TIPE Physique 2024 : Ondes dans une corde élastique

TIPE Physique 2024 : Étude de la
Propagation des Ondes dans une Corde
Élastique Soumise à une Tension
Camille BAVOZET, Gabriel SEEBOTH, Cristian LATCU
Lycée Sainte-Geneviève
Table des matières
1 Introduction 2
2 Théorie Physique 2
2.1 Propagation des ondes élastiques ......................................... 2
2.2 Équations de Navier pour les Ondes Élastiques ................................. 3
2.3 Non-linéarité et Striction ............................................. 3
2.3.1 Non-linéarité et Équation de Korteweg-de Vries (KdV) ......................... 3
2.3.2 Striction ................................................... 4
2.4 Loi de Hooke .................................................... 5
2.5 Module de Young .................................................. 5
3 Transformation de l’Énergie 5
3.1 Énergies en jeu ................................................... 5
3.2 Tension dans la Corde ............................................... 5
3.3 Vitesse de Propagation de l’Énergie Potentielle Élastique ............................ 6
3.3.1 Propagation des Ondes Élastiques .................................... 6
3.3.2 Effets de la Masse Linéique ........................................ 6
3.4 Évolution Temporelle de la Tension ........................................ 6
3.4.1 Distribution Initiale de la Tension .................................... 6
3.4.2 Propagation de la Tension ......................................... 6
3.4.3 Suivi temporel ............................................... 6
4 Expériences réalisées 7
4.1 Expérience N°1 : Mesure du coefficient d’élongation sous un effort statique (module d’Young) ....... 7
4.1.1 Objectif ................................................... 7
4.1.2 Photos .................................................... 7
4.1.3 Résultats .................................................. 7
4.1.4 Principales sources d’incertitudes ..................................... 8
4.1.5 Analyse des Résultats et Discussion autour de la validité des courbes obtenues ........... 9
4.2 Expérience N°2 : Résonance de vibration de la corde .............................. 9
4.2.1 Objectif ................................................... 9
4.2.2 Photos .................................................... 10
4.2.3 Résultats .................................................. 10
4.2.4 Principales sources d’incertitudes ..................................... 11
4.3 Expérience N°3 : Vitesse de propagation de la Tension dans la corde ..................... 11
4.3.1 Objectifs et photos ............................................. 11
4.3.2 Résultats .................................................. 11
4.3.3 Analyse des résultats ............................................ 12
4.3.4 Principales sources d’incertitudes ..................................... 13
5 Conclusion 13
6 Propriétés théoriques des cordes utilisées 13
Bibliographie 14

1 Introduction
Les matériaux élastiques font partie intégrante de notre quotidien : ils facilitent de nombreuses applications de par
leurs propriétés remarquables. Néanmoins, ces propriétés peuvent varier avec les paramètres extérieurs, et il est important
de savoir comment. Nous nous sommes donc intéressés aux cordes, et en particulier aux cordes élastiques. Après avoir
observé le phénomène d’élongation de telles cordes, nous avons voulu étudier les principes physiques qui régissent les
cordes élastiques ainsi que les transformations énergétiques qui modélisent les conversions rapides qui s’opèrent lors de
mises en tension statiques et dynamiques.
Les cordes naturelles utilisées jadis en montagne avaient de nombreux inconvénients face aux cordes actuelles en fibres
synthétiques. Elles perdaient beaucoup de leur résistance en conditions humides, et vieillissaient plus vite sous l’action
des moisissures. En outre, elles présentaient le principal défaut de casser net sous l’effet d’un choc violent. De fait, l’étude
s’est vite penchée sur la recherche de résistance et de sauvegarde de la corde afin d’assurer la sécurité de l’utilisateur.
Aujourd’hui, les cordes d’escalade sont constituées d’une gaine tissée (fibres entrecroisées) et d’une âme en fibres tressées.
