Annales BEPC Mathématiques 2026 - Exercices et Corrigés

N
Annales BEPC
IP
Mathématiques
2026
1
2
N
IP
Préface
Dans le cadre de sa mission de promotion de la qualité de l’enseignement et d’accompagnement
des apprenants vers la réussite, l’Institut Pédagogique National (IPN) met à la disposition des élèves
des classes de la quatrième du collège un recueil de sujets du BEPC couvrant la période de 2016 à
2025 en Mathématiques.
Ce document s’inscrit dans une dynamique de renforcement des outils pédagogiques destinés à
soutenir les candidats dans leur préparation aux épreuves du baccalauréat. Il constitue un support
de révision structuré, permettant aux élèves de s’exercer dans des conditions proches de l’examen,
de consolider leurs acquis et de mieux appréhender les exigences des différentes disciplines
scientifiques.
Le livre des Annales ne prétend pas que les solutions qu'il propose soient toujours les seules
possibles ; néanmoins, il constitue un phare qui ouvre de larges horizons, conciliant les aspects
théoriques et les aspects pratiques et méthodologiques.
N
L’Institut Pédagogique National a également veillé à prendre toutes les dispositions nécessaires afin
de garantir un accès gratuit, équitable et facile à ce recueil, notamment à travers sa mise en ligne
sur la plateforme numérique de l’IPN. Cette initiative vise à offrir à tous les élèves, sur l’ensemble
du territoire national, les mêmes opportunités de préparation et de réussite.
IP
Je formule le vœu que ce document contribue efficacement à améliorer les performances des
candidats et à renforcer leur confiance à l’approche des épreuves du BEPC.
Je tiens, à cette occasion, à adresser mes vifs remerciements et mes sincères félicitations à
l’ensemble des équipes pédagogiques qui ont contribué à la collecte de ces sujets, à la compilation
et à l’élaboration des corrigés dans des délais remarquablement courts. Leur engagement, leur
professionnalisme et leur sens élevé du devoir ont permis la réalisation de ce travail de grande
qualité.
Le Directeur Général de l’IPN
Dr. Cheikh Mouadh Sidi Abdellah
3
4
N
IP
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC : 2015
Exercice 1(5points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple constitué de 7 questions : chacune comporte trois réponses, une et une seule
étant exacte.
N°
Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
Le nombre 11√45 − 10√20 − 12√5 est
√𝟓
𝟐√𝟓
𝟑√𝟓
0,5pt
2
IJKL est un rectangle de longueur IJ = 4 et de
largeur IL = 3, alors sa diagonale IK mesure
6
√𝟑
5
0,75pt
3
ABC est un triangle tel que : A (-2 ; 2) B (2,-3)
et C (4 ; 3), alors le coefficient directeur de la
médiane issue de A
𝟐
𝟓
−
𝟐
𝟓
𝟓
𝟐
0,75pt
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏 (𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝑨𝑶
𝟒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏 (𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝑨𝑶
𝟐
0,75pt
4
ABCD est un losange de centre O alors ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑫
5
Soit 𝑥 un réel tel que 1 ≤ 𝑥 ≤ 3. Alors un
encadrement du nombre −2𝑥 + 3 𝑒𝑠𝑡
−𝟐 ≤ −𝟐𝒙 + 𝟑 ≤ −𝟏 −𝟏 ≤ −𝟐𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟑
7
Le nombre
25 ×33 ×53
63 ×102
5
est égal
3
N
6
Le point d’intersection des deux droites
d’équations respective : 3𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0
(-2 ; 0)
(2 ; 4)
−𝟑 ≤ −𝟐𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟏 0,75pt
2
0,75pt
(0 ; 7)
0,75pt
𝑒𝑡 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 a pour coordonnés
Exercice 2 (2points)
IP
Voici les notes obtenues par un groupe de 10 élèves : 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ; 13 ;15 ; 18.
1. Déterminer la médiane et la moyenne de ces notes.
2. Déterminer le pourcentage des élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10.
Exercice 3 (4 points)
1pt
1pt
On considère l’expression : 𝐹 = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + 2(𝑥 2 − 1).
1. Développer, réduire et ordonner l’expression F.
1
2. Calculer et simplifier la valeur numérique de F lorsque 𝑥 = et lorsque 𝑥 = −√3.
3
3. Factoriser l’expression de F puis résoudre l’équation F = 0.
1,5pt
Exercice 4(4points)
1,5pt
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(3 ; 6), B(4 ; -1), C(-1 ; -2) et D(-2 ; 5).
1. Construire les droites (AC) et (BD).
2. a) Déterminer une équation de chacune des droites (AC) et (BD).
b) Calculer les coordonnées du point E intersection des droite (AC) et (BD).
3. a) Calculer les coordonnées des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 .
b) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice 5 (5points)
Une maison sous forme d’un parallélogramme rectangle surmonté d’une
pyramide de hauteur SK = 3m.
Une planche PQ est placée verticalement sur [𝐴𝐵] à une distance de
AP = 2m. Les droites (SK) et (AP) sont perpendiculaires et on a :
𝑃 ∈ [𝐴𝐵] 𝑒𝑡 𝑄 ∈ [𝐴𝑆]. (Les autres mesures sont indiquées sur la figure ci1. a) Calculer les distances AB et en déduire AK.
b) Calculer la longueur de la planche PQ.
̂
2. Donner la valeur exacte de la tangente de l’angle 𝑆𝐴𝐾.
3. Peut – on stocker 5000bidons de 20litres dans cette maison ?
5
1,5pt
0,5pt
1 pt
1 pt
1 pt
0,5pt
contre).
1 pt
1 pt
1 pt
1 pt
1 pt
Corrigé du BEPC 2015
Exercice1 :
Questions
1
2
3
4
5
6
7
Réponse
A
C
A
C
C
A
B
Justification (QCM) :
1) 𝑥 = 11√45 − 10√20 − 12√5 = 11√9 × √5 − 10√4 × √5 − 12√5 = 11 × 3√5 − 10 × 2√5 − 12√5
= (33 − 20 − 12)√5 = 1√5. Donc 𝑥 = √5 → 𝑅é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝐴
2) 𝐼𝐽𝐾𝐿 est un rectangle, donc les deux diagonales [𝐼𝐾] et [ 𝐽𝐿] ont la même longueur et le triangle 𝐼𝐽𝑘 est
rectangle en 𝐼.Donc qui vérifie le théorème de Pythagore : 𝐼𝐾² = 𝐼𝐽 ² + 𝐼𝐿 ² = 4² + 3² = 25.
D′ où ∶ 𝐼𝐾 = √25 = 5 → 𝑅é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝐶
3) 𝐴 (−2 ; −2), 𝐵 (2 ; −3)𝑒𝑡 𝐶 (4 ; 3) alors le coefficient directeur est la médiane Issue de 𝐴 donc la droite (𝐴𝐸 )
2
𝑌 −𝑌
qui passe par le point 𝐸 milieu de [𝐵𝐶] ↔ 𝐸(3 ; 0) ⇒ 𝛽 = 𝑋𝐸 −𝑋𝐴 = 𝛽 = → 𝑅é𝑝𝑜𝑛𝑐𝑒 𝐴
𝐸
5
𝐴
N
4) Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un losange de centre 𝑂 milieu de ses deux diagonales [𝐴𝐶] et [𝐵𝐷] dont les
supports respectifs (𝐴𝐶 ) 𝑒𝑡 (𝐵𝐷) sont perpendiculaires, calculons maintenant le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂.
IP
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
D'après a relation de Chasles : 2𝐴𝑂
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑂 = 2 (𝐴𝐵
𝐴𝐷) → 𝑅é𝑝𝑜𝑛𝑠𝑒 𝐶.
On a : 1 ≤ 𝑥 ≤ 3, multiplions cet encadrement par − 2 ce qui donne − 6 ≤ − 2𝑥 ≤ − 2.
Ajoutons ensuite +3 ; on obtient : −3 ≤ −2𝑥 + 3 ≤ 1 → Réponse C.
6) Calcul du nombre : 𝑀 =
25 ×33 ×53
63 ×10²
=
25 ×33 ×53
(2×3)3 ×(2×5)²
=
25 ×33 ×53
=
2
23 ×33 ×22 ×5
3
53
25 ×33 ×5
=
= 5 →Réponse A.
5²
25 ×33 ×52
7. Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites d’équations : 3𝑥 + 2𝑦 = 14 et
𝑥 − 𝑦 = − 2 ; résolvons par l’une des trois méthodes (Substitution- Combinaison- Graphique) le système
suivant : {
3𝑥 + 2𝑦 = 14 → (1)
.
𝑥 − 𝑦 = − 2 → (2)
On a le système {
3𝑥 + 2𝑦 = 14 → (1)
. Appliquons la méthode de combinaisons linéaires :
𝑥 − 𝑦 = − 2 → (2)
On multiple l'équation (2) par le nombre 2, on obtient : {
de ce système, on aura : 5𝑥 = 10, ceci donne : 𝑥 =
10
5
3𝑥 + 2𝑦 = 14 → (1′)
. Ajoutons les deux équations
2𝑥 − 2𝑦 = −4 → (2′)
= 2.
On multiple l'équation (2) par le nombre −3, on obtient : {
3𝑥 + 2𝑦 = 14 → (1′′)
.
−3𝑥 + 3𝑦 = 6 → (2′′)
Ajoutons les deux équations de ce nouveau système, on aura : 5𝑦 = 20, ceci donne : 𝑦 =
D’où la solution est : (2 ; 4) → Réponse B.
6
20
5
= 4.
Exercic2 :(2points)
Pourcentage
20 %
20 %
20 %
10 %
10 %
10 %
10 %
1) a) On détermine la médiane par la procédure suivant :(supprimer deux notes minimales et maximales
même temps jusqu'au le reste un nombre si l'effectif nombre impair ou deux nombres si pair)
7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15 et 18 La médiane est :
b) La moyenne est :
10+10
= 10.
2
7×2+9×2+10×2+12×1+13×1+15×1+18×1
10
=
110
10
= 11.
2) Le pourcentage 𝑝 des élèves ayant obtenue des notes supérieures ou égales à 10 est la somme des
pourcentages des élèves ayant obtenues les notes 10 ; 12 ; 13 ; 15 et 18 est
𝑝 = 20% + 10% + 10% + 10% + 10% + 10% + 10% + 10% + 10% = 60% .
Exercic3 : (4points)
1) Développement de l'expression F :
F = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + 2((𝑥 2 − 1) = 3𝑥 2 − 𝑥 + 3𝑥 − 1 + 2𝑥 2 − 2 = 5𝑥 2 + 2𝑥 − 3.
2
2) Si 𝑥 = √3 : 𝐹 = 5(−√3 ) + 2(−√3 ) − 3 = 15 − 2√3 − 3 = 12 − 2√3 .
3) Factorisation de l'expression F :
F(𝑥 ) = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + 2(𝑥 2 − 1) = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + 2(𝑥 2 − 12 )
= (𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) + 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)[(3𝑥 − 1) + 2(𝑥 − 1)]
= (𝑥 + 1)[3𝑥 − 1 + 2𝑥 − 2] = (𝑥 + 1)(5𝑥 − 3).
3
3
N
F = 0, donc (𝑥 + 1)(5𝑥 − 3) = 0, 𝑥 + 1 = 0 ou 5𝑥 − 3 = 0 ; d’où : 𝑥 = −1 ou 𝑥 = ⟹ S = {−1 ; 5 }.
5
Exercic4 : (4points)
1) Je place les points : 𝐴(3 ; 6), 𝐵(4 ; − 1), 𝐶 (−1; −2) 𝑒𝑡 𝐷 (−2; 5) et je construis les droites (𝐴𝐶) et (𝐵𝐷) (voir la
figure ci-contre)
𝑥 +𝑥
IP
𝑥𝑀 = 𝐴 2 𝐶
2)Soit M est le milieu de [𝐴𝐶] ⇔ {
𝑦 +𝑦 ⇔
𝑦𝑀 = 𝐴 𝐶
2
3−1
𝑥𝑀 = 2
𝑥𝑀 = 1
(
)
{
6−2 ⇔ {𝑦 = 2 ⇒ 𝑀 1; 2 .
𝑀
𝑦𝑀 = 2
𝑥 +𝑥𝐷
𝑥𝑁 = 𝐵
Et N est le milieu de [𝐵𝐷] ⇔ {
𝑦𝑁 =
2
𝑦𝐵 +𝑦𝐷 ⇔ {
2
𝑥𝑁 =
𝑦𝑁 =
4−2
2
−1+5 ⇔
2
𝑥 =1
{ 𝑁
⇒ 𝑁 (1 ; 2).
𝑦𝑁 = 2
D'où les segments [AC] et [BD] ont le même milieu N = M(1 ; 2)
⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑥𝐶−𝑥𝐴 ) = (−1−3) ⇒
2) a) Equation de (AC) : AC
𝑦 −𝑦
−2−6
𝐶
𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x−3)
) . Soit M(x ; y)ϵ (AC) : AM
AC(−4
−8
y−6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et AC
⃗⃗⃗⃗⃗ sont colineaires, donc le produit en croix est nul
AM
⇒ −8(x − 3) − (−4)(y − 6) = 0
⇒ −8(𝑥 − 3) + 4(𝑦 − 6) = 0 ⇒ −8𝑥 + 24 + 4𝑦 − 24 = 0 ⇒ −8𝑥 + 4𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = 2𝑥.
7
−2−4
−6
𝑥−4
Equation de (BD) : ⃗⃗⃗⃗⃗
BD (5−(−1)) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
BD( 6 ) . Soit M(𝑥 ; 𝑦)ϵ (BD) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BM (𝑦−(−1))
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et BD
⃗⃗⃗⃗⃗ sont colineaires donc le produit en croix est nul,
BM
⇒ 6(x − 4) − (−6)(y + 1) = 0
⇒ 6(𝑥 − 4) + 6(𝑦 + 1) = 0 ⇒ 6𝑥 − 24 + 6𝑦 + 6 = 0 ⇒ 6𝑥 + 6𝑦 − 18 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑥 + 3.
b) Calculons les coordonnées du point E intersection des droite (AC) et (BD). Ces coordonnées sont solution du
𝑦 = 2𝑥
système : {
. On égalise les valeurs de 𝑦 ∶ 2𝑥 = −𝑥 + 3 ⇒ 2𝑥 + 𝑥 = 3 ⇒ 3𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 1.
