DM N°2 : Nombres réels, calculs algébriques - CPGE OUJDA MPSI2

CPGE OUJDA 2026 – 2027
MPSI2 Ahmed Elgheryb
DM N°2 : Nombres réels , calculs algébriques
Exercice 1: Formule d'inversion de Pascal
On considère deux suites de réels
( )
n n
a
et
( )
n n
b
vérifiant :
0
,
n
k
n n k
k
n a C b
où les
k
n
C
désignent les coefficients binomiaux.
Le but du problème est d'exprimer, pour tout n ,
n
b
en fonction des
k
a
.
1. Montrer que :
1 1 1
; ; :
p k k p k
n p n n k
n p
C
k k p
C C C
n
           .
2. Montrer que :
1
0
( 1
; :
) ( 1)
n k
j j n k
n k
j
k k
C
n n
  .
3. Exprimer, pour
n
,
1
n
b
en fonction de
1
n
a
et des
0
( )
k k n
b
.
4. On suppose que, pour un certain
m
, on a :
0
(
:0
1)
n
n k k
n n k
k
n
b a
m
C
n
Calculer alors
1
m
b
en fonction des
0 1
( )
k k m
a
.
5. Montrer alors la formule d'inversion de Pascal :
0
( 1)
;
n
n k k
n n k
k
n
b C a
6. En déduire une expression de
n
x
en fonction des
0
(1 )
k
k n
x
.
Exercice 2: [addition parallèle]
Soit a et b deux nombres réels strictement positifs. On appelle somme parallèle de a et de b le nombre
ab
a b
a b
.
1. Etudier les propriétés de cette opération.
2. Soit x un réel quelconque. Montrer que
2 2 2 2
( )
inf /
)
;
(
;
a b x ay bz y z y z x
Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ? Si oui, pour quels couples
0 0
( ; )
y z
de nombres
réels la relation
2 2 2
0 0
( )
a b x ay bz
est-elle satisfaite ?
3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et z les
intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.
4. Soit a, b, c, d des réels strictement positifs et x un réel quelconque, montrer que
2 2 2
( ) ( ) ( )
a c x b d x a b c d x
.
Interpréter physiquement cette inégalité.
5. Soient
1 1
,..., , ,...,
k k
des réels strictement positifs.
Montrer que
1 1 1
( )
k k k
i i i i
i i i

Problème : Les sous groupes de
Partie I :
On dit qu’une partie G de est un sous groupe de si
(i)
0
G
(ii)
2
( , ) ;
x y G x y G
(iii)
2
;
x G x G
Soit G un sous groupe de non réduit à
0
.On pose
*
G G
.
Soit
inf
a G
.
1. Justifier l’existence de a et vérifier que
0
a
.
2. On suppose que
0
a
. On se propose de montrer que
/
G a ka k
.
(a) On suppose que
a G
i. Montrer qu’ils existent
, ;
x y G x y
et
; ] ,2 [
x y a a
.
ii. En déduire qu.il existe
;
z G z a
. Conclure .
(b) Soit
x G
. Montrer qu’il existe
(
;
1)
p pa x a
p
.
(c) Montrer que
x pa
.
(d) Conclure .
2. On suppose que
0
a
;
(a) Soit
; ;
x y x y
.
(b) Montrer qu.il existe
; 0
2
y x
g G g
   .
(c) Montrer qu’il existe
;
p x pg y
.
(d) Déduire que G est dense dans .
Commentaire : On vient de montrer qu’un sous groupe de non réduit à
0
est
soit dense dans soit de la forme
a
;
0
a
.
Partie II : Applications
1. Soit
*
;
a b
. On note
2
/( , )
a b pa qb p q
.
(a) Vérifier que est un sous groupe de .
(b) Montrer que
2
/( , )
a b pa qb p q
est dense dans si et seulement si
a
b
.
2. On admet que . Montrer
2
est dense dans et que
sin( )/
n n
est
dense
[ 1,1]
.
3. Soit
:
f
, une application continue ayant 1 et
2
comme périodes .
Montrer que f est constante.
4. On dit qu’une partie
A
est dense dans ; s.il existe
[0,2 ]
B
dense dans
[0,2 ]
telle que
exp( )/
A i B
  .
(a) Montrer que si A est une partie dense dans ; alors
Re( )
A
et
Im( )
A
sont
denses dans
[ 1,1]
:
La réciproque est-elle vraie ?
(b) Soit : Montrer que
exp( )/
A in n
est dense dans si et seulement
Si
2
.