La gaine a pour fonction principale de protéger l’âme contre les agressions extérieures (abrasion, poussières, eau...). L’âme,
quant à elle, donne les caractéristiques mécaniques à la corde : résistance, allongement, souplesse, etc. [2] C’est donc l’âme
qui subit tous les efforts physiques qui nous intéressent ici. En 1676, Robert Hooke[7] modélise le comportement des
solides élastiques soumis à des contraintes et stipule que la déformation élastique est une fonction linéaire des contraintes.
Ses travaux ont ensuite été complété par le physicien britannique Thomas Young[4] avec l’introduction du « module
d’Young », constante qui relie la contrainte de traction et le début de la déformation d’un matériau élastique homogène.
[3]
Puis, dans l’optique de mesurer les échanges d’énergie s’opérant au sein d’une corde au cours d’un effort, l’intérêt
se porte sur la propagation des ondes mécaniques et les phénomènes de striction dans une corde élastique soumise à
une tension. Lorsqu’une masse en chute libre atteint une corde, l’énergie cinétique de la masse est convertie en énergie
élastique, créant une onde de tension dans la corde. Les caractéristiques de cette propagation sont régies par les équations
de Navier[1] pour les ondes dans un milieu élastique. Dans une corde, ces équations peuvent être simplifiées pour les
ondes longitudinales, mais doivent prendre en compte les effets de non-linéarité dus à la striction.
En effet, toute onde se propageant dans une corde élastique transporte de l’énergie sous forme de déformations
mécaniques. Les ondes longitudinales, où les particules du milieu oscillent parallèlement à la direction de la propagation de
l’onde, sont pertinentes pour une corde tendue. Lorsque la tension devient très grande, des effets non linéaires apparaissent.
La corde peut alors subir des phénomènes de striction, où son diamètre change en fonction de la tension, modifiant ses
propriétés élastiques. Ces phénomènes ont été pour la première fois approchés par les équations différentielles non linéaires
de Korteweg-de Vries. [5]
Néanmoins, l’âme ne sert pas à grand-chose sans une gaine efficace. En effet, cette dernière permet à la corde d’affronter
les conditions extérieures en n’altérant que très peu les capacités de l’âme. Gigi Signoretti et son équipe de l’Italian Alpine
Club se sont penchés en 2002 sur cette problématique afin de montrer l’importance d’une bonne gaine tout en identifiant
la corde mouillée comme étant la moins efficace. [8]
Cette étude explore la propagation des ondes et les potentiels phénomènes de striction qui peuvent apparaître lorsque
qu’une corde élastique est soumise à une tension. Pour cela nous avons réalisé 3 expériences qui ont pour but d’évaluer
différentes propriétés physiques de la corde, à savoir son module d’Young E (i.e. son coefficient d’élongation statique),
la vitesse de la propagation des ondes dans le milieu et la vitesse de transformation d’une énergie extérieure en énergie
élastique.
Nous regarderons d’abord la théorie physique exposée ci-dessus qui soutient notre démarche expérimentale, afin de mieux
comprendre la nature des expériences mises en place.
2 Théorie Physique
2.1 Propagation des ondes élastiques
Lorsqu’une masse en chute libre est attachée à une corde et que celle-ci est alors mise sous tension, l’énergie cinétique
de la masse est convertie en énergie élastique, créant une onde de tension dans la corde. Les caractéristiques de cette
propagation sont régies par les équations de Navier pour les ondes dans un milieu élastique.
Lorsqu’une onde se propage dans une corde élastique, elle transporte de l’énergie sous forme de déformations méca-
niques. Le problème étant à une dimension pour une corde tendue, les ondes longitudinales, où les particules du milieu
oscillent parallèlement à la direction de la propagation de l’onde, sont une approximation pertinente.
La vitesse de propagation des ondes longitudinales dans un milieu élastique est donnée par la relation :
v=sT
µ
2/ 14 TIPE 2024

2.2 Équations de Navier pour les Ondes Élastiques
où Test la tension dans la corde et µest la densité linéique de la corde.