𝑦 = −𝑥 + 3
On remplace par sa valeur dans d’équation (1) : 𝑦 = −𝑥 + 3 ⇒ y = −(1) + 3 ⇒ y = 2 ⇒ 𝐸(1 ; 2).
3) a) Calculons les composantes ⃗⃗⃗⃗⃗
AB et ⃗⃗⃗⃗⃗
DC ∶
𝑥 −𝑥
4−3
−1−(−2)
−1+2
1
1
𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
) ; ⃗⃗⃗⃗⃗
AB (𝑦𝐵−𝑦𝐴 ) = (−1−6) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗
AB(−7
DC (𝑦𝑥𝐶−𝑥
DC(−2−5) ⇒ ⃗⃗⃗⃗
DC(−7).
−𝑦 ) ( −2−5 ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 sont égaux ceci implique qu’ils ont le même sens et 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 = √50 = 5√2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux, donc 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme.
b) D'après 3.a) les vecteurs 𝐴𝐵
Exercice 5 :
Le triangle ABE est rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore:
N
1) a) AB²= EA2 + EB2 = 82 + 62 ⇒ AB 2 = 64 + 36 ⇒ AB 2 = 100 ⇒ AB = √100 → AB = 10.
1
10
2
2
Or K est le milieu du segment [𝐴𝐵], donc : AK= AB ⇒ AK =
⇒ AK = 5.
b) D’après le théorème de Thales :
AK
=
AQ
AS
=
PQ
SK
⇒
AP
AK
=
PQ
SK
⇒
2
5
=
PQ
3
⇒ 5PQ = 6 ⇒ PQ =
IP
AP
̂ K : tan SA
̂K =
2) Calculons la tangente de l’angle SA
3) Le volume de la maison est :
SK
AK
=
3
5
6
5
.
.
V (maison) = 8m × 6m × 3m ⇒ V (maison) = 144 m
3
Je calcule le volume des 5000 bidons : 20 litres× 5000 = 100 000 litres.
Or 100 000 litres = 100 m3 alors le volume de cette maison peut contenir 5000 bidons de 20 litres
car 144m3 > 100m3 .
8
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC : 2016
Exercice1 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de 4 questions :
chacune comporte trois réponses, une et une seule étant exacte. Préciser la bonne réponse.
N0
Questions
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
Le nombre 𝟖√𝟐𝟕 − 𝟗√𝟏𝟐 − √𝟕𝟓 est égal à
√𝟑
𝟐√𝟑
− √𝟑
2
ABC est un triangle équilatéral tel que AB = 6
Alors le rayon de son cercle circonscrit mesure :
𝟐√𝟑
𝟑√𝟑
𝟒√𝟑
3
ABCD est un parallélogramme de centre I alors
4
Le nombre
𝟔𝟒×𝟏𝟎𝟑 ×𝟏𝟐𝟐
𝟑𝟒×𝟒𝟔 ×𝟓𝟔
⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑨𝑰
𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( 𝑨𝑪
𝟐
⃗⃗⃗⃗ =
𝑨𝑰
1,2
est égal à
𝟏
𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑨𝑰
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑪
( 𝑨𝑩
𝟐
𝟐
1,1
0,9
N
Exercice 2 :
Voici les tailles en dm pour un groupe de 10 joueurs : 16 ; 18 ; 19 ; 16 ; 18 ; 15 ; 17 ; 18 ; 18 ; 15.
1) Déterminer le mode et la moyenne de ces valeurs.
2) Déterminer le pourcentage des joueurs dont la taille est supérieure ou égale à 18.
Exercice 3 :
On considère l’expression : P = 9 − 𝑥 2 + (2𝑥 − 2)(𝑥 − 3).
1) Développer, réduire et ordonner l’expression P.
IP
2) Calculer et simplifier la valeur numérique de P lorsque 𝑥 = 1 et lorsque 𝑥 = √7 .
3) Factoriser l’expression P puis l’équation P = 0.
Exercice 4 :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ;−2), 𝐵 (1 ; 3), 𝐶(−4 ; 2) et
D(−3 ; −3).
1) Placer dans le repère les points A, B, C et D.
2) a) Calculer les coordonnées du milieu I de [AC] et celle du milieu de J de [BD]. Que peut-on remarquer ?
b) Calculer les distances AB, AD et BD. Justifier que BD²= AB²+ AD².
c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
3) a) Vérifier que 2𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 est une équation de (AC) et que 3𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 est une équation de (BD)
2𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0
b) Résoudre le système suivant : {
3𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
c) Que représente le point dont les coordonnées sont solution de ce système ?
Exercice 5 :
On considère la pyramide SABCD ci-contre. Sa base est le carré ABCD de centre O tel que : AB=4cm.
La hauteur [SO] de SABCD mesure 5cm.
1) Calculer le volume V de la pyramide SABCD.
2) Soit I le point de [SO] tel que SI=3cm. On coupe la pyramide SABCD par un plan passant par I et
parallèle à sa base.
a) Quelle est la nature de la section EFGH ?
b) Calculer EF.
c) Calculer le volume 𝑉’ de la pyramide SEFGH.
En déduire le volume du tronc de la pyramide SABCD obtenu.
9
Corrigé du BEPC 2016 :
Exercice 1 :
1) 8√27 − 9√12 − √75 = 8√9 × 3 − 9√4 × 3 − √25 × 3 = 8 × 3√3 − 9 × 2√3 − 5√3
= 24√3 − 18√3 − 5√3 = (24 − 18 − 5)√3 = √3 ⇒ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐬𝐞 𝐀.
2) Le rayon d’un cercle circonscrit à un triangle équilatéral est égal à
2
3
de la médiane.
Dans ce cas la médiane (m) représente en même temps la hauteur du triangle ABC d’où
elle peut s’obtenir en passant par la réciproque du théorème de Pythagore car la hauteur
quitte le sommet et coupe son côté opposé en formant un angle droit : m²=
1
BC²− AB2 ⇒ m2 = 62 − 32 ⇒ m2 = 36 − 9 ⇒ m2 = 27 ⇒ m = √27
2
⇒ m = √9 × 3 ⇒ m = 3√3 . D’où le rayon =
2
6
× 3√3 ⇒ r = √3 ⇒ r = 2√3 ⇒ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐬𝐞 𝐀 .
3
3
⃗⃗⃗⃗⃗ = AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ;
3) D’après la relation de Chasles : AC
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗ = AD
⃗⃗⃗⃗⃗ or AI
⃗⃗⃗ = AC
⃗⃗⃗⃗⃗ d’où AI
⃗⃗⃗ = (AB
⃗⃗⃗⃗⃗ + AD
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⇒ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐬𝐞 𝐁.
BC
2
4)
64 ×103 ×122
34 ×46 ×54
=
2
24 ×34 ×23 ×53 ×32 ×42
34 ×46 ×54
32
=
24+3 ×32
45 ×5
=
27 ×32
45 ×5
=
27 ×32
24 ×24 ×5
=
27 ×32
28 ×5
9
= 2×5 = 10 = 0,9. 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐬𝐞 𝐂.
Tailles
15
Effectif
2
N
Exercice 2 :
1) a) Déterminons les effectifs
16
17
18
19
2
1
4
1
Le mode est 18.
La moyenne =
IP
b)
15×2+16×2+17×1+18×4+19×1
= 170
= 17.
10
10
5×100
2) Le pourcentage des joueurs dont la taille est supérieure à 18 (≥ 18) :
= 50%.
10
Exercice 3 :
1) Développons P : P = 9 − x 2 + (2x − 2)(x − 3) = 9 − x 2 + 2x 2 − 6x − 2x + 6 = x 2 − 8x + 15.
2) Calculons et simplifions P pour les valeurs 1 et √7.
▪ Si x = 1 : P = (1)2 − 8(1) + 15 = 8
2
▪ Si x = √7 ∶ P = (√7) − 8√7 + 15 = 22 − 8√7
3) P = 9 − x 2 + (2x − 2)(x − 3) = 32 − x 2 + (2x − 2)(x − 3) = (3 − x)(3 + x) + (2x − 2)(x − 3)
= −(𝑥 − 3)(3 + 𝑥 ) + (2𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = (x − 3)[−(3 + x) + 2x − 2] = (x − 3)[−3 − x + 2x − 2]
= (𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
Résolvons : P = 0 équivaut à (x-3) (x-5) = 0  x − 3 = 0 ou x − 5 = 0  x = 3 ou x = 5 ⇒ S = {3 ; 5}.
Exercice 4 :
1) Plaçons les quatre points A, B, C et D dans un repère orthonormé (O, I, J).
2) Calculons :
a) - Les coordonnées de I : I= (
xA +xC
2
yA +yC
2
xB +xD
2
yB +yD
2
- Les coordonnées de J : J= (
)=(
2−4
2
−2+2
2
1−3
2
3−3
2
)=(
) = (−1
0)
) = (−1
0)
10
On remarque que I et J sont confondus.
b) Calculons les distances :
▪ AB= √(1 − 2)2 + (3 + 2)2 = √1 + 25 = √26 ;
▪ AD= √(−3 − 2)2 + (−3 + 2)2 = √25 + 1 = √26 ;
▪ BD= √(−3 − 1)2 + (−3 − 3)2 = √16 + 36 = √52.
2
2
2
On a : BD² = (√52) = 52 ; AB 2 = (√26) = 26 et AD2 = (√26) = 26 ⟹ BD²= AB 2 + AD2 .
2(2) + 3(−2) + 2 = 0
4−6+2= 0
3) a) - A(2 ; −2) et C(−4 ; 2) ; 2x + 3y + 2 = 0 {
⟹{
2(−4) + 3(2) + 2 = 0
−8 + 6 + 2 = 0
0=0
⟹{
⟹ 2x + 3y + 2 = 0 est une équation de (AC).
0=0
3(1) − 2(3 ) + 3 = 0
3−6+3 = 0
- B(1; 3) et D(−3; −3) ∶ 3x − 2y + 3 = 0 {
⟹{
3(−3) − 2(−3) + 3 = 0
−9 + 6 + 3 = 0
0=0
⟹{
⟹ 3x − 2y + 3 = 0 est une équation de (BD).
0=0
3
2x + 3y + 2 = 0
6x + 9y + 6 = 0 (1)
b) {
→{
→ (1) − (2) ∶ 13y = 0 ⟹ y = 0.
3x
−
2y
+
3
=
0
(
)
6x
−
4y
+
6
=
0
2
2
-
−2
On remplace y dans (1) : 2x+3y+2=0 ⟹ 2x + 3(0) + 2 = 0 ⟹ x = 2 ⟹ x = −1 ⟹ s = {−1; 0}.
c) Le point dont les coordonnées sont solution de ce système est le point d’intersection des
diagonales.
V=
1
3
× S2 × h =
1
3
N
Exercice 5 :
1) Calculons le volume V de la pyramide SABCD :
× 4cm × 4cm × 5cm ⟹ V =
80
3
⟹ V  26,7cm3.
2) a) La section EFGH est un carré.
b) En considérant le triangle SOA : D’après le théorème de Thales on a :
=
SE
=
EI
⟹
EI
=
SI
⟹
EI
3
= 5.
IP
SI
SO
SA
AO
AO
SO
AO
- Calcul de AO : En se référant au triangle SOA : Comme que ABCD est un carré de côté 4cm, en
appliquant le Théorème de Pythagore on aura AC²= AD² + DC² = 4²+ 4² ⟹ AC = √32 ;
d’où AC = 4√2 . Or AO =
1
AC =
4√ 2
⟹ AO = 2√2.
2
2
- Calcul de EI : D’après le théorème de Thales appliqué au triangle SAO :
EI 3
EI
3
6√2
= ⟹
= ⟹ 5EI = 3 × 2√2 ⟹ 5EI = 6√2 ⟹ EI =
.
AO 5
5
2√2 5
Comme que EFGH est un carré alors ses diagonales se coupent perpendiculairement, d’où le
triangle EIF est rectangle isocèle en I(EI = IF), on a : EI 2 + IF 2 = EF², donc :
2
2
6√2
6√2
72 72
144
12 2
144
12
) +( ) = + =
EF = EI + IF = (
= ( ) . D′ où ∶ EF = √
= .
5
5
25 25
25
5
25
5
1 12
12
144
3
3
2
2
c) V’ = ×
3
5
2
cm ×
5
cm × 3cm ⟹ V’ =
25
3) Le volume du tronc restant est égal à : V − V ′ =
cm soit V’ ≈ 5,8 cm .
80
3
D’où : V − V′ ≈ 20,9 cm3.
.
11
cm3 −
144
25
cm3 =
2000−432
75
cm3 =
1568
75
cm3.
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC : 2017
Exercice1 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de 4 questions : chacune comporte trois
réponses, une et une seule étant exacte. Préciser la bonne réponse.
N0
Questions
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
Le nombre (3√2 − √3 )² est égale à
15
21−6√6
15−6√6
2
La valeur médiane de la liste suivante :
30-23-28-30-29-28-30-26-34-35-24 est
28
29
30
3
Si f est une fonction affine telle que f(1) = 1 et
f(−2) = 7 alors f(x) =…..
2𝑥 − 1
−𝑥 + 5
−2𝑥 + 3
4
Si A est un point d’un cercle de diamètre [BC] et de
rayon 1cm tel que AC = 1cm ; alors sin(𝐴𝐵̂ 𝐶) =
1
2
√2
2
√3
2
IP
N
Exercice 2 :
On considère l’expression : E = (3𝑥 + 1)² − (2 + 𝑥)²
1) Développer E, puis calculer la valeur de E pour 𝑥 = −2
2) Factoriser l’expression E puis résoudre dans ℝ l’équation E=0.
