Topologie et Équations différentielles - Cours Université Lyon I

Topologie et Équations différentielles
Université Lyon I – Semestre d’automne 2021-2022
Responsable du cours : J. Melleray.
Chargé.e.s de TD : E. Fouassier, S. Gauthier, J. Melleray.

Table des matières
I
Topologie
3Chapitre 1
Révisions
1.1 Un peu de théorie des ensembles 3
1.2 Quelques propriétés de R5
9Chapitre 2
Espaces métriques
2.1 Distances: définitions, vocabulaire, premières propriétés 9
2.2 Suites dans un espace métrique 14
2.3 Espaces vectoriels normés 19
2.4 Ouverts et fermés dans un espace métrique 28
2.5 Topologie associée à une distance; base d’ouverts 39
2.6 Distances équivalentes 42
2.7 Topologie induite 45
2.8 Exemple: le cas de (R,|·|)46
49 Chapitre 3
Fonctions continues entre espaces métriques
3.1 Fonctions continues et uniformément continues 49
3.2 Fonctions à valeurs dans un produit d’espaces métriques 57
3.3 Limite d’une fonction en un point 59
3.4 Suites de fonctions 61
3.5 Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés 63
69 Chapitre 4
Compacité

4.1 Espaces métriques compacts: équivalence de deux définitions 69
4.2 Quelques grands théorèmes sur la compacité 73
4.3 Produits finis d’espaces compacts 79
4.4 Compacité en dimension finie 81
4.5 Produits dénombrables d’espaces métriques compacts 86
4.6 Le cube de Hilbert 89
4.7 L’ensemble de Cantor 90
101 Chapitre 5
Connexité
5.1 Définition, premières propriétés 101
5.2 Connexité dans R105
5.3 Union de parties connexes; composantes connexes 106
5.4 Connexité par arcs 108
113 Chapitre 6
Complétude
6.1 Suites de Cauchy; espaces complets 113
6.2 Séries dans un espace vectoriel normé complet 118
6.3 Quelques exemples d’espaces vectoriels normés complets 121
6.4 Théorème du point fixe de Picard 125
6.5 Prolongement des applications uniformément continues 126
6.6 Complété d’un espace métrique 129
6.7 Théorème d’Ascoli 132
6.8 Théorème de Baire 136
II
Équations différentielles
145 Chapitre 1
Révisions
1.1 Un peu de calcul différentiel 145
1.2 L’inégalité des accroissements finis. 151
1.3 Intégration de fonctions à valeurs dans Rn152
155 Chapitre 2
Introduction et premiers exemples
2.1 Définitions 155

2.2 L’exemple des équations linéaires scalaires d’ordre 1159
2.3 Un peu de vocabulaire 162
2.4 Lemme de Gronwall 163
167 Chapitre 3
Théorie de Cauchy–Lipschitz
3.1 Problèmes de Cauchy 167
3.2 Énoncé du théorème de Cauchy–Lipschitz 169
3.3 Premières conséquences du théorème de Cauchy–Lipschitz 170
3.4 Le théorème d’explosion en temps fini 172
175 Chapitre 4
Équations différentielles linéaires
4.1 Équations différentielles linéaires; structure de l’espace des solutions 175
4.2 Systèmes fondamentaux 177
4.3 Expression des solutions et formule de Duhamel 178
4.4 Interlude: exponentielle de matrices 180
4.5 Le cas des équations différentielles linéaires à coefficients constants 185
4.6 Lien avec les équations scalaires d’ordre d189
4.7 Comportement asymptotique des solutions d’équations différentielles li-
néaires à coefficients constants 192
197 Chapitre 5
Étude qualitative des équations différentielles autonomes
5.1 Stabilité des équilibres 197
5.2 Portraits de phase 203
211 Chapitre 6
Démonstrations de quelques grands théorèmes
6.1 Démonstration du théorème de Cauchy–Lipschitz 211
6.2 Théorème de sortie des compacts 214
6.3 Le flot associé à une équation différentielle 216
6.4 Théorème de Cauchy–Peano–Arzela 220