2.2 Équations de Navier pour les Ondes Élastiques
Les équations de Navier décrivent le mouvement d’un milieu élastique tridimensionnel. Pour un matériau homogène,
elles sont :
ρ∂2u
∂t2= (λ+ 2µ)∇(∇ · u)−µ∇ × (∇ × u) + f
où :
—uest le vecteur déplacement,
—ρest la densité du matériau,
—λet µsont les constantes de Lamé 1,
—fest la force volumique appliquée.
Pour une corde élastique, on simplifie souvent ce problème en se concentrant sur les ondes longitudinales (où le déplacement
se fait dans la direction de la corde). Les équations de Navier se simplifient alors en une dimension :
ρ∂2u
∂t2=E∂2u ∂x2
où u(x, t)est le déplacement longitudinal, Eest le module de Young, xest la position le long de la corde, et test le temps.
2.3 Non-linéarité et Striction
Lorsque la tension devient très grande, des effets non linéaires apparaissent. La corde peut subir des phénomènes de
striction, où son diamètre change en fonction de la tension, modifiant ses propriétés élastiques. Ces phénomènes peuvent
être approchés par des équations différentielles partielles non linéaires telles que celle de Korteweg-de Vries [cf 2.3.1].
2.3.1 Non-linéarité et Équation de Korteweg-de Vries (KdV)
Lorsque des effets non linéaires et dispersifs sont présents, l’équation des ondes doit être modifiée. L’équation de KdV
est une équation différentielle partielle non linéaire utilisée pour décrire les ondes dans un milieu dispersif non linéaire :
∂u
∂t +αu ∂u ∂x +β∂3u ∂x3= 0 (1)
où :
—u(x, t)est la fonction de déplacement longitudinal de l’onde,
—αest un coefficient de non-linéarité,
—βest un coefficient de dispersion.
Pour interpréter physiquement ces résultats, nous devons introduire la notion de solitons, qui sont des solutions
particulières de l’équation de KdV qui représentent des ondes de forme stable se déplaçant sans se déformer.
Les solitons possèdent des propriétés remarquables :
—Stabilité : Les solitons maintiennent leur forme et leur vitesse même après des interactions avec d’autres solitons.
Cette propriété résulte de l’équilibre entre les effets non-linéaires et dispersifs.
—Indépendance de l’Amplitude et de la Vitesse : La vitesse de propagation d’un soliton dépend de son
amplitude. Pour une solution soliton u(x, t) = Asech2(k(x−vt)), la vitesse vest proportionnelle à l’amplitude A.
—Énergie Locale : Les solitons transportent une quantité finie d’énergie localisée, ce qui leur permet de voyager
sur de longues distances sans dissipation significative.
Il nous faut donc établir une solution de l’équation de KdV à l’aide de ce phénomène physique si singulier. Une solution
avec soliton est de la forme :
u(x, t) = A1
cosh2(k(x−vt)) (2)
où :
—Aest l’amplitude du soliton,
—kest un paramètre lié à la largeur du soliton,
—vest la vitesse de propagation du soliton.
1. Les constantes de Lamé sont utilisées en élasticité linéaire et sont homogènes à une contrainte (en P a ou N/m2). Elles peuvent s’exprimer
à partir du module d’Young Eet du coefficient de Poisson ν. [voir l’ouvrage de G. Duvaut intitulé Mécanique des milieux continus, ISBN :
978-2-10-003932-6 ]
3/ 14 TIPE 2024

2.3 Non-linéarité et Striction
Pour dériver la solution avec soliton, nous supposons une solution de la forme u(x, t) = f(ξ)où ξ=x−vt est la
variable de déplacement avec la vitesse constante v. En substituant cette forme dans l’équation de KdV, nous obtenons :
−vf′+αff′+βf′′′ = 0 (3)
Intégrons cette équation par rapport à ξ:
−vf +α
2f2+βf′′ =C(4)
Pour un soliton isolé, nous imposons que f→0et f′→0lorsque ξ→ ±∞, ce qui permet de poser la constante
d’intégration Cà zéro :
−vf +α
2f2+βf′′ = 0 (5)
Réarrangeons cette équation :
βf′′ =vf −α
2f2(6)
Pour résoudre cette équation différentielle, nous cherchons une solution de la forme f(ξ) = Asech2(kξ). En substituant
cette forme dans l’équation, nous trouvons les valeurs de Aet kqui satisfont l’équation.
