“mpC1q.
Ainsi, Cest un segment initial de C.
4

3. Réciproquement, soit Iun segment initial de C.
(a) Comme Iest inclus strictement dans C, il existe xPCzI. Soit un tel x. Comme Iest segment initial, x
est un majorant (strict) de I. Comme xPC, il existe une bonne chaîne C0telle que xPC0. Alors, d’après
ce qui précède, C0est un segment initial de C. En particulier, C0contient tout ydeC tel que yăx. Ceci
implique IĂC0
(b) Soit Jun segment initial de I. Alors d’après le lemme de I-3a, Jest segment initial propre de C0, qui
est une bonne chaîne. Ainsi, mpJq P C0, et mpJqest le minimum de C0zJ. Alors mpJqest nécessairement
aussi le minimum de IzJ. En effet, sinon, puisque IĂC0, la minimalité de mpJqmontrerait que pour tout
xPIzJ(ensemble non vide), on aurait xąmpJq. En particulier, cela impliquerait mpJq P C0zI, puis cela
engendrerait une contradiction avec le fait que Iest un segment initial de C0.
Ainsi, tout segment initial Jde Ivérifie mpJq “ minpIzJq. On en déduit que Iest une bonne chaîne.
4. Soit Iun segment initial de C. Alors Iest une bonne chaîne. Soit xPCzI(possible car I‰C). Alors il existe
Cune bonne chaîne contenant x.Ine peut pas contenir C(à cause de x), donc d’après la partie I, IĂC, et
même, Iest un segment initial de C.
Comme Cest une bonne chaîne, on peut en conclure que mpIq P CĂC.
Par ailleurs, mpIqest le minimum de CzI, et Cétant un segment initial de C(II-2), cela implique que mpIq
est aussi minimum de CzI.
Ainsi, Cest une bonne chaîne.
5. On suppose que CPC0, et on considère C1“CY tmpCqu. Soit alors Iun segment initial de C1. Comme mpCq
est le maximum de C1, on a soit I“C(et dans ce cas mpIq “ mpCq “ minpC1zCq), soit Iest un segment
initial de C, donc mpIqest le minimum de CzI, donc aussi de C1zI, puisqu’on passe d’un ensemble à l’autre
par ajout d’un élément strictement plus grand que les autres.
Ainsi, C1est une bonne chaîne.
Or Cest contenu strictement dans C1, ce qui contredit la définition de Ccomme union de toutes les bonnes
chaînes (en particulier, Ccontient toutes les bonnes chaînes.
Ainsi, l’hypothèse initiale est fausse, et on en déduit que CRC0, soit, puisqu’il s’agit d’une chaîne, CPCzC0.
6. Puisque Eest inductif, Cadmet un majorant. Ce majorant ne peut pas être strict puisque CRC0Ainsi, ce
majorant est un élément de C. On vient de montrer que Cadmet un maximum M.
Ce maximum est nécessairement un élément maximal de E. En effet, sinon, il existerait M1ąMdans E. Un
tel M1serait un majorant strict de C, ce qui est impossible.
On a bien prouvé l’existence d’un élément maximal dans E, d’où le lemme de Zorn.
7. L’axiome du choix a été utilisé pour construire la fonction m, puisqu’on choisit simultanément, pour toute
chaîne de C0, un élément dans l’ensemble des majorants de cette chaîne.
Partie III – Le lemme de Zorn implique l’axiome du choix
1. ‚Soit gPC. Alors gest définie sur JĂI, et Jvérifie JĂJet g|J“g. Ainsi, gĺg
‚Soient get hdans Ctels que gĺhet hĺg, et Jet Kleurs domaines respectifs. On a alors JĂKet
KĂJ, d’où J“K, et par conséquent g“g|K“h. D’où l’antisymétrie de ĺ.
‚Soient g,het kde domaines respectifs J,Ket Ltels que gĺhĺk. On a alors JĂKĂL, donc JĂL,
et k|J“ pk|Kq|J“h|J“g. Donc gĺk, d’où la transitivité de ĺ
‚La relation ĺétant reflexive, antisymétrique et transitive, ĺune relation d’ordre sur C.
2. Soit gun élément maximal de domaine Jstrictement inclus dans I. On peut choisir iPIzJ(choix d’un élément
dans un ensemble non vide, ne dépend donc pas de l’axiome du choix). On peut alors choisir un élément
quelconque aide Ai(à nouveau, choix d’un élément dans un ensemble non vide, cela ne dépend pas de l’axiome
du choix). On peut alors construire hsur JY tiupar :
hpjq “ gpjqsi jPJet hpiq “ ai.
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