Exercice 3 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;I;J). L’unité est le centimètre
1)a) Placer les points A(1 ; 5), 𝐵(−1 ; 3) 𝑒𝑡 𝐶(2 ; 0). Tracer le triangle ABC.
b) determiner une équation de la droite (AB).
2)a) Montrer qu’une équation de la droite (CB) est y = 2 − 𝑥
b) Montrer que les droites (AB) et (CB) sont perpendiculaires.
c) En déduire la nature du triangle ABC.
3) K est le milieu du côté [AC], L est le point de la droite de la droite (CB) d’abscisse 0,5.
a) Calculer Ordonnée L puis montrer que L est le milieu du segment [BC].
b) Sans calcul de distance déterminer la valeur de
𝐾𝐿
𝐴𝐵
.
Exercice 4 :
Mohamed, Brahim et Sidi veulent acheter 9 gâteaux de même prix et 4 boissons également.
Mohamed doit payer 5 gâteaux et 2 boissons et Brahim le reste. Le marchand demande à Mohamed 2150 Um
et à Brahim 1700 Um. Sidi calcule le prix d’un gâteau et celui d’une boisson et s’exclame alors : << impossible,
il y a une erreur ! >>. Sidi a-t-il raison ? Justifier
Exercice 5 :
1) Ecrire la relation reliant le volume V, la hauteur h et l’aire A de disque de base d’un cône de révolution.
2) Un cône de révolution de hauteur h = 8cm et de volume v = 96𝜋𝑐𝑚 3.
a) Calculer l’aire A du disque de base de ce cône.
b) Montrer que le rayon de base de ce cône est r = 6cm, puis calculer sa génératrice g.
c) Calculer l’angle au sommet du secteur circulaire représentant la surface latérale de ce cône puis construire
son patron.
12
Correction du BEPC 2017
Exercice1 :
2
2
1) (3√2 − √3)² = (3√2) − 2 × 3√2 × √3 + (√3) = 18−6√6 + 3 = 21 − 6√6 ⟹ Réponse B.
2) Apres rangement : 23-24-26-28-28-29-30-30-30-34-35 d’où la médiane est 29 ⟹ Réponse B.
a + b = 1 (1)
3) f(1)=1 et f(− 2) = 7 : {
−2a + b = 7 (2)
(1)−(2) : 3a = −6 → a =
−6
3
→ a = −2
Calcul de b : 𝑎 + 𝑏 = 1 ⟹ −2 + b = 1 ⟹ b = 3, d′ où ∶ f(x) = −2x + 3 ⟹ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐬𝐞 𝐂.
4) Comme [𝐵𝐶 ] est un diamètre du cercle, et A un point de ce cercle alors ABC est un triangle rectangle en
̂ C)= 1 ⟹ Réponse A.
A, d’où : sin(AB
2
Exercice2 :
1) ∎ E=(3x + 1)² − (2 + x)2 = (3x)2 + 2 × 3x × 1 + 1² − (22 + 2 × 2 × x + x 2 )
= 9x² + 6x + 1 − 4 − 4x − x²
= 8x² + 2x − 3.
∎ Si x = −2 E =: 8(−2)2 + 2(−2) − 3 = 8(4) + 2(−2) − 3 = 32 − 4 − 3 = 25.
N
2) Factorisation :
∎ (3x + 1)² − (2 + x)2 = ((3x + 1) − (2 + x))((3x + 1) + (2 + x))
=(3x + 1 − 2 − x)(3x + 1 + 2 + x) = (2x − 1)(4x + 3).
∎ Résolution de E = 0 : (2x − 1)(4x + 3) = 0 équivaut à 2x − 1 = 0 ou 4x + 3 = 0
1
−3
−3
1
Exercice3 :
IP
⟹ x = 2 ou x = 4 ⟹ S = { 4 ; 2}
b)Equation de la droite (AB)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x−1). AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et AB
⃗⃗⃗⃗⃗ sont
M(x ; y) ∈ (AB) ∶ AM
y−5
⃗⃗⃗⃗⃗ (−1−1) ⟹ AB
⃗⃗⃗⃗⃗ (−2). Soit
AB
3−5
−2
colinéaires,
donc le produit en croix est nul
; −2(x − 1) − (−2)(y − 5) = 0 :
⟹ −2(x − 1) + 2(y − 5) = 0 ⟹ −2x + 2 + 2y − 10 = 0 ⟹ y =
2x+8
→ y = x + 4 ⟹ m = 1.
2
2) a) Equation de la droite (CB)
3
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x−2)
CB(2+1
) ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
CB( −3
) Soit M (x ; y) ∈ (CB) : CM
y
0−3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
CM
CB sont colinéaires : donc le produit en croix est nul
⟹y=
3x−6
; −3(x − 2) − 3y = 0
⟹ y = 2 − x ⟹ y = −x + 2 ⟹ m’ = −1.
−3
b) Propriété : Deux droites de coefficients directeurs respectifs m et m’ sont perpendiculaires si m×m’ = −1.
1 × −1 = −1. Donc (AB) et (CB) elles sont perpendiculaires.
c) Comme que (AB) et (CB) sont perpendiculaires alors le triangle ABC est rectangle en B.
13
3)a) ∎ L(0,5 ; y) ; L∈ (CB), d’où y = 2 − x ⟹ y = 2 − 0,5 ⟹ y = 1,5 ; d’où L(0,5 ;1,5).
∎ Le milieu de [BC] a pour coordonnées (
2−1
2
;
0+3
2
) = (0,5 ; 1,5) ce sont les coordonnées L ;
d’où L est milieu de [BC].
KL 1
1
b) K est le milieu de [AC] et L le milieu de [CB], donc KL= 2AB ; d’où
= .
AB 2
Exercice 4 :
Soit x le prix d’un gâteau et y le prix d’une boisson.
5𝑥 + 2𝑦 = 2150 (1)
{
⟹ (1) – (2) : x = 450
4𝑥 + 2𝑦 = 1700 (2)
On remplace x dans l’équation (1) pour trouver y :
5x +2y =2150 ⟹ 5(450) + 2𝑦 = 2150 ⟹ 2250𝑦 = 2150 ⟹ 2𝑦 = −100 ⟹ 𝑦 = −50 impossible.
Oui Sidi a raison car le vendeur ne peut vendre à perte car y < 0
1) Le volume d’un cône de
N
Exercice 5 :
révolution de hauteur h et de rayon r
1
πr 2 × h.
3
2) a) Calculons l’aire 𝐴𝑏 du disque de base d’un cône de hauteur h = 8cm et de volume v = 96𝜋𝑐𝑚 3 :
1
3V
3×96πcm3
V = 𝐴𝑏 × h ⟹ 𝐴𝑏 =
⟹ 𝐴𝑏 =
⟹ 𝐴𝑏 = 36πcm2 .
3
h
8 cm
b) Montrons que le rayon de base de ce cône est r = 6cm, puis calculons sa génératrice g.
1
3v
3×96πcm3
288πcm3
∎ V = πr 2 × h ⟹ r 2 =
⟹ r2 =
⟹ r2 =
⟹ r 2 = 36 cm2
3
π×h
8 cm
π×8 cm
⟹ r = √36 cm ⟹ r = 6 cm.
∎ g=√r 2 + h² ⟹ g = √62 + 82 = √36 + 64 ⟹ g = √100 ⟹ g = 10cm.
IP
(rayon du disque) est : V =
c) Calculons α l’angle au sommet du secteur angulaire représentant ce cône puis construisons son
patron :
r
6
∎ α = 3600×
⟹ α = 360° ×
⟹ α = 216°.
SA
10
∎ Le patron du cône
14
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
BEPC 2018
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
Exercice 1 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de 4 questions : chacune comporte trois réponses, une et une
seule étant exacte. Précisez la bonne réponse.
N°
Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
Si −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 alors
𝟎 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟒
−𝟐 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟏𝟎
−𝟐 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟐 0,75 pt
2
⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟐𝑰𝑪
⃗⃗⃗⃗ alors B est l’image de C par de centre I et de de centre I et de de centre B et de
Si 𝑰𝑩
rapport (– 2)
rapport 2
rapport (– 2)
l’homothétie …
0,75 pt
3
L’inverse du nombre
4
Si ABC est un triangle isocèle en A, inscrit
̂ = 𝟔𝟎°
dans un cercle de centre O tel que 𝑨𝑶𝑩
̂ est égal à :
, alors l’angle 𝑩𝑨𝑪
𝟏
√𝟓+√𝟑
est :
√𝟓 − √𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
√𝟓 − √𝟑
√𝟓 − √𝟑
0,75 pt
𝟔𝟎°
𝟏𝟐𝟎°
𝟑𝟎°
0,75 pt
Exercice 2 (4 points)
On considère l'expression : 𝐀 = 𝐱 𝟐 − 𝟔𝐱 + 𝟗 + (𝐱 − 𝟑)(𝐱 + 𝟓)
1) Développer, réduire et ordonner l’expression A.
2) Calculer et simplifier la valeur de A lorsque 𝐱 = √𝟓.
3) Factoriser l'expression A puis résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation A = 0
Exercice 3 (5 points)
Dans un repère orthonormé (O, I, J) on donne les points A( -2 ; 2), B(3 ; 3) et C(4 ; -1) .
1) a- Placer les points A, C et B.
b- Calculer BC et vérifier que AC = 3√𝟓
2) a- Déterminer l’équation réduite de la droite (BC).
𝟏
b- Soit ∆ la droite passant par le point A et de coefficient directeur 𝟒.
Que représente ∆ pour le triangle ABC ? Justifier.
3) Soit E le point de [𝐀𝐂] tel que 𝑪𝑬 = √𝟓. La parallèle à (AB) passant par E coupe (BC) en F.
Déterminer la valeur exacte de CF puis son arrondi au dixième près.
IP
N
1.5 pt
1 pt
1.5 pt
Exercice 4 (5 points)
On considère la pyramide SABCD dont la base est le rectangle ABCD et de hauteur [SH]. On donne :
̂ =90° et 𝑺𝑨𝑪
̂ = 60°.
AB = 8 cm, AD = 4 cm, 𝑺𝑯𝑪
1) Montrer que AC = 4 √𝟓 cm, puis calculer AH.
2) Déduire que SH = 2 √𝟏𝟓 cm
3) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
4) La pyramide SABCD est-elle régulière ? Justifier.
1.5 pt
1 pt
1.5 pt
1 pt
Exercice 5 (3 points)
Dans un groupe composé de 17 garçons et 13 filles, 10 élèves dont 3 filles sont orientés
en série « Mathématiques » ; 6 élèves dont 2 garçons en séries « lettres » et les autres en série « Sciences naturelles ».
1) Recopier et compléter le tableau suivant :
0.75 pt
Série « mathématiques »
Série « sciences naturelles »
Séries « lettres »
2
Total
17
13
30
Garçons
Filles
3
Total
10
14
6
2) On choisit au hasard un élève du groupe.
a- Déterminer la probabilité que l’élève choisi soit un garçon.
b- Déterminer la probabilité que l’élève choisi soit orienté en série « mathématiques ».
c- Déterminer la probabilité que l’élève choisi soit une fille orientée en série « sciences naturelles ».
Fin.
15
0.75 pt
0.75 pt
0.75 pt
Correction du BEPC 2018
Exercice 1 : (3 points)
Question
1
2
3
4
Réponse
B
A
C
B
Justification (QCM)
1) −1 ≤ 𝑥 ≤ 3, on multiplie par 3 et on ajoute 1 à cet encadrement, on obtient un encadrement de 3𝑥 + 1 :
−2 ≤ 3𝑥 + 1 ≤ 10 ⟹ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐜𝐞 𝐁.
⃗⃗⃗⃗ ⇔ ℎ(𝐼 ; −2) (𝐶) = 𝐵 ⟹ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐜𝐞 𝐀.
⃗⃗⃗⃗ = −2𝐼𝐶
2) 𝐼𝐵
1
2
1
2
3) L’inverse du nombre
est
, car
×
= 1 ⟹ 𝐑é𝐩𝐨𝐧𝐜𝐞 𝐂.
√5+√3
√5−√3
√5+√3 √5−√3
4) A∈𝒞[ABC] ⇒ Le triangle ABC est inscrit dans le cercle 𝒞, de plus ABC est isoTapez une équation ici.cèle
en A, on a :
1
̂ = 𝑚𝑒𝑠ACB
̂ = mes𝑨𝑶𝑩
̂ =180°−(30+30) =120° ⇒ Réponse B.
̂ =30° ⇒𝑚𝑒𝑠BAC
𝑚𝑒𝑠ABC
2
Exercice 𝟐 (4points)
N
𝐴(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + (𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
1°) Forme développée de l’expression de E :
𝐴(𝑥) = 𝑥 2 −6𝑥+9+[𝑥 2 +2𝑥−15] = 2𝑥 2 −4𝑥−6. Donc : A = 2𝑥 2 −4𝑥−6.
La valeur numérique de A lorsque (𝑥 =√5) :
Pour 𝑥 = √5 𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 :
𝐴(√5) = 2(√5)2 −4×√5−6 = 4−4√5 = 4(1−√5). D’où : 𝐴(√5) = 4(1−√5).
2°) Factorisons de l’expression de E :
𝐴(𝑥) = (𝑥−3)2 −(𝑥−3)(𝑥+5) = (𝑥−3) (𝑥+5+𝑥−3) = (𝑥−3) (2𝑥+2). Donc : 𝐴(𝑥) = (2𝑥+2)(𝑥−3).
−2
(2x + 2) = 0
2x = −2
x= 2
𝐴(𝑥)=0  {
 { ou  { ou ⟹ 𝕤 = {−1 ; 3}.
ou
(x − 3) = 0
x=3
x=3
IP
Exercice 𝟑 (5points)
1. a) Voir la figure ci – contre :
b) Calculons BC puis vérifions que AC = 3√5.