Dans le contexte des cordes élastiques, les solitons peuvent être utilisés pour modéliser la propagation d’impulsions
de tension le long de la corde. En ajustant les coefficients αet βen fonction des propriétés matérielles de la corde, il est
possible de prédire la dynamique des ondes solitaires dans le système. Cette modélisation est particulièrement utile pour
comprendre comment les impulsions de force se propagent et se stabilisent le long de la corde, ce que nous souhaitons
mettre en évidence dans notre expérience n°3 [4.3], c’est-à-dire la vitesse de propagation du choc d’une masse en bout de
corde.
2.3.2 Striction
La striction se réfère à la réduction du diamètre d’une corde lorsqu’elle est soumise à une tension importante. Ce
phénomène se produit en raison de la conservation du volume et des propriétés élastiques du matériau. Lorsque la corde
est étirée, sa section transversale diminue, entraînant une augmentation locale de la densité de tension.
Figure 1 – Visualisation de la striction dans une section de matériau
Le schéma présentant le matériau après rupture se réfère à la limite de la rupture à l’échelle microscopique au sein du
matériau, non pas à la rupture macroscopique communément entendue.
4/ 14 TIPE 2024

2.4 Loi de Hooke
2.4 Loi de Hooke
La loi de Hooke décrit la relation entre la force appliquée sur un matériau élastique et la déformation résultante :
σ=Eε
où :
—σest la contrainte (force par unité de surface),
—Eest le module de Young,
—εest la déformation linéaire (changement relatif de longueur).
Pour une corde élastique, cette loi s’applique tant que la déformation reste dans le domaine élastique linéaire du
matériau.
2.5 Module de Young
Le module de Young, ou module d’élasticité, est une constante matérielle qui mesure la rigidité d’un matériau. Il est
défini comme le rapport de la contrainte longitudinale à la déformation longitudinale :
E=σ
ε
Le module de Young est crucial pour déterminer la réponse d’une corde élastique à une force appliquée et pour calculer
la vitesse de propagation des ondes élastiques dans le matériau.
Pour mesurer la vitesse de propagation des ondes dans un milieu, nous pouvons nous concentrer sur les ondes sonores
traversant le milieu, puisqu’elles caractérisent la vitesse de propagation ondulatoire dans un milieu. La formule suivante
établit un lien entre la vitesse de propagation du son au sein du matériau et le module de Young de ce dernier :
v=sE
ρ
où :
—vest la vitesse de propagation du son dans le matériau
—Eest le module de Young,
—ρest la densité du matériau.
En outre, en prenant la masse linéique utilisée dans le calcul de striction, avec µ=m
l=ρV l, on a
v=sEV
µl
3 Transformation de l’Énergie
3.1 Énergies en jeu
Énergie cinétique : La masse en chute libre à une vitesse vpossède une énergie cinétique Ec=1
2mv2.
Énergie Potentielle Élastique : Lorsque la corde s’étire, elle accumule une énergie potentielle élastique Ee=1
2kx2,
où xest l’allongement de la corde.
Conservation de l’Énergie : L’énergie cinétique initiale de la masse est convertie en énergie potentielle élastique
de la corde : 1
2mv2=1 2kx2
Donc, à l’instant où toute l’énergie cinétique est convertie, xest donné par :
x=rmv2
k
3.2 Tension dans la Corde
Force Exercée par la Masse : La force exercée par la masse sur la corde est F=mg +kx.
À l’élongation maximale (quand la masse s’arrête momentanément), la tension maximale Tmax dans la corde est :
Tmax =mg +krmv2
k=mg +√kmv2
5/ 14 TIPE 2024