BC = √(4−3)2 + (−1 − 3)2 = √1 + 16 = √17
AC = √(4+2)2 + (−1 − 2)2 = √36 + 9
= √45 = √9  5 = √9  √5 = 3√5.
2.a) Equation de la droite (BC) : soit g est une fonction
g(3) = 3
affine tel que : {
, le coefficient directeur de
g(4) = −1
g(4)−g(3) −1−3
(BC) 𝛼 =
=
= −4.
4−3
4−3
Or 𝑔(4) = −16 + 𝑏 = −1 ⇒ 𝑏 = 16 − 1 = 15 ; donc équation de la droite (BC) est :
(𝐵𝐶) : 𝑦 = −4𝑥 + 15
1
b) Le coefficient directeur de la droite (Δ) est 𝛼′ = 4
α ≠ 0 et α′ ≠ 0
1
Les droites (BC) et (Δ) sont perpendiculaires 𝑐𝑎𝑟 {
.
α × α′ = 4 × −4 = −1
Alors la droite (Δ) est la hauteur issue du point A.
3. On sait que les droites (EF)//(AB) sont parallèles, d’après la propriété de Thales :
16
CF
CB
=
CE
CA
=
EF
CF CE
CE×CB √5×√17
√17
⇒
=
⇒ 𝐶𝐹 =
=
⇒ 𝐶𝐹 =
⇒ 𝐶𝐹  2.4cm.
AB CB CA
CA
3 √5
3
Exercice 4 : (5points)
1°) Montrons que AC= 4√5 ?
On sait que le triangle ABC est rectangle en B, d’après Pythagore : 𝐴𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐴𝐷2 .
Application numérique : 𝐴𝐶 2 = 82 +42 = 64 + 16 = 80 = 16 × 5 ; d’où AC = 4√5 𝑐𝑚.
1
1
H étant le milieu de [𝐀𝐂] ⇒ AH = 𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐻 = × 4√5 = 2√5 cm.
2
2
2°) Calculons la hauteur de la pyramide :
SH
tan(60°) =
⟹ 𝑆𝐻 = 𝐴𝐻 × tan(60°) = 2√5 cm× √3 = 2√15 𝑐𝑚 ; d’où : SH = 2√15 𝑐𝑚.
AH
3°) Le volume V de la pyramide SABCD est donné par la formule :
1
V= × Aire de base (Aire rectangle) × hauteur.
3
1
64
64
V = × 8𝑐𝑚 × 4𝑐𝑚 × 2√15𝑐𝑚 =
√15 𝑐𝑚3 . D’où : V =
√15 𝑐𝑚3 .
3
3
3
4°) La pyramide SABCD non régulière car la base rectangle qui n’est pas un polygone régulier.
Exercice 𝟓 : (3 points)
On donne le le tableau suivant :
Garçons
7
Filles
3
Total
10
Série « sciences naturelles »
Séries « lettres »
Total
8
2
17
6
4
13
14
6
30
N
Série « mathématiques »
IP
On calcule la probabilité les événements suivantes :
∎ La probabilité que l’élève choisi soit un garçon : 𝑃(𝐴) =
𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴)
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝜔)
=
17
30
.
∎ La probabilité que l’élève choisi soit orienté en série « mathématiques » : 𝑃(B) =
𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐵)
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝜔)
∎ La probabilité que l’élève choisi soit une fille orientée en série « sciences naturelles » :
𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐶)
6
1
𝑃(C) =
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝜔)
=
30
=
5
.
17
=
10
30
=
1
3
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC 2019
Exercice 1 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de 4 questions : chacune comporte trois réponses, une et une
seule étant exacte. Précisez la bonne réponse. La justification n’est pas demandée.
N° Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
L’ensemble de solutions de l’équation
𝕤 = {3}.
𝕤 = {−1; 3}. 𝕤 = {1 ; 3}.
0,75 pt
|𝒙 − 𝟏| = 𝟐 dans ℝ, est
2
3
𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 équivaut à
Soit a un nombre réel et b =
−𝟏 ≤ 𝟑 − 𝟐𝒙 ≤ 𝟑 −𝟑 ≤ 𝟑 − 𝟐𝒙 ≤
𝟏
𝟒+𝟐𝐚𝟐
alors
𝟏 + 𝟐𝟏
𝒃 = 𝟐𝒂𝟐 + 𝟐
𝒃 = 𝟐𝒂𝟐 + 𝟏
−𝟑 ≤ 𝟑 − 𝟐𝒙 ≤ −𝟏 0,75 pt
𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝟐
0,75 pt
𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟔
0,75 pt
𝐚 +𝟏
4
Si g une fonction affine dont la représentation
graphique est une droite passant par A(-6 ; 0)
et telle que g(4) =10 alors
𝟏
𝒈(𝒙) = − 𝒙 + 𝟑 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐
𝟐
Exercice 2 : (3 points)
On considère l'expression :𝐏(𝐱) = (𝟑𝐱 − 𝟔)(𝐱 + 𝟑) − (−𝐱 + 𝟐)(𝐱 − 𝟑)
Exercice 3 : (4 points)
N
1) Développer réduire et ordonner l’expression P(x).
2) Calculer et simplifier la valeur de P(x) lorsque 𝐱 = √𝟐.
3) Factoriser l'expression P(x).
IP
Dans un repère orthonormé (O, I, J) on donne les points A( 0 ; -3), B(4 ;-1) et C(2 ; 3) .
1. a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
b) Placer les points A, B, C et D.
𝟏
𝟏
2) a) Montrer que l’équation réduite de la droite (BD) est 𝒚 = − 𝟑 𝒙 + 𝟑
b) Déterminer le coefficient directeur la droite (AC). Justifier que (AC) est perpendiculaire à (BD)
3) Soit K le point d'intersection de (AC) et (BD) et h l'homothétie de centre A qui transforme K en C
a) Déterminer le rapport de h
b) Déterminer l'image de la droite (AB) par h.
Exercice 4 : (4 points)
Ali veut acheter 6 livres et 6 cahiers, il donne 500 N-UM au vendeur. Le vendeur lui dit << le prix que tu dois payer est de
390 N-UM mais avec le reste de ton argent tu peux acheter encore 2 livres et 1 cahier »
Soit x le prix d'un livre el y celui d'un cahier.
1° Montrer que x et y vérifient le système suivant : {
x + y = 65
4x + 2y = 220
2° Calculer alors le prix d'un livre et celui d'un cahier.
Exercice 5 : (6 points)
̂=
ABC est un triangle rectangle en A tel que AC=6 et 𝑨𝑩𝑪
𝝅
𝟔
.
On désigne par (T) le cercle circonscrit au triangle ABC et soit I le
milieu de [𝑩𝑪].
La parallèle à (AI) passant par B coupe (AC) en D
1° Reproduire et compléter la figure.
2° Vérifier que AB= 𝟔√𝟑 puis calculer BC.
3° a) Que représente le point I pour le cercle (T) ? Déterminer le rayon
de ( T)
̂ = 120°
b) Montrer que 𝑨𝑰𝑩
4° a) Déterminer les projetés des points B, I et C sur (AC) parallèlement
à (AI)
b) Calculer la distance CD.
e) En déduire que la hauteur issue de D dans le triangle BCD mesure 𝟔√𝟑.
18
Correction du BEPC 2019
Exercice 1 : (3 points)
Question
Réponse
Justification (QCM) :
1
B
2
B
3
A
4
C
x = −2 + 1
x − 1 = −2
x = −1
{
ou
ou
 { ou
⟹ Réponse B.
x = 2+1
x−1= 2
x= 3
2) 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 ⟹ −6 ≤ −2𝑥 ≤ −2 ⟹ 3−6 ≤ 3 − 2𝑥 ≤ 3 − 2 ⟹ −3 ≤ 3 − 2𝑥 ≤ 1 ⟹ Réponse B.
2
2(a2+2)
3) On a b = 4+2a1 alors b = 2
⟹ 2(a2 + 1) = 2a2 + 2 ⟹ Réponse A.
a +2
1+ 2
1) |𝑥 − 1| = 2 équivaut à {
a +1
a2+1
4) Si g est une fonction affine ⇒ g(x) = ax + b tel que a =
g(4)−g(−6)
4−(−6)
Or g(4) = 10 ⇒ 10 = 4 × 1 + b ⇒ b = 6 ⇒ g(x) = x + 6 ⟹ Réponse C.
Exercice 𝟐 : (3points)
𝑃(𝑥) = (3x − 6)(x + 3) − (−x + 2)(x − 3)
=
10−0
4+6
= 1.
Donc P(√𝟐) = − 4 – 2 √𝟐.
N
1°) Forme développé de l’expression de P :
P(x) = 3𝑥 2 + 3x − 18 − [−𝑥 2 + 5x − 6] = 4𝑥 2 − 2x – 12. Donc : P(x) = 4x2 − 2x – 12.
La valeur numérique lorsque (x = √𝟐 )
2
Pour x = √𝟐 on remplaçant x par sa valeur on obtient : P(√𝟐) = 4 √𝟐 − 2√𝟐 – 12 = − 4 – 2 √𝟐.
2°) Factorisons de l’expression de P :
P(x) = 3(x − 2)(x + 3) + (x − 2)(x − 3) = (3x + 9 + x − 3)(x − 2)=(4x + 6)(x − 2).
IP
Donc : P(x) = (4x + 6)(x − 2)
−6
−3
4x + 6 = 0
4x = −6
x= 4 = 2
P(x) = 0 ⟹ {
⟹{
⟹{
x − 2= 0
x= 2
x= 2
Exercice 𝟑 ∶ (4 points)
−3
⟹𝕤= {
2
; 2}.
1°a) Pour les coordonnées du point D, on a ABCD est un parallélogramme ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 c’est – à- dire :
𝑥
−
𝑥
=
𝑥
−
𝑥
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝑥𝐶 −𝑥𝐷
𝑥𝐵 −𝑥𝐴
(𝑦 −𝑦 ) = (𝑦 −𝑦 ) ⟹ {𝑦 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑦 ⟹
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝑥𝐷 = 𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
𝑥𝐷 = 0 + 2 − 4
= −2
{
⟹{
𝑦𝐷 = 𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
𝑦𝐷 = − 3 + 3 − −1 = 1
⟹ 𝐷( − 2 ; 1).
b) plaçons les points A, B, C et D.
2) a) Equation de la droite (BD) :
Le coefficient directeur de (BD) est 𝑚(𝐵𝐷) =
𝑦𝐵−𝑦𝐷 − 1 − 1
−2 −1
−1
=
=
=
; donc y =
𝑥 + p,
𝑥𝐵−𝑥𝐷 4 − − 2
6
3
3
−1
la droite passe par 𝐷( − 2 ; 1) alors 1 = 3 × (−2) +
−2
1
p ⟹ 𝑝 = 1 + 3 = 3.
−1
1
Donc équation de la droite (BD) est : y =
𝑥+ .
3
3
2 a) Equation de la droite (AC) :
19
Le coefficient directeur de (AC) est 𝑚(𝐴𝐶) =
𝑦𝐶 −𝑦𝐴
=
3 −(− 3)
=
6
=3;
𝑥𝐶 −𝑥𝐴
2−0
2
donc y = 3𝑥 + p, la droite passe par 𝐴( 0 ; − 3) alors − 3 = 3 × 0 + p ⟹ 𝑝 = − 3.
D’où l’équation de la droite (AC) est : 𝑦 = 3 𝑥 − 3.
−1
Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires 𝑐𝑎𝑟 𝑚(𝐴𝐶) × 𝑚(𝐵𝐷) = 3 × 3 = − 1.
On pourra également montrer que ABCD est un carré pour cela il suffit de vérifier que les diagonales [𝐴𝐶] et
[𝐵𝐷] ont la même longueur et deux côtés consécutifs de ce quadrilatère sont égaux. Ainsi les supports de
ces diagonales sont perpendiculaires.
3°a) Soit K le point d'intersection de (AC) et (BD), les deux supports des diagonales du
parallélogramme ABCD, donc K est le milieu des segments [𝐴𝐶 ] et [𝐵𝐷] . Soit h l’homothétie de centre A
ℎ(𝐴 , 𝛼) (A) = A
𝐴𝐶
2𝐴𝐾
qui transforme K en C ; on a :{
. Le rapport 𝛼 =
=
= 2, donc ℎ(𝐴 , 2) (K) = C.
ℎ(𝐴 , 𝛼) (K) = C
𝐴𝐾
𝐴𝐾
b) ℎ(𝐴 , 2) (B) = N, donc A, B et N sont alignés autrement dit l’image de la droite (AB) par h est :
ℎ(𝐴 , 2) (AB) = (AN).
Exercice 4 : (5 points)
Exercice 5 : (6 points)
N
𝑥 le prix d′ un livre 𝐍 − 𝐔𝐌
Traduisons les données de cette situation problème en désignant par : {
.
𝑦 le prix d′un livre 𝐍 − 𝐔𝐌
6x + 6y = 390 → (1)
On a le système suivant : {
. On divise l’équation (1) par 6, on obtient le
2x + y = 500 − 390 → (2)
x + y = 65 → (1′)
système : {
. On effectue membre à membre la différence (2) − (1′) on obtient :
2x + y = 110 → (2)
Le prix d′ un livre 𝐞𝐬𝐭 𝟒𝟓 𝐍 − 𝐔𝐌
x = 45 ; on remplace x par 45 dans l’équation (1′) et on tire : y = 20. D’où {
Le prix d′ un livre est 20 𝐍 − 𝐔𝐌
IP
1°) Voir la figure ci-dessous
2°) Vérifions que AB = 6√3 puis calculons BC :
𝜋
𝐴𝐶
𝐴𝐶
∎ tan ( ) =
6
𝐴𝐵 ⟺ 𝐴𝐵 = tan (𝜋) = 6√3.
6
∎ Le triangle ABC est rectangle en A ;
d’après théorème de Pythagore on a :
𝐴𝐶 2 + 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐶 2 ,
𝑑′𝑜ù: 𝐵𝐶 = √36 + 108 = 12.
3° ) a) Le point I le milieu de l’hypoténuse
du triangle rectangle ABC est le centre du
cercle (T) circonscrit à ce triangle. Le rayon
𝐵𝐶
12
𝑟 de (T) est 𝑟 =
=
= 6 𝑐𝑚.
2
2
̂ = 120°.
b) Montrons que 𝐴𝐼𝐵
̂ et l’angle inscrit
L’angle au centre 𝐴𝐼𝐵
̂ interceptent le même arc 𝐴𝐵
̂ , donc
𝐴𝐶𝐵
̂ = 2× 𝐴𝐶𝐵
̂.
𝐴𝐼𝐵
̂ et 𝐴𝐵𝐶
̂ sont
Or les angles 𝐴𝐶𝐵
complémentaires, donc :
𝜋
𝜋
𝜋 𝜋
̂ = − 𝐴𝐵𝐶
̂ = − = soit 60°.
𝐴𝐶𝐵
2
2
6 3
20
𝐶𝐷 = 12
𝐷𝐼 = ℎ = 6 √3
IP
̂ = 120°
𝐴𝐼𝐵
N
̂ = 2× 60° = 120°.
D’où : 𝐴𝐼𝐵
On pourra également procéder comme suit :
Le point I est centre du cercle (T) circonscrit au triangle rectangle ABC ; donc 𝐴𝐼 = 𝐵𝐼 = 𝐶𝐼 = 6.
Le triangle AIC est un équilatéral 𝐴̂ = 𝐼̂ = 𝐶̂ = 60°.
̂ et 𝐴𝐼𝐶
̂ deux angles sont supplémentaires c’est –à-dire :
Les angles 𝐴𝐼𝐵
̂ = 180° - 𝐴𝐼𝐶
̂ = 180° - 60° = 120°
𝐴𝐼𝐵
4° a) Déterminons les projetés des points B, I et C sur (AC) parallèlement à (AI)
∎ Le projeté du point C est C ( C est invariant) ;
∎ Le projeté du point I est A ;
∎ Le projeté du point B est D.
b) Calculons la distance CD :
Le point I est le milieu de [𝐵𝐶 ], la projection conserve le milieu, donc A est le milieu de [𝐶𝐷]
l’image du segment [𝐵𝐶 ] ; d’où : CD = 2CA= 2× 6 = 12𝑐𝑚.
c) En déduire que la hauteur issue de D dans le triangle BCD mesure 6√3.
On sait que les droites (BD) et (AI) sont parallèles, d’après la propriété de Thales :
CD CB DB BD CB
=
=
⇒
=
⇒ 𝐵𝐷 = 2 × 𝐴𝐼 = 2 × 6 = 12 𝑐𝑚.
CA CI
AI
AI CI
On tire de ce qui précède que BD = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 ; donc BCD est un triangle équilatéral. Sa hauteur h
𝐶ô𝑡é
12
est égale à :
× √3 ⟺ 𝐷𝐼 = ℎ = 2 × √3 = 6√3.
2
D’où le résultat :
𝐵𝐶 = 12
𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 = 6
𝐴𝐵 = 6√3
21
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC 2020
Exercice 1 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de 4 questions : chacune comporte trois réponses, une et une
seule étant exacte. Précisez la bonne réponse. La justification n’est pas demandée.
N°
1
Question
2
Une écriture simple du nombre 𝟐√𝟏𝟐 (√𝟑 − 𝟏𝟐 ) est
3
Réponse A
𝟐
(3-2√𝟓) est égal à
√𝟏𝟐
Si −𝟒 < 𝒙 < −𝟐 alors
−𝟐 <
Réponse B
Réponse C
𝟓
𝟐𝟗 − 𝟏𝟐√𝟓
−𝟏𝟏 − 𝟏𝟐√𝟓
10
5
0
𝟒
< −𝟏
𝒙
−𝟒 <
𝟒
< −𝟐
𝒙
Pour tous nombres réels a et b, non nuls (𝒃−𝟐𝒂)𝟐 est
𝟔𝒂𝟒 𝒃𝟕
égal à
0,75 pt
𝟒
0,75 pt
< −𝟐
𝒙
0,75 pt
𝟑 𝟕
𝟖𝒂 𝒃
−𝟏 <
𝒂𝟐 (𝟐𝒂𝒃)𝟑
4
0,75 pt
𝟖𝒂𝟑 𝒃−𝟏
Exercice 2 : (4 points)
On considère l'expression : 𝐀 = 𝐱 𝟐 − 𝟒 + 𝟐(𝐱 + 𝟐)𝟐
1.5 pt
2) Calculer et simplifier la valeur de A lorsque 𝐱 = √𝟐.
3) a) Factoriser 𝐱 𝟐 − 𝟒 puis factoriser l'expression A.
b) Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation A = 0.
0.5 pt
1.5 pt
0.5 pt
Exercice 3 : (4 points)
N
1) Développer (𝐱 + 𝟐)𝟐 , puis développer réduire et ordonner l’expression A.
IP
Dans un repère orthonormé (O, I, J) on donne les points A(1 ; 2), B(2 ; -1) et C(5 ; 0).
1) Placer les points A, B et C.
2) Calculer la distance AB
3) a) Montrer que le coefficient directeur de la droite (AB) est -3 puis donner son équation réduite.
b) On considère le point D(4 ; 3). Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
c) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
1 pt
0.75 pt
1 pt
0.75 pt
0.5 pt
Exercice 4 : (5 points)
̂ =30°.
(C) est un cercle de diamètre [AB] et de centre O tel que AB= 6 cm et D un point de (C) tel que, 𝑫𝑩𝑨
1°) Faire une figure
2°) Justifier que le triangle ABD est rectangle en D.
̂ et en déduire la nature du triangle AOD
3°) Calculer la mesure de l’angle, 𝑨𝑶𝑫
4°) a) Justifier que AD =3cm
b) En déduire la valeur exacte de BD et son arrondie au centième près.
1 pt
1 pt
1.5 pt
0.5 pt
1 pt
Exercice 5 : (4 points)
Pour lutter contre la pandémie du COVIDE-19 dans un village donné, une association d’élèves, composée de 27
garçons et 24 filles, veut constituer des groupes de sensibilisation et des groupes de soutien. Chaque groupe de
sensibilisation contient 2 filles et 1 garçon. Chaque groupe de soutien contient 2 filles et 4 garçons.
Soit x le nombre des groupes de sensibilisation et y celui des groupes de soutien.
x + 4y = 27
x + y = 12
1° Montrer que x et y vérifient le système {
1.5 pt
2° Déterminer le nombre des groupes de sensibilisation et celui des groupes de soutien
2.5 pt
Fin.
22
Correction du BEPC 2020
Exercice 1 : (3 points)
Question
Réponse
1
B
2
A
3
A
4
C
Exercice 𝟐 : (4 points)
Exercice 𝟑 : (5points)
N
Soit 𝐴(𝑥 ) = 𝑥 2 − 4 + 𝟐(𝐱 + 𝟐)𝟐 .
1) Développons (x + 2)2 , puis développons, réduisons et ordonnons l’expression A :
∎ (x + 2)2 = 𝑥 2 + 2 × (𝑥) × 2 + 22 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4.
∎ Forme développée de l’expression de A :
𝐴(𝑥) = x 2 − 4 + 2(x + 2)2 = x 2 − 4 + 2(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) = x 2 − 4 + 2𝑥 2 + 8𝑥 + 8 = 3x 2 + 8𝑥 + 4.
Donc : 𝐴(𝑥) = 3𝑥 2 + 8𝑥 + 4.
2) Calculons et simplifions la valeur de A lorsque x = √2 :
Pour 𝑥 = √2 , on remplace 𝑥 par sa valeur ; on obtient :
𝐴(√2)=3(√2)2 +8×√2+4=3× 2+8√2+4=10+8√2 = 2(5+4√2) ; d’où : 𝐴(√2)=2(5+4√2).
3) a) Factorisons x 2 − 4 puis factorisons l'expression A :
∎ 𝑥 2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
∎ Factorisons de l’expression de A :
𝐴(𝑥) = 𝑥 2 − 4 + 2(x + 2)2 = (x − 2)(x + 2) + 2(x + 2)(x + 2) = (x + 2)(x − 2 + 2(x + 2))
= (x + 2)(x − 2 + 2x + 4) = (x + 2)(3x + 2). Donc : 𝐴(𝑥)= (x + 2)(3x + 2).
b) Résolvons dans l’ensemble des nombres réels l’équation A = 0. (𝐴((𝑥) = 0)
x = −2
(x + 2) = 0
x = −2
−2
ou
𝐴(𝑥) = 0 ⟺ {
⟺ { ou
⟺ { ou ⟺ 𝑆 = {−2 ; 3 }.
−2
(3x + 2) = 0
x= 3
3x = −2
IP
1) Plaçons les points A, B et C. Voir la figure ci – dessous :
2) Calculons la distance AB.
O𝑛 𝑎 𝐴𝐵 = √(2−1)2 + (−1−2)2 = √1 + 9 = √10
3) a) Montrons que le coefficient directeur de la droite
(AB) est -3 puis donner son équation réduite :
Le coefficient directeur de (AB) 𝛼 =
−1−2
= −3 ;
2−1
l’équation de cette droite est de la forme :
𝑦 = −3𝑥 + b. Or le point A(1 ;2) appartient à (AB),
donc 2 = −3 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2 + 3 = 5 ; d’où l’équation
de la droite (AB) est : (AB) : 𝑦 = −3𝑥 + 5
b) On considère le point D(4 ;3). Montrons que les
droites (AB) et (CD) sont parallèles :
Nous savons, d’après la question précédente, que le coefficient directeur de (AB) est 𝛼 = −3.
3−0
Déterminons le coefficient directeur 𝛽 de (CD), on a 𝛽 =
= −3. Donc 𝛼 = 𝛽 , ce qui prouve
4−5
que les droites (AB) et (CD) sont parallèles
c) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑥𝐵−𝑥𝐴 ) = ( 2−1 ) = ( 1 )
𝐴𝐵
𝑦𝐵 −𝑦𝐴
−1−2
−3
5−4
1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 = (0−3) = (−3) , donc ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐶 alors ABCD est un parallélogramme et
23
𝐴𝐵 = √(2−1)2 + (−1−2)2 =√1 + 9 = √10
Exercice 4 : (5points)
̂ = 30°
1) AB=6cm et 𝐴𝐵𝐷
2) ABD est un triangle inscrit d’un (C) dont l’un de ses côtés est
un diamètre du cercle, ce que signifie qui est un triangle
rectangle en D.
̂ et 𝐷𝐵𝐴
̂ interceptent le même arc, alors :
3) 𝐴𝑂𝐷
̂ = 2 × 𝐷𝐵𝐴
̂ ⇒: 𝐴𝑂𝐷
̂ = 2 × 30 = 60° , et
𝐴𝑂𝐷
𝐷𝑂=𝑂𝐴= 𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 Donc 𝐴𝑂𝐷 est un triangle équilatéral
4) a) Justifions que AD=3cm , AOD est un triangle équilatéral :
𝐴𝐵 6
𝐴𝐷 = 𝐴𝑂 =
= = 3 ⟹ 𝐴𝐷 = 3 𝑐𝑚
2
2
b)la Valeur de BD :
ABD est un triangle rectangle : D’après Pythagore :
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2
⟹ 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐷2
⟹ 𝐵𝐷2 = 62 − 32
⟹ 𝐵𝐷2 = 36 − 9
⟹ 𝐵𝐷2 = 27
Exercice 5 : (5points)
N
⟹ 𝐵𝐷 = √27 = √9 × 3 = 3√3 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝐵𝐷 = 5.20 𝑐𝑚
IP
27 Garçons, 24 Filles
2 Filles + 1 Garçon → Sensibilisation
2 Filles + 4 Garçons → Soutien
1) Soit 𝑥 : le nombre des Groupes de Sensibilisation
y : le nombre des Groupes de Soutien
{
𝑥 + 4𝑦 = 27
2𝑥 + 2𝑦 = 54
⟹{
2𝑥 + 2𝑦 = 24
2𝑥 + 2𝑦 = 24
2) Le nombre des Groupes de Sensibilisation et celui des groupes de Soutien :
⟹{
2𝑥 + 2𝑦 = 54
2𝑥 + 2𝑦 = 24
(1)
30
⇒ (1) − (2) ∶ 6𝑦 = 30 ⇒ 𝑦 = 6 ⟹ 𝑦 = 5
(2)
On a 2𝑥 + 2𝑦 = 24 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 12 ⇒ 𝑥 + 5 = 12 ⟹ 𝑥 = 12 − 5 ⟹ 𝑥 = 7.
Le nombre des Groupes de Sensibilisation est : 7
Le nombre des Groupes de Soutien est : 5
24
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Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
BEPC 2021
Exercice 1 : (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de 4 questions : chacune comporte trois réponses,
dont une et une seule est exacte. Préciser la bonne réponse.
N° Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
Soit x un réel diffèrent de 0 et de 4 , alors
5x − 12
5x − 4
x−4
0,75pt
1
4

3 + 2  1−  = 
3x − 4
x−4
x
x

6  3  15
4
2
2
3

2
Si AC = AB alors :
3
15 2
22

3
BC = − AC
2
4
Si 2  2x − 4  4 alors :
6 x8
2
(4  3 )
2
4
2
=
Exercice 2 : (3 points)
1) Ecrire le nombre
52
24

1
BC = − AC
2
15 2
42

2
BC = − AC
3
−2  x  0
3 x4
12 sous la forme a 3
2) Ecrire sous la forme a + b 3 chacun des deux nombres ( 12 − 6) et ( 12 + 6)
2
0,75pt
0,75pt
0,75pt
0.75 pt
2
N
3) Justifier que 48 − 24 3 = 6 − 2 3
Exercice 3 : (4 points)
On considère l'expression A(x) = 4x2 − 9 + (x − 5)(2x − 3)
1) Développer, réduire et ordonner l’expression A(x) .
2) Calculer et simplifier la valeur de A(2) .
3) Factoriser l'expression A(x) puis résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation A(x) = 0
1.5 pt
0.75 pt
1.5 pt
1 pt
1.5 pt
IP
Exercice 4 : (5 points)
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(0;3) , B ( −2; −1) et C ( 4;1)
1. a) Placer les points A , B et C
b) Calculer les distances AB , BC et AC puis en déduire la nature du triangle ABC
1 pt
2 pt
2) Montrer qu’une équation de (AC) est x + 2y − 6 = 0 .
0.5pt
3. a) Résoudre le système 
1pt
b) Déterminer les coordonnées du point P, intersection de (AC) avec la droite (  ) d’équation
0.5pt
x + 2y = 6
.
 2x − y = −8
2x − y + 8 = 0
Exercice 5 : (5 points)
Sur la figure ci-contre, AIB est un triangle rectangle isocèle en I , tel que AI = 5 cm .
Le point C est situé sur la demi-droite  BI ) , extérieurement au segment  BI  , tel
̂ = 𝟑𝟎°. Le cercle de diamètre  AI  recoupe  AC en E et  AB en F .
que 𝑰𝑨𝑪
1. a) Reproduire soigneusement la figure sur la feuille de réponse.
̂
b) Calculer 𝑨𝑪𝑰
c) Vérifier que AC =
10
3
puis donner son arrondi au dixième près.
1 pt
0.5 pt
1 pt
̂ = 𝟔𝟎° et en déduire 𝑨𝑭𝑬
̂
2. a) Montrer que 𝑨𝑰𝑬
1.5 pt
3
b) La parallèle à (IE) passant par C coupe (AI) en D . Sachant que AE = AC , calculer AD
4
1 pt
25
Correction du BEPC 2021
EXRCICE 1 : (3 points)
Question 1 2
3
Réponse C B
B
EXRCICE 1 : (3 points)
Question 1 2
3
Réponse C B
B
Justifications
1-REPONSE C
4
C
4
C
4
𝑥 −4
𝑥
𝑥
3 + 2 ÷ (1 − ) = 3 + 2 ÷ (
) = 3 +2×(
𝑥
𝑥−4
)
=3 +
2𝑥
𝑥−4
=
3𝑥−12 +2𝑥
𝑥−4
=
2-REPONSE B
64 × 32 × 152
34 × 24 × 32 × 32 × 52
38 × 2 4 × 52
𝟓𝟐
=
=
=
(42 × 34 )2
44 × 38
24 × 2 4 × 38
𝟐𝟒
EXRCICE 2 : (3 points)
N
3-REPONSE B
2
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 3 (𝐴𝐶
𝐶𝐵 ) = 3 𝐴𝐶
𝐶𝐵
3
2
2
1
2
1
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
𝐶𝐵 ⟹ 3 𝐴𝐶
= − 3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶
= − 2 𝐴𝐶
3
3
4- REPONSE C
2 ≤ 2𝑥 − 4 ≤ 4
6 ≤ 2𝑥 ≤ 8
3 ≤𝑥 ≤4
1) √12 = √4 × 3 = √22 × √3 = 2√3
2
2
2) (√12 − 6) = (√12) − 2 × √12 × 6 + 62 = 48 − 12√12 = 48 − 24 √3
2
IP
De même (√12 + 6) = 48 + 24 √3
2
3) √48 − 24√3 = √(√12 − 6) = |√12 − 6| = −(√12 − 6) = 6 − √12
EXRCICE 3: (4 points)
1) Développement de A(x)
A(𝑥) = 4𝑥 2 − 9 + (𝑥 − 5)(2𝑥 − 3) = 4𝑥 2 − 9 + 2𝑥 2 − 3𝑥 − 10𝑥 + 15
D’Où A(𝑥) = 6𝑥 2 − 13𝑥 + 6
2) Je Calcule et simplifie A(𝟐)
A(2) = 6 × 22 − 13 × 6 + 6 = 4
3) Factorisation
A(𝑥 ) = (2𝑥)2 − 32 + (𝑥 − 5)(2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) + (𝑥 − 5) (2𝑥 − 3)
= (2𝑥 − 3)[2𝑥 + 3 + 𝑥 − 5] = (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2)
Résolution de l’équation A(𝒙) = 𝟎
A(𝑥 ) = 0 ⟺ (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2) = 0
2𝑥 − 3 = 0
3𝑥 − 2 = 0
⇒ 2𝑥 = 3
⇒ 3𝑥 = 2
ou
3
2
⇒𝑥=2
⇒𝑥=
3
3
2
D’où 𝑆 = {2 ; 3}
26
5𝑥−12
𝑥−4
EXRCICE 4: (5 points)
1°a) la figure
Calcule les distances AB , BC et AC
AB = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 =
√(−2 − 0)2 + (−1 − 3)2 = √(−2)2 + (−4)2 =
√4 + 16 = √20
AB= √20
2
2
BC = √(4 − (−2)) + (1 − (−1)) =
√(6)2 + (2)2 =
√36 + 4 = √40
BC = √40
AC= √(4 − 0)2 + (1 − 3)2 = √20
N
AC= √20
Comme AB = AC alors : le triangle ABC est isocèle en A
D’autre part : AB2+ AC2 = BC2
Alors : d’après réciproque du théorème de Pythagore : le triangle ABC est rectangle en A
Conclusion :
ABC est un triangle isocèle rectangle en A
IP
Y2) Démontrons que :𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 est une équation de (AC) :
➢ 𝑥𝐴 + 2𝑦𝐴 − 6 = 0, = 0 + 2 × 3 − 6 = 0
➢ 𝑥𝐶 + 2𝑦𝐶 − 6 = 0, = 4 + 2 × 1 − 6 = 0
Alors les cordonnées de A et celles de C vérifient cette équation.
Donc 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 est une équation de (AC)
3.a) résolution du système :
𝑥 + 2𝑦 = 6 … … … . . (1)
{
2𝑥 − 𝑦 = −8 … … … … (2)
D’après (1) 𝑥 = 6 − 2𝑦. En replaçant 𝑥 par sa valeur dans l’équation (2) on obitient
2(6 − 2𝑦) − 𝑦 = −8 ⇒ −5𝑦 = −20
⇒ 𝑥=4
Alors 𝑥 = 6 − 2𝑦 = 6 − 2 × 4 ⇒ 𝑦 = −2
La solution du système est le couple :
(𝑥 ; 𝑦) = (4 ; −2)
b) les cordonnées 𝑥 et 𝑦 du point P, inersection de (AC) et ∆ vérifient les équation de ces droites, par
conséquent, elles vérifient le système
𝑥 + 2𝑦 = 6 … … … . . (1)
{
2𝑥 − 𝑦 = −8 … … … … (2)
Ce système équivalent au système résolu en 3a)
Donc P a pour cordonnées (4 ; −2)
27
EXRCICE 5: (5 points)
1.a) La figure
̂ :
b) Mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐼
̂ + 𝐶𝐼𝐴
̂ + 𝐼𝐴𝐶
̂ = 180 ° ⟹ 𝐴𝐶𝐼
̂ + 90° + 30° = 180°
𝐴𝐶𝐼
̂ = 600
Alors : 𝐴𝐶𝐼
Le triangle 𝐴𝐶𝐼 est rectangle en 𝐼, alors :
𝐴𝐼
̂ )=
cos (𝐼𝐴𝐶
⟹ 𝑐𝑜𝑠(30) =
𝐴𝐶
⟹ 𝐴𝐶 =
𝐴𝐼
⟹
10
𝐴𝐶
5
√3
= 𝐴𝐶
2
𝐴𝐼
𝐴𝐶
4
𝐴𝐷
4
20
= 𝐴𝐸 = 3 ⇒ 5 = 3 ⇒ 𝐴𝐷 = 3 cm.
IP
𝐴𝐷
N
√3
L’arrondi au dixième (de centième) de AC : AC ≈ 5,8
2.a) le triangle AIE est inscrit dans le cercle dont [𝐴𝐼 ] est un diamètre par conséquent :
le triangle AIE est rectangle en E.
̂ + 𝐴𝐼𝐸
̂ = 90° ⟹ 30° + 𝐴𝐼𝐸
̂ = 90° ⟹ 𝐴𝐼𝐸
̂ = 60°
D’ où : 𝐼𝐴𝐸
̂ et 𝐴𝐼𝐸
̂ Sont deux angles inscrit dans un même cercle et intercepte le même arc
𝐴𝐹𝐸
̂ = 𝐴𝐸𝐸
̂ = 60°
Alors 𝐴𝐹𝐸
b) les point A, E et C sont alignés dans cet ordre. De même pour A ,F et B sont alignés dans cet ordre et
puisque les deux droites (EI) et (DC) sont parallèles.
Alors d’après de théorème Thalès on a :
28
République Islamique de Mauritanie
Ministère de l’Education Nationale et de la
Réforme du Système Educatif
Direction des Examens et des Concours
Epreuve de Mathématiques
Durée: 2 heures Coefficient: 5
BEPC 2022
Sujet National
Exercice 1 : (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de quatre questions : chacune comporte trois
réponses, une et une seule étant exacte. Préciser la bonne réponse.
N° Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1
Les solutions de l’équation 4x − 8 = 12 sont
2
Si f est une fonction affine dont la représentation
graphique passe par M(2; −3) et N(1; −1) , alors
1 et 5
−1 et 5
1 et − 5
1 pt
f (x) = x − 2
f (x) = 2x − 7
f (x) = −2x + 1
1 pt
b3
a3
a3
b3
23  a 3
b −3
1 pt
Si a et b sont deux réels non nuls
3
(2a)6  (ab)−3
=
alors
(4a 2b −2 )3
Soient A, B et C trois points distincts du plan.



Si, C est l’image de A par l’homothétie de centre
1 pt
CA = −2CB
BC = −2BA
BA = −2BC
B et de rapport −2 , alors :
Exercice 2 : (5 points)
On considère l'expression :
E = (x − 4)(3x + 2) + x 2 − 16
1) Développer, réduire et ordonner l’expression E.
1.5 pt
2) Calculer et simplifier la valeur de E lorsque x = 3 .
1.5 pt
3) Factoriser l’expression E puis résoudre dans  l’équation (x − 4)(4x + 6) = 0 .
2 pt
Exercice 3 : (5 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit A(3;1), B(−3;3) et D(−1; −1)
0.75 pt
1. a) Placer les points A, B et D.
b) Calculer les distances AB, AD et BD
0.75 pt

1 pt
c) Déterminer la nature du triangle ABD et déduire la mesure de l’angle ABD
2.a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)
1 pt
b) Soit  la droite d’équation 3x − y + 2 = 0 . Vérifier que  passe par D et que  ⊥ (AB)
0.5 pt
IP
N
4
 x + 3y − 6 = 0
; que représentent les solutions de ce système ?
 3x − y + 2 = 0
3) Résoudre le système 
1 pt
Exercice 4 : (2 points)
Un sac contient 6 boules rouges et 4 boules jaunes.
Les boules rouges portent les numéros 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 et 3.
Les boules jaunes portent les numéros 2 ; 2 ; 3 et 3.
On tire au hasard une boule du sac (toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées)
Calculer les probabilités des évènements suivants :
A : la boule tirée est rouge.
1 pt
B : la boule tirée est jaune numérotée 3
0.5 pt
C : la boule tirée porte un numéro supérieur ou égal à 2.
0.5 pt
Exercice 5 : (4 points)
SABCD est une pyramide régulière de hauteur SH = 6cm telle que AH = 4cm
1) Reproduire soigneusement la figure sur la feuille de réponse.
1 pt
1 pt
2) Montrer que la longueur des côtés du carrée ABCD est 4 2 cm
3) Calculer le volume de la pyramide SABCD.
1 pt
 

4) Soit I le milieu de BC , Calculer tan ISH
arrondi à l’unité
Fin.
29
1 pt
Correction du BEPC 2022
EXRCICE 1: (4 points)
Question 1 2
Réponse B C
Justifications
1-REPONSE B
3
A
4
A
20
4𝑥 − 8 = 12 ⟹ 4𝑥 = 12 + 8 ⟹ 4𝑥 = 20 ⟹ 𝑥 = 4 ⟹ 𝒙 = 𝟓
|4𝑥 − 8| = 12 ⟹ {
𝑒𝑡
−4
4𝑥 − 8 = −12 ⟹ 4𝑥 = −12 + 8 ⟹ 4𝑥 = −4 ⟹ 𝑥 = 4 ⟹ 𝒙 = −𝟏
La solution est : -1 et 5.
2-REPONSE C
M(2 ;−3) alors f(2) = −3
N(1 ; −1) alors f(1) = −1, f est une fonction affine de forme
f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎=
𝑓(1)−𝑓(2)
1−2
=
−1−(−3)
1−2
3-REPONSE A
N
𝑎 = −2
(
)
On a f(2) = −3 ⟹ −2 2 + 𝑏 = −3 ⟹ −4 + 𝑏 = −3 ⟹ 𝑏 = −3 + 4 ⟹ 𝑏 = 1
Donc f(𝑥) = −2𝑥 + 1
(2𝑎)6 × (𝑎𝑏)−3 64𝑎6 × 𝑎−3 𝑏−3
=
(4𝑎2 𝑏 −2 )3
64𝑎6 × 𝑏−6
𝑎 −3 ×𝑏−3
𝑏−6
1
1
3× 3
= 𝑎 1𝑏 =
𝑏6
𝑏6
𝑎 3 ×𝑏3
𝑏3
= 𝑎3
IP
=
(2𝑎)6 × (𝑎𝑏)−3 𝒃𝟑
= 𝟑
(4𝑎6 𝑏 −2 )3
𝒂
4-REPONSE A
ℎ(𝐵;−2) (𝐴) = 𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Alors : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 = −2𝐵𝐴
EXRCICE 2 : (5 points)
E = (𝑥 − 4)(3𝑥 + 2) + 𝑥 2 − 16
1) Développement de E :
E = (𝑥 − 4)(3𝑥 + 2) + 𝑥 2 − 16 = 3𝑥 2 + 2𝑥 − 12𝑥 − 8 + 𝑥 2 − 16
E = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟒
2) Calcule de valeur E pour 𝑥 = √3
2
E = 4𝑥 2 − 10𝑥 − 24 = 4(√3 ) − 10√3 − 24 = 12 − 10√3 − 24 = −𝟏𝟐 − 𝟏𝟎√𝟑
3) Factorisation de E
E = (𝑥 − 4)(3𝑥 + 2) + 𝑥 2 − 16 = (𝑥 − 4)(3𝑥 + 2) + 𝑥 2 − 42
= (𝑥 − 4)(3𝑥 + 2) + (𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = (𝑥 − 4)[3𝑥 + 2 + 𝑥 + 4] = (𝑥 − 4)(4𝑥 + 6)
Résolution dans R l’équation :
(𝑥 − 4)(4𝑥 + 6) = 0
𝑥−4 =0
4𝑥 + 6 = 0
⇒𝑥=4
⇒ 4𝑥 = −6
ou
⇒𝑥=4
30
⇒𝑥=
𝑆 = {4;
−6 −3
=
4
2
−3
2
}
EXRCICE 3: (5 points)
𝐴(3; 1) , 𝐵(−3; 3) et 𝐷(−1; −1)
1.a)voir la figure ci-après
1.b) calcule les distances
AB = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
= √(−3 − 3)2 + (3 − 1)2
= √(−6)2 + (2)2 = √36 + 4
= √40 = 2√10 → 𝐴𝐵 = 2√10
𝐴𝐷 = √(𝑥𝐷 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐷 − 𝑦𝐴 )2
= √(−1 − 3)2 + (−1 − 1)2
= √(−4)2 + (−2)2 = √16 + 4
= √20 = 2√5 → 𝐴𝐷 = 2√5
𝐵𝐷 = √(𝑥𝐷 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐷 − 𝑦𝐵 )2
N
= √(−1 − (−3))2 + (−1 − 3)2
IP
= √(2)2 + (−4)2 = √4 + 16
= √20 = 2√5 →
𝐵𝐷 = 2√5
1.C) la nature du Triangle ABD
• 𝐴𝐵2 = (2√10)2 = 4 × 10 = 40
• 𝐴𝐷2 = (2√5)2 = 4 × 5 = 20
• 𝐵𝐷2 = (2√5)2 = 4 × 5 = 20
On a 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 et 𝐴𝐷2 = 𝐵𝐷 2
40 = 20 + 20
Donc
Le triangle𝐴𝐵𝐷 est rectangle, isocèle en 𝐷
Méthode A
𝜋
Alors la mesure d’angle 𝐴𝐵̂𝐷 est 4 =45°
𝐴𝐷
2√5
Méthode B : 𝑡𝑎𝑛 𝐴𝐵̂𝐷 = 𝐵𝐷 = 2√5
𝑡𝑎𝑛𝐴𝐵̂𝐷 = 1
Donc 𝐴𝐵̂𝐷 = 45°
2.b) On calcule ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
−3 − 3
−6
)=( )
3−1
2
−𝟔
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
𝐴𝐵 𝟐 est un vecteur directeur de la droite (AB)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ sont
soit M(𝑥; 𝑦) un point de (AB) et les trois points A ;B et M sont alignées. Donc les vecteurs 𝐴𝑀
colinéaire
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑥−3) et 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ (−6)
𝐴𝑀
𝑦−1
2
𝒙−𝟑 −𝟔
|=0
Colinéaire |𝒚−𝟏
𝟐
2(𝑥 − 3) + 6(𝑦 − 1) = 0 ⇒ 2𝑥 − 6 + 6𝑦 − 6 = 0 ⇒ 2𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 ⇒ 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
31
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
BEPC : 2023
Epreuve: Mathématiques
Durée: 2 heures
Coefficient: 5
Donc
(AB) :𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
b) (∆) : 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
3
−1
(AB) :𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 ⇒ − (−1) × ( 3 ) = −1
Donc (AB) et (∆) sont perpendiculaire
• 3𝑥𝐷 + 3𝑦𝐷 + 2 = 3(−1) − (−1) + 2 = −3 + 1 + 2 = 0
Donc 𝐷 ∈ (∆)
𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
La Résolution du système par la méthode de combinaison
𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
(1)
3×{
⇒{
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
9𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0
(2)
(1) + (2) donne
10𝑥 = 0 𝑥 = 0
On a 𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
6
0 + 3𝑦 − 6 = 0 ⇒ 3𝑦 = 6 ⇒ 3𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 = 2
Le point de cordonnées (0 ; 2) représente le point d’intersection des droites (∆) et (𝐴𝐵)
EXRCICE 4: (2 points)
Les 6 boules rouges : {1,1, 2, 2, 2, 3}
Les 4 boules Jaunes : {2, 2, 3, 3}
6
A : la boule tirée est rouge 𝑃(𝐴) = 10 = 0,6
B : la boule tirée est rouge numérotée 3
2
𝑃 (𝐵 ) =
= 0,2
10
8
C : la boule tirée est porte un numéro supérieur ou égal à 2 𝑃(𝐶 ) = 10 = 0,8
EXRCICE 5 :(4 points)
1.a) La figure
IP
N
3) Résoudre le système {
𝐴𝐶 = 2𝐴𝐻 → 𝐴𝐶 = 2 × 4 𝐴𝐶 = 8𝑐𝑚
ABC est rectangle isocèle alors
AB2+BC2=AC2 → 2AB2= AC2
𝐴𝐵2 =
𝐴𝐵 =
3.
8
√2
=
8√2
𝐴𝐶 2
2
82
→ 𝐴𝐵2 = 2
𝐴𝐵 = 4√2
2
1
1
Volume : 𝑉 = 3 𝐴𝐵2 × 𝑆𝐻 = 3 (4√2)2 × 6
𝑉 = 64𝑐𝑚3
4. ISH est triangle rectangle et 𝐼𝐻 =
𝐼𝐻
2√2
𝑡𝑎𝑛𝐼𝑆̂𝐻 = 𝑆𝐻 = 6
𝑡𝑎𝑛𝐼𝑆̂ 𝐻 =
𝐴𝐵
2
√2
3
= 2√2
Fin
32
Correction du BEPC 2023
EXRCICE 1: (4 points)
N
Question 1 2
3 4
Réponse B B
C A
Justifications
1-REPONSE B
Si −1 < 𝑥 < 3 , alors o n a : −1 < 𝑥 < 3 ⟹ −6 < −2𝑥 < 2 ⟹ −5 < 1 − 2𝑥 < 3
2-REPONSE B
A et B deux événement tels : P(A)=0,65 ; P(𝐵̅)=0,7 et 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,8
Alors 𝑃(A∩B)= P(A)+P(B)− 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
Or P(B) = 1− P(𝐵̅) = 1 − 0,7 ⟹ 𝑃(𝐵) = 0,3
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,65 + 0,3 − 08 ⟹ 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0,15
3-REPONSE C :
La représentation graphique d’une fonction affine g passe par A(1 ; 2) et B(-1 ; 6) alors g est une fonction
affine de forme : 𝑔(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏
A(1 ;2) ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 2
𝑎 + 𝑏 = 2 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (1)
(1) + (2): 2𝑏 = 8
{
B(-1 ;6)⇒ −𝑎 + 𝑏 = 6
−𝑎 + 𝑏 = 6 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (2)
⇒ 𝑏 = 4𝑎 + 𝑏 = 2 ⟹ 𝑎 + 4 = 2 ⇒ 𝑎 = −2
Donc 𝑔(𝑥 ) = −2𝑥 + 4
4-REPONSE A :
Le nombre réel
(√3 + 1)(√12 − 2) est égal à (√3 + 1)(2√3 − 2) = 6 − 2√3 + 2√3 − 2 = 4
(√3 + 1)(√12 − 2) = 4
D’ou :
EXRCICE 2: (5 points)
IP
1)
Développer, réduire et ordonner l’expression :
𝐴 = (3𝑥 − 4)2 − (2𝑥 + 2)2 = 9𝑥 2 − 24𝑥 + 16 − (4𝑥 2 + 8𝑥 + 4) = 9𝑥 2 − 24𝑥 + 16 − 4𝑥 2 − 8𝑥 − 4
𝐴 = 5𝑥 2 − 32𝑥 + 12
2) Calculer et simplifier A pour la valeur : 𝑥 = √2
𝐴 = 5𝑥 2 − 32𝑥 + 12
𝐴 = 5(√2)2 − 32√2 + 12 = 22 − 32√2
3) Factoriser l’expression A puis
résoudre dans R l’équation : (5𝑥 − 2)(𝑥 − 6)
• Factorisation de A :
𝐴 = (3𝑥 − 4)2 − (2𝑥 + 2)2 = (3𝑥 − 4 + 2𝑥 + 2)(3𝑥 − 4 − 2𝑥 − 2)
𝐴 = (5𝑥 − 2)(𝑥 − 6)
• Résoudre (5𝑥 − 2)(𝑥 − 6) = 0
(5𝑥 − 2)(𝑥 − 6) = 0
5𝑥 − 2 = 0
𝑥−6=0
⇒ 5𝑥 = 2
⇒𝑥 =6
ou
5
⇒𝑥=2
5
S={2 ; 6}
33
EXRCICE 3: (5 points)
1.a) Placer les points : A, B et C
𝐴(−1; 1) , 𝐵(3; −1), 𝐶(4; 1),
b) calculer les distances AB, AC et BC et préciser nature du
triangle ABC
• AB= √(3 − (−1))2 + (3 − (−1))2
= √(4)2 + (−2)2 = √16 + 4
= √20 = 2√5
AB= 2√5
• AC= √(4 − (−1))2 + (1 − 1)2
= √(5)2 = 5
AC= 5
2
• BC= √(4 − 3) + (1 − (−1))2
= √(1)2 + (2)2 = √5
BC= √5
IP
N
AB2+BC2=(2√5)2+(√5)2
AB2+BC2 = 25
AB2+BC2=AC2
Donc ABC est un triangle rectangle en B.
2.a) déterminer une équation de la droite (AB): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
3 − (−1)
4
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 (
) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ( )
−1 − 1
−2
𝑎 = −2 et 𝑏 = −4
(AB) : −2𝑥 − 4𝑦 + 𝑐 = 0
𝐵 ∈ (𝐴𝐵): −2𝑥𝐵 − 4𝑦𝐵 + 𝑐 = 0
−2(3) − 4(−1) + 𝑐 = 0
−6 + 4 + 𝑐 = 0 → −2 + 𝑐 = 0
d’où 𝑐 = 2
(𝐴𝐵) : − 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0
(𝐴𝐵): 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
b) soit M le point de cordonnées (1 ;0) vérifier ue : M appartient à (AB)
(𝐴𝐵): 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
𝑥𝑀 + 2𝑦𝑀 − 1 = 1 + 2(0) − 1
𝑥𝑀 + 2𝑦𝑀 − 1 = 0 Donc : M∈ (𝐴𝐵)
3. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. calculer le distance AM et MN.
AM= √(1 − (−1))2 + (0 − 1)2
AM= √(2)2 + (−1)2
= √(2)2 + (−1)2 = √5
d’où 𝐴𝑀 = √5
• (𝑀𝑁) ∕∕ (𝐵𝐶) : d’après Thalès
𝐴𝑀
𝐴𝐵
𝑀𝑁
√5
= 𝐵𝐶 → 2√5 =
𝑀𝑁
√5
√5
d’où 𝑀𝑁 = 2
34
24. soit T le cercle circonscrit au triangle ABC. On note D le point du diamétralement opposé à B sur T.
̂ = 𝐵𝐴𝐶
̂
Vérifier que 𝐵𝐷𝐶
̂
En déduire 𝑡𝑎𝑛 𝐵𝐷𝐶
̂ et 𝐵𝐴𝐶
̂ sont deux angles inscrit intercepte le même arc 𝐴𝐵
̂ . Alors
𝐵𝐷𝐶
̂ = 𝐵𝐴𝐶
̂
𝐵𝐷𝐶
̂ = tan (𝐵𝐴𝐶
̂)
tan (𝐵𝐷𝐶)
̂ = 𝐵𝐶 → tan (𝐵𝐷𝐶)
̂ = √5 d’où tan (𝐵𝐷𝐶)
̂ =1
tan (𝐵𝐷𝐶)
𝐴𝐵
2√5
2
EXRCICE 4: (3 points)
Montrer que 𝑥 et y vérifient le systéme
𝑥 + 𝑦 = 50
4𝑥 + 3𝑦 = 165
▪ Nombre de cahiers de grand format + Nombre de cahiers de petit format = 50 cahiers
▪ 32× Nombre de cahiers de grand format + 32× Nombre de cahiers de petit format = 1320 𝑜𝑢𝑔𝑢𝑖𝑦𝑎𝑠
𝑥 : Nombre de cahiers de grand format
𝑦 : Nombre de cahiers de petit format
𝑥 + 𝑦 = 50
(1)
{
4𝑥 + 3𝑦 = 165 (2)
En multipliant l’équation (1) par (−4)
−4𝑥 − 4𝑦 = −200
{
4𝑥 + 3𝑦 = 165
En additionnant ces deux équations, on obtient : −𝑦 = −35 ⇒ 𝑦 = 35
𝑥 + 𝑦 = 50 → 𝑥 + 35 = 50
𝑥 = 50 − 35 ⇒
𝑥 = 15
(
)
La solution S= 15 ; 35 Donc :
Nombre de cahiers de grand format est :15
Nombre de cahiers de petit format est : 35.
IP
N
{
EXRCICE 5: (3 points)
1) Montrons que la hauteur de ce cône est 6√6
ℎ2 = 152 + 32 ⟹ ℎ2 = 225 + 9 ⟹ ℎ = 6√6
2) Montrer que la volume de ce cône est 18√6𝜋
1
1
𝑉 = 3 × 𝜋 × 𝑟 2 × ℎ ⟹ 𝑉 = 3 × 𝜋 × 32 × 6√6
⟹ 𝑉 = 18√6𝜋 𝑐𝑚3
3)
Calculer la surface de ce cône et donner son
arrondi au dixième prés
𝐴𝑟 = 𝜋 × 𝑟(𝑟 + 𝑆𝐵) ⟹ 𝐴𝑟 = 𝜋 × 3(3 + 15)
⟹ 𝐴𝑟 = 𝜋 × 𝑟(𝑟 + 𝑆𝐵) ⟹ 𝐴𝑟 = 169,6𝑐𝑚2
̂ = 2𝜋
Montrer que l’angle 𝐴𝑆𝐵
̂ = 2𝜋×𝑟 ⟹ 𝐴𝑆𝐵
̂ = 2𝜋×3
𝐴𝑆𝐵
𝑆𝐵
15
5
̂ = 2𝝅
d’où 𝑨𝑺𝑩
15
35
REPUBLIQUE ISLAMIQUE DE MAURITANIE
MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE
Direction des Examens et de l'Evaluation
Service des Examens
Honneur-Fraternité-Justice
BEPC : 2024
Epreuve : Mathématiques
Durée : 2 heures
Coefficient : 5
Exercice 1: (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, constitué de quatre questions: chacune comporte trois réponses,
une et une seule étant exacte. Préciser la bonne réponse.
N°
Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
3
5
2
11
11
33
1
L'expression × [7 − ( + )]
8
3
4
3
8
8
est égale:
2
Si √2 + 1 ≥ 𝑥√3 , alors :
𝑥≥
1
𝑥 ≥ √3 − √2
𝑥 ≤ √3 + √2
√3 − √2
Si |𝑥 − 3| ≤ 5 alors x appartient à [−5; 3]
[−3; 5]
[−2; 8]
Si les trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 vérifient
𝐴 ∈ [𝐵𝐶]
𝐵 ∈ [𝐴𝐶]
𝐶 ∈ [𝐴𝐵]
l'égalité ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 . alors:
Exercice 2: (5 points)
On considère l'expression: 𝐵 = 4𝑥² − (𝑥 − 3)²
1) Développer, réduire et ordonner l'expression 𝐵.
2) Calculer et simplifier la valeur de 𝐵 lorsque 𝑥 = √3
3) Factoriser l'expression 𝐵 puis résoudre dans 𝑅 l'équation (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 0
Exercice 3: (5 points)
Dans un repère orthonormé, on considère les points 𝐴(1; − 1) 𝐵(4; − 1) 𝑒𝑡 𝐶(4; 2)
1.a) Placer les points 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶.
b) Calculer les distances 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 𝑒𝑡 𝐵𝐶. Vérifier que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle rectangle en 𝐵
c) Calculer l'aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.
2.a) Soit 𝐴 la médiane issue de B dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Déterminer une équation de 𝐴.
b) Soit 𝐷 le point de cordonnées (1; 2). Vérifier que 𝐷 appartient à 𝐴.
3.a) La parallèle à 𝐴 passant par 𝐴 coupe (𝐵𝐶) en 𝐸. Calculer les distances 𝐴𝐸 𝑒𝑡 𝐵𝐸.
b) Soit h l'homothétie de centre 𝐶 qui transforme 𝐸 en 𝐵. Déterminer le rapport de ℎ.
Exercice 4: (3 points)
Une camionnette effectue trois livraisons d'une machandise composée de 60 sacs de lait et 30 caisses de bananes. La
première charge pèse 425𝐾𝑔 et contient 20 sacs de lait et 5 caisses de bananes.
La deuxième charge est de 525𝐾𝑔 et contient 25 sacs de lait et 5 caisses de bananes. Soit 𝑥 le poids d'un sac de lait et
𝑦 le poids d'une caisse de bananes.
4𝑥 + 𝑦 = 85;
1) Montrer que x et 𝑦 vérifient le système: {
5𝑥 + 𝑦 = 105
2) Résoudre ce système puis déterminer le poids troisième charge restante.
Exercice 5: (3 points)
La figure ci-contre, représente un cône de sommet 𝑆 et de rayon de base 𝑟 = 𝑂𝐴 = 3𝑐𝑚
et de hauteur ℎ = 𝑆𝑂 = 3√3 𝑐𝑚
1) Montrer que la longueur de la génératrice de ce cône est de 6𝑐𝑚.
2) Calculer l'aire de base 𝐴𝐵 l'aire latérale 𝐴𝐿 et l'aire totale du cône 𝐴 𝑇
3) Calculer le volume 𝑉 de ce cône en 𝑐𝑚 3
4) Calculer 𝑡𝑎𝑛(𝑂𝑆̂𝐴 ) et donner la mesure de l'angle 𝑂Ŝ𝐴
IP
N
3
4
36
Correction du BEPC 2024
EXRCICE 1 QCM : (4 points)
Question
1 2
3 4
Réponse
B C
C B
Justifications
1-REPONSE B
3
5 2
3
5 4
3
10
3 11 11
× [(7) − ( ÷ )] = × [(7) − ( × )] = × [(7) − ( )] = ×
=
8
3 4
8
3 2
8
3
8 3
8
2-REPONSE C
On a 𝑥√2 + 1 ≥ 𝑥√3 alors
𝑥√2 − 𝑥√3 ≥ −1 Or 𝑥(√2 − √3) ≥ −1
Ce qui donne :
𝑥≤
−1
√2−√3
⇒𝑥≤
−1(√2+√3)
2−3
⇒ 𝑥≤
−1(√2+√3)
−1
⇒ 𝑥 ≤ (√2 + √3)
N
3-REPONSE C
|𝑥 − 3| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 5
On ajoute 3 à chaque membre de l’inégalité on trouve −2 ≤ 𝒙 ≤ 8
4-REPONSE B
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
Donc 𝐵 ∈ [𝐴𝐶 ]
EXRCICE 2: (5 points)
IP
Soit 𝐵 = 4𝑥 2 − (𝑥 − 3)2
1. Développement 𝐵 = 4𝑥 2 − (𝑥 2 − 6𝑥 + 9) = 4𝑥 2 − 𝑥 2 + 6𝑥 − 9 ⇒ 𝐵 = 3𝑥 2 + 6𝑥 − 9
2. pour 𝑥 = √3 on a 𝐵 = 3(√3)2 + 6√3 − 9 = 9 +6√3 − 9 ⇒ 𝐵 = 6√3
3. factorisation on a
𝐵 = 4𝑥 2 − (𝑥 − 3)2 = (2𝑥 )2 − (𝑥 − 3)2 ⇔
𝐵 = (2𝑥 − (𝑥 − 3))(2𝑥 + (𝑥 − 3)) donc 𝐵 = (𝑥 + 3)(3𝑥 − 3)
𝑥−1 =0 → 𝑥 =1
𝐵 = 0 ⇔ (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 0 ⟺ {
𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 = −3
𝑆 =- {−3 ;1}
EXRCICE 3: (5 points)
1) Je place les points : A, B et C
𝐴(−1; 1) , 𝐵(4; −1), 𝐶(4; 2),
b) Calcule de distance et nature du triangle ABC
𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
2
= √(4 − 1)2 + (−1 − (−1)) = √(3)2 + 0 ⇒ 𝐴𝐵 = 3
𝐴𝐶 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 =
√(4 − 1)2 + (2 − (−1))2 = √(3)2 + (3)2
⇒ 𝐴𝐶 = √18 = 3√2𝑐𝑚
37
𝐵𝐶 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(4 − 4)2 + (2 − (−1))2 = √0 + (3)2
⇒ 𝐵𝐶 = 3
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 3 donc le triangle ABC est isocèle en B.
Puisque 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 = 18 et 𝐴𝐶 2 = 18 ⟺ 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐶 2
On déduit d’après la réciproque du Pythagore que le triangle ABC est rectangle en B donc :
ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
C) 𝐴𝑖𝑟 𝑑𝑢𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐵×𝐵𝐶
2
=
3×3
9
= 2 = 4,5𝑐𝑚2
2
2.a) ∆ est la médiane issue de B sur ABC
C-à-d que ∆ passe aussi par le milieu de [𝐴𝐶 ], notons I le milieu de [𝐴𝐶 ] or
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 5
𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 1
𝑥𝐼 =
= ; 𝑦𝐼 =
=
2
2
2
2
5
1
Donc I (2 , 2)
3
3
3
2
⃗⃗⃗⃗ (−3
Soit 𝐼𝐵
) un vecteur directeur de ∆ d’où ∆: − 2 𝑥 − 2 𝑦 + 𝑐 = 0
2
3
Or
3
𝐵 ∈ ∆ ⟺ − 2 × 4 − 2 × (−1) + 𝐶 = 0
3
9
⟹ −6 + 2 + 𝐶 = 0 → 𝐶 = 2 Donc :
−3
3
9
N
Une équation de la droite ∆ est : ∆ : 2 𝑥 − 2 𝑦 + 2 = 0
2.b) vérification que D(1 ;2) ∈ ∆ on a :
−3
3
9
−3
3
9 −9 9
𝑥𝐷 − 𝑦𝐷 + =
×1− ×2+ =
+ =0
2
2
2
2
2
2
2
2
Donc 𝐷 ∈ ∆
IP
3.a)ABC est un triangle rectangle isocèle en B, alors la médiane issue de B est un aussi hauteur et une
médiatrice donc ∆ est perpendiculaire à (AC)d’où ACE est un triangle rectangle en A et 𝐴𝐶̂ 𝐸 = 𝐴𝐶̂ 𝐵 =
45° , alors ACE est un triangle rectangle isocèle en A donc 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 = 3√2𝑐𝑚.
ACE est un triangle rectangle isocèle en A d’après Pythagore
𝐶𝐸 2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐴𝐸 2 = (3√2)2 + (3√2)2 = 9 × 2 + 9 × 2 = 36 ⇒ 𝐶𝐸 = 6 𝑐𝑚.
D’où BE = CE −𝐵𝐶 = 6 − 3 = 3
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝐶𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ Or
b) ℎ(𝑐;𝑘) (𝐸 ) = 𝐵 ⟺ 𝐶𝐵
1
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐸
1
Signifie que le rapport de l’homothétie est : 𝑘 = 2
EXRCICE 4: (3 points)
1. la camionnette a effectué trois livraisons de : 60 sacs de lait et 30 sac bananes
425𝐾𝑔
525𝐾𝑔
1erecharge { 20 𝑆𝑎𝑐𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡
2emecharge { 25 𝑆𝑎𝑐𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡
5 𝑐𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑒𝑠
5 𝑐𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑒𝑠
Si 𝑥 le poids de sac de lait et 𝑦 celui d’une caisse de banane alors les données précédentes nous permetent de
formuler du système :
20𝑥 + 5𝑦 = 425
{
Divisons par 5 chaque membre de deux équations du système on obtient
25𝑥 + 5𝑦 = 525
38
4𝑥 + 𝑦 = 85
{
5𝑥 + 𝑦 = 105
2. Résolution de système par combinaison
4𝑥 + 𝑦 = 85
(1)
{
5𝑥 + 𝑦 = 105
(2)
(2) − (1) → 5𝑥 − 4𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 105 − 85
→ 𝒙 = 20 Remplaçons 𝑥 par sa valeur dans (1) pour calculer 𝑦 ce qui donne :
4 × 20 + 𝑦 = 85 → 𝑦 = 85 − 80 ⟹ 𝒚 = 5
D’où le couple solution du système S (20 ;5)
Déterminons le poids de la troisième charge
Le 3eme charge doit contenir
{ 15 𝑠𝑎𝑐𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑖𝑡
20 𝑐𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑒𝑠
Or le poids d’un sac est 20Kg et celui d’une caisse est 5Kg donc le poids de la troisième charge est
15 × 20𝐾𝑔 + 20 × 5𝐾𝑔 = 400𝐾𝑔
EXRCICE 5: (3 points)
Dans la figure : 𝑟 = 𝑂𝐴 = 3cm et ℎ = 3√3cm
1. Dans le triangle SOA rectangle en O on a d’après
N
2. Pythagore SA2=OA2+SO2 ⇒ 𝑆𝐴 = √𝑂𝐴2 + 𝑂𝑆 2
Or 𝑆𝐴 = 𝑙 : est la génératrice du cône ;
𝑂𝐴 = 𝑟 : est le rayon de la base du cône
IP
𝑂𝑆 = ℎ : la hauteur du cône
Donc la longueur de la génératrice du cône est :
2
√32 + (3√3) = √9 + 27 = √36 → 𝑙 = 6
3. Calcule d’aire
𝐴𝑖𝑟 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑟 2 = 9𝜋𝑐𝑚2 ;
𝐴𝑖𝑟 𝑙𝑎𝑡è𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑙 = 18𝜋𝑐𝑚2
𝐴𝑖𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 = 9𝜋 𝑐𝑚2 + 18𝜋 𝑐𝑚2 = 27𝜋 𝑐𝑚2
Volume du cône :
1
1
3. 𝑉 = 3 𝐴𝐵 × ℎ = 3 × 9𝜋𝑐𝑚2 × 3√3 → 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 9𝜋√3 𝑐𝑚3
‘4. Calcul tangent de 𝑂𝑆̂𝐴
𝑡𝑎𝑛(𝑂𝑆̂𝐴) =
𝑟
3
1
1
=
=
, 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(𝑂𝑆̂𝐴) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 30°
ℎ 3√3 √3
√3
39
40
N
IP